高中數(shù)學(xué)第6章計(jì)數(shù)原理6.3.1二項(xiàng)式定理訓(xùn)練提升新人教版選修3

6.3二項(xiàng)式定理6.3.1二項(xiàng)式定理課后·訓(xùn)練提升基礎(chǔ)鞏固1.化簡多項(xiàng)式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()A.(2x+2)5 B.2x5C.(2x-1)5 D.32x5答案:D解析:原式=[(2x+1)-1]5=(2x)5=32x5.2.在x2-2x6的展開式中,xA.-154 B.15C.-38 D.答案:C解析:x2-2x6的通項(xiàng)為Tk+1=C6kx26-k·-令3-k=2,則k=1,因此x2的系數(shù)為(-1)1×2-4×C61=-38,3.3x-2xA.5 B.10 C.-20 D.40答案:D解析:由題意知Tk+1=C5k(3x)5-k-2x令53-5k6=0,得k=2,因此T3=(-2)24.已知x-1x7的展開式的第4項(xiàng)等于5,則xA.17 B.-1C.7 D.-7答案:B解析:T4=C73x4-1x3=5.(多選題)關(guān)于多項(xiàng)式1+2x-x6的展開式A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1B.各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和為212C.存在常數(shù)項(xiàng)D.x3的系數(shù)為40答案:BCD解析:對于A,在1+2x-x6中,令x=1,可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為26對于B,1+2x-x6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的絕對值之和與1+2x+x6的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和相等,在1+2x+對于C,展開式1+2x-x6,其含義是6個(gè)1+2x-x相乘,在6個(gè)相同因式1+2x-x中,每個(gè)因式可取1,2x,-x三者其一乘到一起,所有情況相加再進(jìn)行合并對于D,同C選項(xiàng)的分析可得含x3的系數(shù)為[C63×(-1)3]×(C33×13)+(C61×21)×[C54×(-1)4]=6.已知x2-1xn的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為15,則A.3 B.4 C.5 D.6答案:D解析:展開式的通項(xiàng)為Tk+1=Cnk(x2)n-k·(-1)k·1xk=(-1)kCnkx2n-3k.令2n-3k=0,得n=32k(n,k∈N*).若k=2,則n=3不符合題意;若k=4,則n=6,此時(shí)(-1)4·7.(1-i)10(i為虛數(shù)單位)的展開式中第7項(xiàng)為.

答案:-210解析:由通項(xiàng)公式得T7=C106·(-i)6=-C108.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù)為.

答案:330解析:x3的系數(shù)為C33+C43+C53+9.若(1+x)10=∑i=010ai(1-x)i,則a9=答案:-2010.化簡:S=1-2Cn1+4Cn2-8Cn3+…+(-2)nCn解將S的表達(dá)式改寫為S=Cn0+(-2)Cn1+(-2)2Cn2+(-2)3Cn3+…+(-2)nCnn=[1+因此S=(-1)n=111.已知x-12xn的展開式中,第3項(xiàng)與第5(1)求n的值;(2)求(2x+1)x-12xn解(1)因?yàn)閤-12xn的展開式中第3又第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為2∶5,所以Cn即n(n-1)2×1n(n-1)(n-2)(n-3)4(2)因?yàn)閤-12xn展開式的通項(xiàng)為Tk+1=C當(dāng)8-3k2=1時(shí),解得k=2;當(dāng)8-3k2=2時(shí)所以(2x+1)x-12xn的展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為2能力提升1.在x+13x24的展開式中,A.3項(xiàng) B.4項(xiàng) C.5項(xiàng) D.6項(xiàng)答案:C解析:Tk+1=C24kx24-k2·x-k3=C24k·x12-56k,2.在x12+12x14A.5 B.4 C.3 D.2答案:C解析:二項(xiàng)展開式的前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,Cn1·12,Cn2·122,由其成等差數(shù)列,可得2Cn1·12=1+Cn2·122,整理得n=1+n(n-1)83.若3x2-12x3nA.-1352 B.-135C.1352 D.答案:C解析:∵Tk+1=Cnk(3x2)n-k·-12k·(x-3)k=-12k·3n-k·Cnk·x2又n∈N*,k≥0,∴當(dāng)n=5,k=2時(shí)滿足題意,此時(shí)常數(shù)項(xiàng)為-122·33·C54.(3x+2y+z)5展開式中xy3z項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.240 C.360 D.480答案:D解析:(3x+2y+z)5表示5個(gè)因式(3x+2y+z)的乘積,故它的展開式中,含xy3z的項(xiàng)是由其中一個(gè)因式取3x,其中三個(gè)因式取2y,剩下的一個(gè)因式取z得到的,故xy3z的系數(shù)為C51·3·C43·23·C115.(多選題)對于1x+x3n(n∈N*),有以下四種判斷A.存在n∈N*,展開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對任意n∈N*,展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C.對任意n∈N*,展開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在n∈N*,展開式中有x的一次項(xiàng)答案:AD解析:1x+x3n的展開式的通項(xiàng)為Tk+1=Cnkx4k-n,由通項(xiàng)公式可知,當(dāng)n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)6.若ax2+1x5的展開式中x5的系數(shù)是-答案:-2解析:Tk+1=C5k·(ax2)5-k1xk=C令10-52k=5,解得k=2又展開式中x5的系數(shù)為-80,則有C52·a3=-80,解得a=-7.設(shè)a≠0,n是大于1的自然數(shù),1+xan的展開式為a0+a1x+a2x2+…+anxn.若點(diǎn)Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如圖所示,則a=答案:3解析:由題意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4),即a0=1,a1=3,a2=4.由1+xan的展開式的通項(xiàng)知Tk+1=Cnkxak(k=0,1,2,…,n).故Cn經(jīng)檢驗(yàn),a=3符合題意.8.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數(shù)為19,求x2的系數(shù)的最小值及此時(shí)展開式中x7的系數(shù).解f(x)=(1+x)m+(1+x)n=1+Cm1x+Cm2x2+…+Cmmxm+1+Cn1x+Cn由題設(shè)知m+n=19,又m,n∈N*,所以1≤m≤18.x2的系數(shù)為Cm2+Cn2=12(m2-m)+12(n所以當(dāng)m=9或10時(shí),x2的系數(shù)的最小值為81,此時(shí)x7的系數(shù)為C97+9.已知在x-23xn的展開式中,第5項(xiàng)的系數(shù)與第3(1)求展開式中的所有有理項(xiàng);(2)求n+9Cn2+81Cn3+…+9n-解(1)由第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)分別是Cn4·(-2)4,Cn2·(-2)2,又兩者之比是56∶3,整理得n2-5n-50=0,解得n=10,n=-因?yàn)橥?xiàng)為Tk+1=C10k·(-2)k·x5-5k6,當(dāng)5-5k6為整數(shù),k可取0,6,于是有理項(xiàng)為T1=x(2)n+9Cn2+81Cn3+…+=10+9C102+92·C103+…+910=9=(=1010.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展開式中含x2的項(xiàng).(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展開式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為12,那么當(dāng)m,n為何值時(shí),含x2的項(xiàng)的系數(shù)取得最小值?解(1)當(dāng)m=3,n=4時(shí),f(x)g(x)=(1+x)3·(1+2x)4.(1+x)3展開式的通項(xiàng)為C3rx(1+2x)4展開式的通項(xiàng)為C4r(2x)f(x)g(x)的展開式含x2的項(xiàng)為1×C42(2x)2+C31x×C41(2x)+C3