湖北省武漢市江漢區(qū)2023-2024學年高二上學期8月新起點摸底考試數(shù)學試題

江漢區(qū)2022級高二新起點摸底考試數(shù)學試卷江漢區(qū)教研培訓中心命制本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.★祝考試順利★注意事項：1.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案填涂在答題卡上.）1.已知集，合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求解二次不等式，再求交集即可.【詳解】，故.故選：D2.若復數(shù)z的虛部小于0，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設復數(shù)，然后根據(jù)，解得，最后帶入求解即可.【詳解】設復數(shù)，因為，所以，所以，所以.故選：B.3.某中學高三年級共有學生人，為了解他們的視力狀況，用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為的樣本，若樣本中共有女生人，則該校高三年級共有男生（）人A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設高三男生人數(shù)為人，則高三女生人數(shù)為人，利用分層抽樣可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】設高三男生人數(shù)為人，則高三女生人數(shù)為人，由分層抽樣可得，解得.故選：B.4.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別限定的范圍即可求出結(jié)果.【詳解】由在上單調(diào)遞減可知，，即；由對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，，即；又可知，即；所以可得.故選：A5.已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示可知，再由投影向量的定義即可求得結(jié)果.【詳解】易知，根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量.故選：C6.著名田園詩人陶淵明也是一個大思想家，他曾言：勤學如春起之苗，不見其增，日有所長；輟學如磨刀之石，不見其損，日有所虧．今天，我們可以用數(shù)學觀點來對這句話重新詮釋，我們可以把“不見其增”量化為每天的“進步率”都是1%，一年后是；而把“不見其損”量化為每天的“落后率”都是1%，一年后是．可以計算得到，一年后的“進步”是“落后”的倍．那么，如果每天的“進步率”和“落后率”都是20%，要使“進步”是“落后”的10000倍，大約需要經(jīng)過（，）（）A17天 B.19天 C.21天 D.23天【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】經(jīng)過x天后，“進步”與“落后”的比，，兩邊取以10為底的對數(shù)得，，，所以大于經(jīng)過23天后，“進步”是“落后”的10000倍．故選：D7.若函數(shù)在有最小值無最大值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得取值范圍，再根據(jù)函數(shù)在有最小值無最大值，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值分析即可.【詳解】由，可得，又函數(shù)在有最小值無最大值，故，解得.故選：D8.在三棱錐中，底面為等腰三角形，，且，平面平面，，點為三棱錐外接球上一動點，且點到平面的距離的最大值為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，設，設外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，可結(jié)合線面垂直的性質(zhì)與判定求得，再根據(jù)垂直關(guān)系可得點到平面的距離等于點到平面的距離，進而列式求解即可.【詳解】取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.因為平面，所以，又因為，，平面，所以平面.因為為等腰三角形，且，則，設，則，.設外接圓的圓心為，半徑為，球的半徑為，如圖所示，，，三點共線，由平面，可得平面．由正弦定理，故，則.連接，，則，由平面，且外接圓的圓心為，可得.因為平面，所以，又平面，平面，故平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離.又因為點到平面的距離的最大值為，所以，得，所以，球的表面積為．故選：C二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知?是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，在特殊幾何體中舉反例的方法則可確定錯誤選項，再根據(jù)判定與性質(zhì)定理分析正確的命題即可.【詳解】在正方體中，對于A選項，如圖，各在正方體左、右兩平行的側(cè)面內(nèi)，但兩直線異面，不平行，故錯誤；對于B選項，如圖，若，平面，但平面，不與平面平行，故B錯誤；對于C選項，如圖，平面平面，平面，但不垂直于平面，故C錯誤；對于D選項，若，則在平面內(nèi)存在一條直線與平行，又，則，又，則由平面與平面垂直的判定定理可知，.故D正確.故選：ABC.10.下列四個結(jié)論中正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.設，，則“”的充分不必要條件是“”C.若“，”為假命題，則D.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，則實數(shù)的取值范圍是【答案】CD【解析】【分析】由全稱命題的否定即可判斷A，舉出反例即可判斷B，由一元二次不等式恒成立即可判斷C，由二次函數(shù)的對稱性即可判斷D.【詳解】命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；當時，得不到，比如當時，不滿足；當時，也得不到，比如當，故B錯誤；若“，”為假命題，則“，”為真命題，則，故C正確；函數(shù)，其對稱軸為，由于函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為3，則，故D正確；故選：CD11.在中，，，則角的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由正弦定理，可得，又，所以，又，可得，可判斷各個選項.【詳解】由正弦定理，可得，又，所以，又，所以，即角為銳角，所以角的取值范圍為，故A，B正確.故選：AB.12.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如武漢東湖的“東湖之眼”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度55米，轉(zhuǎn)盤直徑為50米，設置若干個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)分鐘，當時，游客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處.以下關(guān)于摩天輪的說法中，正確的為（）A.摩天輪離地面最近的距離為5米B.若旋轉(zhuǎn)分鐘后，游客距離地面的高度為米，則C.存在，，使得游客在該時刻距離地面的高度均為20米D.若在，時刻游客距離地面的高度相等，則的最小值為20【答案】ABD【解析】【分析】摩天輪離地面最遠距離減去轉(zhuǎn)盤直徑，從而可判斷A；由時間t與游客距離地面的高度，求出關(guān)于t的表達式，即可判斷B；求出在上的單調(diào)性，結(jié)合當時，，即可判斷C；由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可求出的最小值即可判斷D；【詳解】對于A，由題意知，摩天輪離地面最近的距離為米，故A正確；對于B，設，當時，游客從離地面最近的位置進艙，當，，，，又當時，，所以，所以，故B正確；對于C，因為，，又高度相等，函數(shù)的對稱軸為，則關(guān)于對稱，則，則；令，解得，令，解得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，當時，；當時，，所以在只有一個解，故C錯誤；對于D，周期，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，令，則，，函數(shù)關(guān)于對稱，若在，時刻游客距離地面的高度相等，則當時，的最小值為10，的最小值為20.故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，，8，9，10，若其極差與平均數(shù)相等，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】由極差和平均數(shù)求出，即可求出中位數(shù).【詳解】依題意可得極差為，平均數(shù)為，所以，解得，所以中位線為.故答案為：14.若，則___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)余弦二倍角公式以及誘導公式得出結(jié)果.【詳解】由得，所以.故答案為：.15.已知，則的最小值為___________.【答案】2【解析】【分析】由對數(shù)的性質(zhì)可得，應用基本不等式“1”的代換求的范圍，進而確定目標式的最小值.【詳解】由題設且，則，故，所以，當且僅當，即時等號成立，故，所以的最小值為2.故答案為：216.設函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的對稱性，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解即可.【詳解】設，因為，，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，，顯然該函數(shù)是增函數(shù)，當時，，所以函數(shù)是增函數(shù)；函數(shù)，對稱軸為直線對稱，而且當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，而且當時，單調(diào)遞增，由對稱性可知：在時，單調(diào)遞減，當時，一定有成立，解得；當時，一定不成立；當時，即時，由，即；當時，此時，綜上所述：的取值范圍是，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的對稱軸、利用導數(shù)求出單調(diào)性.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知向量，滿足，，.（1）求；（2）若，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，然后根據(jù)向量的夾角公式求解；（2）先表示出，然后根據(jù)數(shù)量積的定義求解.【小問1詳解】因為，所以，，所以，.小問2詳解】因為，所以，，所以，邊的長度為.18.甲?乙?丙三人各自獨立地破譯某密碼，已知甲?乙都譯出密碼概率為，甲?丙都譯出密碼的概率為，乙?丙都譯出密碼的概率為.（1）分別求甲?乙?丙三人各自譯出密碼的概率；（2）求密碼被破譯的概率.【答案】（1）甲?乙?丙三人各自譯出密碼的概率分別是，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于兩個事件概率的乘積解方程組得出結(jié)果；（2）求解對立事件的概率得出結(jié)果.【小問1詳解】設事件??分別為甲?乙?丙三人各自譯出密碼，由題設條件有即解得，，.即甲?乙?丙三人各自譯出密碼的概率分別是，，.【小問2詳解】記事件為密碼被破譯，則.故密碼被破譯的概率為.19.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和對稱中心；（2）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化簡的解析式，由此求得的最小正周期，利用整體代入法求得的對稱中心.（2）根據(jù)求得，利用正弦定理、三角恒等變換的知識化簡，根據(jù)三角函數(shù)值域的知識求得的取值范圍.【小問1詳解】由條件可知：，的最小正周期為，令，，解得，，的對稱中心為；【小問2詳解】由正弦定理得，由（1），而，得，，，解得，，又，可得，，，代入上式化簡得：，又在銳角中，有，，，則有，.20.如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求與平面所成的角；（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明平面，確定直線與平面所成的角，再計算作答.（2）求出點到平面的距離，再利用錐體體積公式求解作答.【小問1詳解】在三棱柱中，由，，得，由平面，平面，得，而平面，則平面，因此就是與平面所成的角，顯然，又，且，則，由平面，得，于是，所以與平面所成的角為.【小問2詳解】過點作于，如圖，由平面，平面，得，又平面，則平面，即為四棱錐的高，由（1）知，，則是的中點，在中，，而，所以四棱錐的體積.21.某學校為了了解老師對“民法典”知識的認知程度，針對不同年齡的老師舉辦了一次“民法典”知識競答，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：，第二組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這人年齡的第75百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取40人，擔任“民法典”知識的宣傳使者.①若有甲（年齡23），乙（年齡43）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第一組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2名作為組長，求甲?乙兩人恰有一人被選上的概率；②若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計這人中35~45歲所有人的年齡的方差.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖由百分位數(shù)的定義代入計算即可得出結(jié)果；（2）用列舉法列出所有的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型的公式計算所求概率，由方差的公式即可求解.【小問1詳解】設這人年齡的第75百分位數(shù)為，根據(jù)百分位數(shù)定義可得，解得.【小問2詳解】①由題意得，第一組應抽取2人，記為，甲，第五組抽取4人，記為，，，乙.對應的樣本空間為：，共15個樣本點.設事件“甲?乙兩人恰有一人被選上”，則，共有8個樣本點.所以，.②設第四組?第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，則，，，.設第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為.則，，因此，第四組和第五組所有宣傳使者的年齡方差為.據(jù)此，可估計這人中年齡在35~45歲的所有人的年齡方差約為.22.在平行四邊形中，，，如圖甲所示，作于點，將沿著翻折，使點與點重合，如圖乙所示.（1）設平面與平面的交線為，判斷與的位置關(guān)系，并證明；（2）當四棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值；（3）在（2）條件下，?分別為棱，的點，求空間四邊形周長的最小值.【答案】（1），證明見解析