曲邊題型的面積變速直線運(yùn)動(dòng)的路程

人教A版選修2—2精講細(xì)練1.5.1曲邊梯形的面積1.5.2汽車行駛的路程一、知識(shí)精講1．連續(xù)函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在某個(gè)區(qū)間I上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么就把它稱為區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù)．2．曲邊梯形①定義：曲邊梯形—由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如下圖)．②求法：分割、近似替代、求和、取極限。3．求作變速直線運(yùn)動(dòng)物體的位移(路程)如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似替代、求和、取極限的方法，求出它在a≤t≤b內(nèi)的位移s.二、典例細(xì)練【題型一】：連續(xù)函數(shù)的判斷例題1：下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)不是連續(xù)函數(shù)的是(

).(x)=|x|

(x)=sinx(x)=lgx-1

(x)=?【答案】:D【解析】:作出各個(gè)函數(shù)的圖象,可知應(yīng)選D.【點(diǎn)評(píng)】判斷一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是否為連續(xù)函數(shù)就是看此函數(shù)的圖像在該區(qū)間上是否間斷；若間斷，則不為連續(xù)函數(shù)?！绢}型二】：求曲邊梯形的面積例題1：求直線和曲線所圍成的圖形（曲邊三角形）的面積．【解析】1．分割把區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，，…，，…，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為.過各區(qū)間端點(diǎn)作軸的垂線，從而得到個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作，，…，，…，．即．2．近似替代對(duì)區(qū)間上的小曲邊梯形，以區(qū)間左端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為一邊的長(zhǎng)，以為鄰邊的長(zhǎng)的小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積，即．3．求和因?yàn)槊總€(gè)小矩形的面積是相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以個(gè)小矩形的面積之和就是所求曲邊三角形面積的近似值，其中]．4、取極限當(dāng)分割無限變細(xì)，即（亦即）時(shí)，.的求法包括：方法1、計(jì)算機(jī)計(jì)算（一個(gè)大致結(jié)果）．方法2、體積構(gòu)造法:.將單位正方體每條棱等分，得到個(gè)長(zhǎng)方體，其體積之和即為；當(dāng)時(shí)，該幾何體無限逼近四棱錐，又，從而．方法3、公式法:由（公式推導(dǎo)見教材第二章推理與證明P72）有，當(dāng)時(shí)，，從而．【點(diǎn)評(píng)】求曲邊梯形面積的思想是“以直代曲”，分割的越細(xì)，曲邊題型的面積越精確。變式訓(xùn)練：求由直線x＝0，x＝1，y＝0與曲線y＝x＋2x＋1圍成曲邊梯形的面積．【解析】將區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為[eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)]，第i個(gè)小區(qū)間的面積為ΔSi＝f(eq\f(i,n))·eq\f(1,n)＝[(eq\f(i,n))2＋2(eq\f(i,n))＋1]·eq\f(1,n)，所以Sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si＝eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(i,n))2＋2(eq\f(i,n))＋1]·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n3)(12＋22＋32＋…＋n2)＋eq\f(2,n2)(1＋2＋3＋…＋n)＋1＝eq\f(1,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6)＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1,2)＋1＝eq\f(1＋\f(1,n)2＋\f(1,n),6)＋eq\f(1,n)＋2，S＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))[eq\f(1＋\f(1,n)2＋\f(1,n),6)＋eq\f(1,n)＋2]＝eq\f(7,3)，所以所求的曲邊梯形的面積為eq\f(7,3).【題型三】：求作變速直線運(yùn)動(dòng)物體的路程例題3：已知自由落體的運(yùn)動(dòng)速度v＝gt，求在時(shí)間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離．【解析】(1)分割：將時(shí)間區(qū)間[0，t]分成n等份．把時(shí)間[0，t]分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)](i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間所表示的時(shí)間段Δt＝eq\f(it,n)－eq\f(i－1,n)t＝eq\f(t,n)，在各個(gè)小區(qū)間物體下落的距離記作Δsi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每個(gè)小區(qū)間上以勻速運(yùn)動(dòng)的路程近似代替變速運(yùn)動(dòng)的路程．在[eq\f(i－1,n)t，eq\f(it,n)]上任取一時(shí)刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝g·eq\f(i－1,n)t近似代替第i個(gè)小區(qū)間上的速度，因此在每個(gè)小區(qū)間上自由落體Δt＝eq\f(t,n)內(nèi)所經(jīng)過的距離可近似表示為Δsi≈geq\f(i－1,n)t·eq\f(t,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)si＝eq\i\su(i＝1,n,g)·(eq\f(i－1,n))t·eq\f(t,n)＝eq\f(gt2,n2)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝eq\f(1,2)gt2(1－eq\f(1,n))．(4)取極限：s＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,2)gt2(1－eq\f(1,n))＝eq\f(1,2)gt2.即在時(shí)間區(qū)間[0，t]內(nèi)物體下落的距離為eq\f(1,2)gt2.【點(diǎn)評(píng)】把變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題,化歸為求勻速直線運(yùn)動(dòng)的問題,采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取極限,求變換直線運(yùn)動(dòng)的路程和曲邊梯形的面積,雖然它們的意義不同,但都可以歸納為求一個(gè)特定形式和的極限,通過這樣的背景問題,能更好體會(huì)后面所要學(xué)習(xí)的定積分的概念.變式訓(xùn)練：汽車以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間t所行駛的路程s＝vt.如果汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程是多少？【解析】將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n))).∴Δsi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n).sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)))2＋2))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f((i－1)2,n2)＋\f(2(i－1),n)＋3))＝eq\f(1,n)3n＋eq\f(1,n2)[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋eq\f(1,n)[0＋2＋4＋6＋…＋2(n－1)]＝3＋eq\f((n－1)(2n－1),6n2)＋eq\f(n－1,n).s