數(shù)學(xué)人教A版選修2-2課堂探究1.1變化率與導(dǎo)數(shù)（第1課時(shí)）

課堂探究探究一求函數(shù)的平均變化率求平均變化率的主要步驟是：(1)計(jì)算Δy：計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x1)－f(x0)．(2)計(jì)算Δx：計(jì)算自變量的改變量Δx＝x1－x0.(3)結(jié)論：平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x1)－f(x0),x1－x0).【典型例題1】已知函數(shù)f(x)＝3x2＋2.(1)求在區(qū)間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率；(2)求當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)的平均變化率；(3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0.1)，分析(2)中的平均變化率的幾何意義．思路分析：解答本題要緊扣平均變化率的定義，先求Δy，Δx，再求eq\f(Δy,Δx).解：(1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3(x0＋Δx)2＋2＝3x02＋6x0·Δx＋3(Δx)2＋2.∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2.∴f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(6x0·Δx＋3(Δx)2,Δx)＝6x0＋3Δx.(2)當(dāng)x0＝2，Δx＝0.1時(shí)，平均變化率為eq\f(Δy,Δx)＝6×2＋3×0.1＝12.3.(3)eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f(x′0)－f(x0),x′0－x0)＝eq\f(f(2.1)－f(2),2.1－2)，它表示曲線f(x)＝3x2＋2上點(diǎn)A(2,14)，B(2.1,15.23)連線的斜率．【典型例題2】已知某運(yùn)動(dòng)物體的位移公式為s＝s(t)＝eq\f(1,2)t2，求該運(yùn)動(dòng)物體在第2s后的0.1s內(nèi)的平均速度．(位移單位：m，時(shí)間單位：s)解：∵Δs＝s(2＋0.1)－s(2)，∴Δs＝eq\f(1,2)×2－eq\f(1,2)×22＝0.205.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\,0.1)＝2.05，即eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt)＝2.05(m/s)．探究二求瞬時(shí)速度1．求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟第一步，求時(shí)間改變量Δt和位移改變量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．第二步，求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).第三步，求瞬時(shí)速度，當(dāng)Δt無(wú)限趨近于0時(shí)，eq\f(Δs,Δt)無(wú)限趨近的常數(shù)v即為瞬時(shí)速度．2．求eq\f(Δy,Δx)(當(dāng)Δx無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把Δx作為一個(gè)數(shù)來參與運(yùn)算．(2)求出eq\f(Δy,Δx)的表達(dá)式并化簡(jiǎn)(如對(duì)Δx約分)后，Δx無(wú)限趨近于0就是令Δx＝0，求出結(jié)果即可．【典型例題3】一輛汽車按規(guī)律s＝at2＋1做直線運(yùn)動(dòng)，若汽車在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為12，求a.思路分析：先根據(jù)瞬時(shí)速度的求法得到汽車在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度的表達(dá)式，再代入求出a的值．解：∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1.于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4aΔt＋a(Δt)2，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4aΔt＋a(Δt)2,Δt)＝4a＋aΔt.因此eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))(4a＋aΔt)＝4a，依題意有4a＝12，∴a＝3.探究三利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”．(1)計(jì)算函數(shù)值的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)計(jì)算函數(shù)值的增量與自變量增量Δx的比：eq\f(Δy,Δx)；(3)計(jì)算上述增量的比值當(dāng)Δx→0時(shí)的極限，即eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx).【典型例題4】求函數(shù)y＝f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．思路分析：解答本題要緊扣導(dǎo)數(shù)的定義，函數(shù)f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的導(dǎo)數(shù)就是f(x)＝x－eq\f(1,x)在x＝1處的瞬時(shí)變化率．解：∵Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1)))＝Δx＋1－eq\f(1,1＋Δx)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx)，∴eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,1＋Δx)))＝2.∴f′(1)＝2.探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不清而導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題5】設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f′(x0)已知，求下列各式的極限值．(1)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)；(2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h(huán)),2h).錯(cuò)解：(1)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0－Δx)－f(x0),Δx)＝f′(x0)．(2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h(huán)),2h)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x0＋h)－f(x0－h(huán)),h)＝eq\f(1,2)f′(x0)．錯(cuò)因分析：在導(dǎo)數(shù)的定義中，增量Δx的形式是多種多樣的，但不論Δx是哪種形式，Δy必須選擇相對(duì)應(yīng)的形式．如(1)中Δx的改變量為Δx＝x0－(x0－Δx)，(2)中Δx的改變量為2h＝(x0＋h)－(x0－h(huán))．正解：(1)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f(x