2016-2017學(xué)年高二文數(shù)人教版選修1-1（第02章） Word版含解析

1．橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于_________(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．橢圓的集合描述：設(shè)點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是橢圓的焦點(diǎn)，則由橢圓的定義，橢圓就是集合P＝{M｜|MF1|＋|MF2|＝2a，0＜|F1F2|＜2a}．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程如圖，給定橢圓，它的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于2a(a＞c).（1）建系：以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xOy．那么焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為_(kāi)________，_________．（2）列式：設(shè)M(x，y)是橢圓上任意一點(diǎn)，由橢圓的定義得|MF1|＋|MF2|＝2a，即．（3）化簡(jiǎn)：上式整理可得．令，可得(a＞b＞0)．3．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：（1）焦點(diǎn)落在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為_(kāi)________，且_________，如圖1所示；（2）焦點(diǎn)落在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，焦點(diǎn)為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為_(kāi)________，且_________，如圖2所示．圖1 圖2 圖3注：橢圓方程中，a表示橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和的一半，可借助于圖3記憶．正數(shù)a，b，c恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，其中a是斜邊，所以a＞b，a＞c且，其中c是焦距的一半．對(duì)于圖2中的橢圓，關(guān)系式a＞b，a＞c且也始終成立．4．橢圓(a＞b＞0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）范圍：易知，故，即；同理．故橢圓位于直線和所圍成的矩形框里．（2）對(duì)稱(chēng)性：在方程中，以代替或以代替或以代替、以代替，方程都不改變，故橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)．原點(diǎn)為橢圓的對(duì)稱(chēng)中心，也稱(chēng)為橢圓的中心．（3）頂點(diǎn)：橢圓與x軸、y軸分別有兩個(gè)交點(diǎn)，這四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)．其中x軸上兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段稱(chēng)為橢圓的長(zhǎng)軸，y軸上兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段稱(chēng)為橢圓的短軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)________，短軸長(zhǎng)為_(kāi)________．說(shuō)明：依據(jù)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，可以確定橢圓的具體位置．（4）離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為橢圓的_________．離心率能夠刻畫(huà)橢圓的扁平程度．橢圓的扁平程度由離心率的大小確定，與橢圓的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無(wú)關(guān)，e越大橢圓越扁，e越小橢圓越圓．5．橢圓，(a＞b＞0)的幾何性質(zhì)比較標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞b＞0)(a＞b＞0)圖形范圍，，對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)左焦點(diǎn)F1(－c，0)，右焦點(diǎn)F2(c，0)下焦點(diǎn)F1(0，－c)，上焦點(diǎn)F2(0，c)頂點(diǎn)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，短軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b離心率e6．求曲線方程的常用方法求曲線的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）坐標(biāo)表示點(diǎn)M滿足的條件；（3）化方程為最簡(jiǎn)形式．若遇到某些點(diǎn)雖適合方程，但不在曲線上時(shí)，可通過(guò)限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．常用方法如下：方法一直接法．根據(jù)題中的已知條件能直接建立所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)的橫縱坐標(biāo)x，y滿足的關(guān)系式，從而得到曲線方程．這是求曲線方程最基本的方法．方法二定義法．若能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義，則可由曲線的定義直接寫(xiě)出曲線方程．方法三代入法（即相關(guān)點(diǎn)法）．若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)依賴(lài)于另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q(x1，y1)的變化而變化，且已知?jiǎng)狱c(diǎn)Q(x1，y1)滿足的條件或軌跡方程，則可用x，y表示x1，y1，并代入已知條件或軌跡方程，整理即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．K知識(shí)參考答案：1．常數(shù) 2．(－c，0)(c，0)3．2cb2＋c22cb2＋c24．2a2b離心率K—重點(diǎn)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)K—難點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用（以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，與其他知識(shí)綜合）K—易錯(cuò)忽略橢圓定義中的限制條件、焦點(diǎn)的位置、橢圓的范圍而致錯(cuò)1．對(duì)橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的理解對(duì)于方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓且表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓且表示橢圓且【例1】對(duì)于方程，（1）若該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________；（2）若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________；（3）若該方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】（1）(2，10)；（2）(－6，2)；（3）(－6，2)∪(2，10)【解析】（1）由題意可知，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2，10)．（2）由題意可知，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－6，2)．（3）由題意可知，解得且，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－6，2)∪(2，10)．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于形如：Ax2＋By2＝1(其中A＞0，B＞0，A≠B)的橢圓的方程，其包含焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況，當(dāng)B＞A時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)B＜A時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．2．橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用橢圓的定義給出了一個(gè)結(jié)論：橢圓上的點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a，則已知橢圓上一點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離就可以利用|PF1|＋|PF2|＝2a求出該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離．【例2】已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上．（1）若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離等于1，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離為_(kāi)_________；（2）過(guò)F1作直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_________；（3）若，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為_(kāi)_________．【答案】（1）3；（2）8；（3）【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，，故，，．（1）由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3．（2）的周長(zhǎng)．（3）在中，由余弦定理可得，即，由橢圓的定義可得，兩式聯(lián)立解得．【名師點(diǎn)睛】在橢圓中，由三條線段，，圍成的三角形稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)三角形，涉及橢圓的焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題，可結(jié)合橢圓的定義：求出結(jié)果，因此回歸定義是求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的常用方法．同時(shí)應(yīng)注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的靈活應(yīng)用．3．由橢圓方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)描點(diǎn)法畫(huà)橢圓的步驟：（1）依據(jù)橢圓的范圍變形方程，得到橢圓在第一象限內(nèi)的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）取點(diǎn)(x，y)，列表、描點(diǎn)；（3）用平滑的曲線連接各點(diǎn)，即得到橢圓在第一象限內(nèi)的圖象；（4）利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出整個(gè)橢圓．【例3】求橢圓9x2＋25y2＝225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫(huà)出這個(gè)橢圓．【解析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式得，得a＝5，b＝3，則．因此，長(zhǎng)軸2a＝10，短軸長(zhǎng)2b＝6，離心率．焦點(diǎn)為F1(－4，0)和F2(4，0)，頂點(diǎn)為A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3)．將方程變形為，根據(jù)可求出橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)及其在第一象限內(nèi)一些點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)，列表如下：x012345y32.942.752.41.80先描點(diǎn)，再用光滑曲線順次連接這些點(diǎn)，得到橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出整個(gè)橢圓，如圖所示．【名師點(diǎn)睛】解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，注意分清焦點(diǎn)的位置，這樣便于寫(xiě)出a，b的值，再根據(jù)c2＝a2－b2求出c，進(jìn)而求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)．4．求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：①由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定方程形式；②由橢圓的定義求出a；③由求出b．（也可采用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，主要步驟可歸納為：先定型，再定量）．（2）利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟(通常采用待定系數(shù)法)：①確定焦點(diǎn)位置；②設(shè)出相應(yīng)橢圓的方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；③根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù).列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有，等．【例4】求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（3）長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6；（4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率；（5）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)；（6）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與橢圓有相同的離心率．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法一由橢圓的定義知，所以．又，所以，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)，所以．又，聯(lián)立解得，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）方法一若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知條件得，解得，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由已知條件得，解得，由于，與矛盾，故舍去．綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二設(shè)橢圓的一般方程為．將點(diǎn)，代入一般方程，得，解得，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，焦距為2c，由題意可知，結(jié)合可解得a＝5，b＝4，c＝3．因?yàn)椴淮_定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（4）當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意，得，因?yàn)?，所以，從而，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意，得，因?yàn)?，解得，從而，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（5）方法一求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，則可轉(zhuǎn)化為（1）的形式，此處不再贅述．方法二設(shè)所求橢圓的方程為，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得，解得舍去．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（6）方法一求出離心率，由a，b，c之間的關(guān)系及方程過(guò)點(diǎn)N，列方程組即可求解，此處不再贅述．方法二設(shè)所求橢圓的方程為或，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入可得或，即，，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，即或．【名師點(diǎn)睛】（1）若橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，需要分焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為，從而避免討論．（2）在橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用中，軸長(zhǎng)、離心率不能確定橢圓的焦點(diǎn)位置，因此僅依據(jù)這些條件確定的橢圓方程可能有兩個(gè)．（3）與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為且，與橢圓有相同離心率的橢圓方程可設(shè)為，焦點(diǎn)在x軸上或，焦點(diǎn)在y軸上．5．求橢圓的離心率離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，也是高考命題的重點(diǎn)，求解方法一般有兩種：（1）易求a，c，代入求解；易求b，c，由求解；易求a，b，由求解．（2）列出含a，c的齊次方程，列式時(shí)常用公式代替式子中的b，然后將等式兩邊同時(shí)除以a的n次方(一般除以a或a2)，從而利用轉(zhuǎn)化為含e的方程，解方程即可．但應(yīng)注意．【例5】（1）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：的左、右焦點(diǎn)，P為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率為_(kāi)__________；（2）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A1，A2，B1，B2為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，直線A1B2與直線B1F相交于點(diǎn)T，線段OT與橢圓的交點(diǎn)M恰為線段OT的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)__________．【答案】（1）；（2）【解析】（1）如圖2，設(shè)直線交x軸于D點(diǎn)，因?yàn)槭堑捉菫榈牡妊切?，則有，因?yàn)?，所以，，所以，即，即，即，所以橢圓E的離心率．圖1圖2（2）設(shè)F(c，0)，則．由題意，易得直線A1B2，B1F的方程分別為，．將上述兩個(gè)方程聯(lián)立，求解可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為T(mén)，則M．又點(diǎn)M在橢圓上，所以，整理得，兩邊同時(shí)除以，可得，解得或(舍去)．【名師點(diǎn)睛】在解一元二次方程時(shí)得出的根一般有兩個(gè)，此時(shí)要根據(jù)橢圓的離心率進(jìn)行根的取舍，否則易產(chǎn)生增根．6．與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題求解有關(guān)橢圓的軌跡問(wèn)題，一般有如下兩種思路：（1）首先通過(guò)題干中給出的等量關(guān)系列出等式，然后化簡(jiǎn)等式得到對(duì)應(yīng)的軌跡方程；（2）首先分析幾何圖形所揭示的幾何關(guān)系，然后對(duì)比橢圓的定義，設(shè)出對(duì)應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出其中a，b的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程．【例6】如圖1，在圓C：(x＋1)2＋y2＝36內(nèi)有一點(diǎn)A(1，0)，點(diǎn)Q為圓C上一點(diǎn)，線段AQ的垂直平分線與C，Q的連線交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程．圖1圖2【解析】如圖2，連接MA．由題意知點(diǎn)M在線段CQ上，從而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又點(diǎn)M在AQ的垂直平分線上，則|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝6．又A(1，0)，C(－1，0)，故點(diǎn)M的軌跡是以(－1，0)，(1，0)為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故，．故點(diǎn)M的軌跡方程為．7．直線與橢圓的位置關(guān)系（1）判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時(shí)，一般把二者方程聯(lián)立得到方程組，判斷方程組解的個(gè)數(shù)，方程組有幾個(gè)解，直線與橢圓有幾個(gè)公共點(diǎn)，方程組的解對(duì)應(yīng)公共點(diǎn)的坐標(biāo)．由直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，聯(lián)立二者方程消元化為一元方程，對(duì)于二次方程依據(jù)判別式與0的大小關(guān)系求解．（2）求直線與橢圓的相交弦長(zhǎng)時(shí)，可以先求出兩個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間距離公式，也可以聯(lián)立方程消元為二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到．【例7】已知直線，橢圓C：．試問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒(méi)有公共點(diǎn)．【解析】將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組，消去y，得①，判別式．（1）當(dāng)，即時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)．（2）當(dāng)，即時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．（3）當(dāng)，即或時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，這時(shí)直線l與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】聯(lián)立方程組后，消去x還是消去y都可以，這是不影響最終計(jì)算結(jié)果的．【例8】如圖，已知斜率為1的直線l過(guò)橢圓C：的下焦點(diǎn)，交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)．【解析】設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)．由橢圓方程知，，所以，所以橢圓的下焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(0，－2)，故直線l的方程為y＝x－2．將其代入，化簡(jiǎn)整理得，所以，，所以．【名師點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題常常利用設(shè)而不求和整體代入的方法，解題步驟為：（1）設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)；（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元得到關(guān)于x或y的一元二次方程；（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系設(shè)而不求；（4）利用題干中的條件轉(zhuǎn)化為x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，進(jìn)而求解．8．忽略橢圓定義中的限制條件，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤【例9】（1）已知F1，F(xiàn)2為兩定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段（2）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_________．【錯(cuò)解】（1）由橢圓的定義知點(diǎn)M的軌跡是橢圓，故選A．（2）由，可得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6，8)．【正解】（1）雖然動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離為常數(shù)6，但由于這個(gè)常數(shù)等于|F1F2|，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2，故選D．（2）由，可得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為(6，7)∪(7，8)．【錯(cuò)因分析】（1）中忽略了橢圓定義中|F1F2|＜2a這一隱含條件；（2）中忽略了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a＞b＞0這一限制條件，當(dāng)a＝b＞0時(shí)表示的是圓的方程．【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解橢圓的定義，明確橢圓定義中的限制條件，才能減少解題過(guò)程中的失誤，從而保證解題的正確性．9．忽略對(duì)橢圓焦點(diǎn)位置的討論，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤【例10】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，并且焦距為8，則實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)________．【錯(cuò)解1】因?yàn)?c＝8，所以c＝4，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故．【錯(cuò)解2】因?yàn)?c＝8，所以c＝4，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．【正解】因?yàn)?c＝8，所以c＝4，①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝36，b2＝k2，a2＝b2＋c2，所以36＝k2＋42，即k2＝20，又k＞0，故；②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知a2＝k2，b2＝36，a2＝b2＋c2，所以k2＝36＋42，即k2＝52，又k＞0，故．綜上，或．【錯(cuò)因分析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要進(jìn)行分類(lèi)討論，而錯(cuò)解中忽略了對(duì)橢圓的焦點(diǎn)位置的討論，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【名師點(diǎn)睛】涉及橢圓方程的問(wèn)題，如果沒(méi)有指明橢圓焦點(diǎn)所在的位置，一般都會(huì)有兩種可能的情形，不能順著思維定式，想當(dāng)然地認(rèn)為焦點(diǎn)在x軸上或y軸上去求解．10．忽略橢圓的范圍從而導(dǎo)致錯(cuò)誤【例11】設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上，離心率，已知點(diǎn)到橢圓的最遠(yuǎn)距離為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【錯(cuò)解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故，即．設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為d，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值，所以，解得，．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【正解】由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，故，即．設(shè)橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)P的距離為d，則，若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值，于是，解得，與矛盾，故，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，從而d取得最大值，所以，解得，．故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中“當(dāng)時(shí)，取得最大值”這一步的推理是錯(cuò)誤的，沒(méi)有考慮橢圓方程中y的取值范圍，事實(shí)上，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，因此在求的最大值時(shí)，應(yīng)分類(lèi)討論．【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確把握橢圓定義中的限制條件，是正確解題的前提，在求解時(shí)，應(yīng)做到步步有依據(jù)，這樣才能避免出錯(cuò)．1．已知，，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．或C． D．或2．橢圓的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，AB是橢圓過(guò)焦點(diǎn)F1的弦，則的周長(zhǎng)是A．20 B．12 C．10 D．63．已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，離心率是，則橢圓C的方程為A． B．C． D．4．直線y＝k(x－2)＋1與橢圓的位置關(guān)系是A．相離 B．相交 C．相切 D．無(wú)法判斷5．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為A． B． C． D．6．橢圓的焦距是____________．7．直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．8．如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，A為短軸的一個(gè)端點(diǎn)，且，的面積為1(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若C，D分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連接，交橢圓于點(diǎn)P，證明：為定值．9．已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程．10．直線與橢圓C：交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為A． B．C． D．11．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是A． B．C． D．12．斜率不為0的直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB與直線OM的斜率之積為A． B． C． D．13．設(shè)斜率為的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若點(diǎn)P，Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率為_(kāi)___________．14．已知直線l：與橢圓C：交于A，B兩點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，則使的面積S為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為_(kāi)___________．15．過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，求的值．16．已知橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，)，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所圍成的菱形的面積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)Q為橢圓C上不在x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，求的值．17．(2016新課標(biāo)I文)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為A． B． C． D．18．(2016新課標(biāo)全國(guó)III文)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左、右頂點(diǎn)．為上一點(diǎn)，且軸．過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為A． B． C． D．19．(2016高考新課標(biāo)I)設(shè)圓的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．（1）證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．20．(2016新課標(biāo)全國(guó)II文)已知是橢圓：的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交與，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）當(dāng)時(shí)，求的面積；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．1．D【解析】由題可知，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為．故選D．2．A【解析】因?yàn)橄褹B過(guò)點(diǎn)F1，所以由橢圓的定義可知，所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，故的周長(zhǎng)為20．故選A．3．A【解析】因?yàn)椋?，所以，，所以橢圓C的方程為．故選A．4．B【解析】直線y＝k(x－2)＋1過(guò)定點(diǎn)P(2，1)，由于，所以點(diǎn)P(2，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交．故選B．5．B【解析】因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在y軸上，所以與x軸垂直，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)，所以，則，．故選B．6．2【解析】由題意得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而得，，，所以橢圓的焦距為2．故填2．7．【解析】由，得，，解得或(舍去)．又，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故填．8．【解析】（1）因?yàn)?，所以，而的面積為1，所以，解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知直線MC的斜率存在，設(shè)其方程為，代入，得，所以．又，所以，為定值．9．【解析】（1）由已知得橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，，則短半軸長(zhǎng)．又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由，得，由點(diǎn)P在橢圓上，得，∴線段PA的中點(diǎn)M的軌跡方程為．10．C【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，由題意可得，由得∠AOF2=，∠AOF1=，∴，．由橢圓定義知，，∴，∴．故選C．11．B【解析】設(shè)弦的端點(diǎn)為，，代入橢圓方程，得①，②，①②得③．由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，，代入③式，得，所以直線AB的斜率，直線AB的方程為，即．故選B．12．C【解析】根據(jù)題意，由于直線l不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可設(shè)l：，與橢圓聯(lián)立，消去y得，即，設(shè)，，

，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，則，，所以，故直線AB與直線OM的斜率之積．故選C．13．【解析】如圖所示，焦點(diǎn)，，由點(diǎn)P，Q在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，而直線l的斜率為，所以，聯(lián)立，可得，解得．14．2【解析】如圖，作出橢圓C和直線l，顯然直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，故．設(shè)點(diǎn)到直線l的距離為d，則，則的面積，解得，即或．由圖顯然可知，直線與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)．由，消去y得，即，，故直線與橢圓C沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，橢圓上存在2個(gè)點(diǎn)，使得的面積為，故填2．15．【解析】依題意，得橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為，此時(shí)直線CD的方程為，由此可得，，則；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的直線方程為，則CD的方程，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，，則，同理可得，，則．綜上，．16．【解析】（1）由題意可知，，解得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，，直線OQ：，則直線MN：，由，得，所以，所以

，由，得，故，，所以，所以．17．B【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，過(guò)原點(diǎn)O作OD⊥BF于點(diǎn)D，由題意得，，，，在中，，且，代入解得，所以橢圓得離心率得，故選B．18．A【解析】由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得點(diǎn)，，由，可得，即，整理得，所以橢圓C的離心率．故選A．19．【解析】（1）因?yàn)椋?，故，所以，故．又圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而，所以．由題設(shè)得，，，由橢圓定義可得點(diǎn)的軌跡方程為．（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，，．由，消去y得，故，，所以．過(guò)點(diǎn)且與垂直的直線：，點(diǎn)到的距離為，所以．故四邊形的面積．可得當(dāng)與軸不垂直時(shí)，四邊形面積的取值范圍為．當(dāng)與軸垂直時(shí)，其方程為，，，四邊形的面積為12．綜上，四邊形面積的取值范圍為．20．【解析】（1）設(shè)，則由題意知．由已知及橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，直線的傾斜角為，又，因此直線的方程為．將代入得，解得或，所以．因此的面積．（2）將直線的方程代入得．由得，故．由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得．由得，即．設(shè)，則是的零點(diǎn)，，所以在單調(diào)遞增，又，因此在有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)，所以．1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于________(小于|F1F2|且大于零)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．雙曲線的集合描述：設(shè)點(diǎn)M是雙曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義可知，雙曲線就是集合P＝{M｜||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式：（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，焦距為2c，且________，如圖1所示；（2）焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，焦點(diǎn)分別為F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)，焦距為2c，且________，如圖2所示．圖1 圖2注：雙曲線方程中a，b的大小關(guān)系是不確定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．3．雙曲線(a＞0，b＞0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）范圍：易知，故，即或．故雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內(nèi)．（2）對(duì)稱(chēng)性：雙曲線關(guān)于________、________和________都對(duì)稱(chēng)．原點(diǎn)為雙曲線的對(duì)稱(chēng)中心，也稱(chēng)為雙曲線的中心．（3）頂點(diǎn)：雙曲線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)即為雙曲線與它的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)．兩個(gè)頂點(diǎn)的連線段稱(chēng)為雙曲線的實(shí)軸，長(zhǎng)為2a．注：雙曲線(a＞0，b＞0)與y軸沒(méi)有交點(diǎn)，我們將兩點(diǎn)(0，－b)，(0，b)間的連線段稱(chēng)為雙曲線的虛軸，長(zhǎng)為2b．（4）漸近線：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與兩條直線逐漸接近，但永不相交，這兩條直線稱(chēng)為雙曲線的漸近線．（5）離心率：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比稱(chēng)為雙曲線的離心率．注：離心率e反映雙曲線開(kāi)口的程度，e越大，雙曲線的開(kāi)口越大；e越小，雙曲線的開(kāi)口越小．4．雙曲線，(a＞0，b＞0)的幾何性質(zhì)比較標(biāo)準(zhǔn)方程(a＞0，b＞0)(a＞0，b＞0)圖形范圍，，對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：x軸、y軸；對(duì)稱(chēng)中心：原點(diǎn)焦點(diǎn)左焦點(diǎn)F1(－c，0)，右焦點(diǎn)F2(c，0)下焦點(diǎn)F1(0，－c)，上焦點(diǎn)F2(0，c)頂點(diǎn)軸線段A1A2是雙曲線的實(shí)軸，線段B1B2是雙曲線虛軸；實(shí)軸長(zhǎng)|A1A2|＝2a，虛軸長(zhǎng)|B1B2|＝2b漸近線離心率e5．等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線．等軸雙曲線具有以下性質(zhì)：（1）方程形式為；（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角；（3）實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都等于，離心率________．K知識(shí)參考答案：1．常數(shù) 2．3．x軸y軸原點(diǎn)4．5．K—重點(diǎn)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)K—難點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用（以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，與其他知識(shí)綜合）K—易錯(cuò)忽略雙曲線定義中的限制條件及隱含條件、忽略方程表示雙曲線的條件、忽略對(duì)焦點(diǎn)所在位置的討論、忽略直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況1．方程表示雙曲線的條件對(duì)于方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線表示雙曲線【例1】對(duì)于方程，（1）若該方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________；（2）若該方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________；（3）若該方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】（1）(－6，10)；（2）(－∞，－10)；（3）(－6，10)∪(－∞，－10)【解析】（1）由題意可知，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－6，10)．（2）由題意可知，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－10)．（3）由題意可知，解得或，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－6，10)∪(－∞，－10)．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于形如：Ax2＋By2＝1(AB＜0)的雙曲線的方程，其包含焦點(diǎn)在x軸上和在y軸上兩種情況，當(dāng)B＜0時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；當(dāng)A＜0時(shí)，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線．2．雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用求雙曲線上一點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離時(shí)，若已知該點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，則根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可求結(jié)果；若已知該點(diǎn)到另一焦點(diǎn)的距離，則根據(jù)求解，注意對(duì)所求結(jié)果進(jìn)行必要的驗(yàn)證(負(fù)數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于)．【例2】如圖，若F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)．（1）若雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，求點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離；（2）若P是雙曲線左支上的點(diǎn)，且|PF1||PF2|＝32，試求的面積．【解析】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，，．（1）由雙曲線的定義得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又雙曲線上一點(diǎn)M到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于16，假設(shè)點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于x，則，解得或．由于，，，故點(diǎn)M到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為10或22．（2）將兩邊平方，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，的面積．【名師點(diǎn)睛】在解決雙曲線中與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首先要注意定義中的條件的應(yīng)用；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行運(yùn)算，在運(yùn)算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用．3．由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【例3】求雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)、半虛軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程，并畫(huà)出該雙曲線的草圖．【解析】將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可知半實(shí)軸長(zhǎng)，半虛軸長(zhǎng)，于是有，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)，離心率為，漸近線方程為，即．首先在坐標(biāo)系中畫(huà)出漸近線，頂點(diǎn)(，0)，然后算出雙曲線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)，比如取，算出，可知點(diǎn)(0.94，±1)在雙曲線上，將三點(diǎn)(0.94，－1)，(，0)，(0.94，1)依次連成光滑曲線并讓它逐步接近漸近線，畫(huà)出第一、四象限內(nèi)雙曲線的一支，最后由對(duì)稱(chēng)性可畫(huà)出位于第二、三象限內(nèi)的另一支，得雙曲線的草圖如下圖所示．【名師點(diǎn)睛】已知雙曲線的方程討論其幾何性質(zhì)時(shí)，需先看所給方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，找準(zhǔn)a和b，才能正確地寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．注意與橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì)進(jìn)行比較．4．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）一般情況下，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是確定a，b的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，若給出雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或焦點(diǎn)坐標(biāo)，則焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸易得．再結(jié)合及列關(guān)于a，b的方程(組)，解方程(組)可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）已知雙曲線的漸近線方程，而不知焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，雙曲線的方程有兩個(gè)，為避免分類(lèi)討論，可設(shè)雙曲線方程為．因此，與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為；與雙曲線(a＞0，b＞0)有共同漸近線的雙曲線方程為．【例4】求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（4）焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8，且離心率；（5）一條漸近線方程為，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)；（6）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線有共同的漸近線．【解析】（1）由題易知焦點(diǎn)在y軸上，且，，則，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為(b＞0)，又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，不符合題意；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為(b＞0)，又雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（3）設(shè)所求雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB＜0)，由題意得，解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4）由題意可設(shè)雙曲線的方程為．由，及，可得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（5）方法一橢圓方程可化為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線方程為，則，結(jié)合，解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．方法二由于雙曲線的一條漸近線方程為，則另一條漸近線方程為．故可設(shè)雙曲線的方程為，即，因?yàn)殡p曲線與橢圓共焦點(diǎn)，所以，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（6）由題意可設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【名師點(diǎn)睛】（1）若給出的條件是雙曲線的漸近線、離心率，則需根據(jù)題意確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，若不能確定，則雙曲線的方程可能有兩種形式，需分類(lèi)討論．同時(shí)應(yīng)注意漸近線的方程是還是．（2）若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用Ax2＋By2＝1(AB＜0)可避免討論．5．求雙曲線的漸近線方程由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求漸近線方程，關(guān)鍵是求出a，b的值．也可把標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”用“0”替換，得出兩條直線方程，對(duì)于雙曲線(a＞0，b＞0)，令可得漸近線方程，即；對(duì)于雙曲線(a＞0，b＞0)，令可得漸近線方程，即．【例5】（1）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為_(kāi)_________；（2）已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________．【答案】（1）；（2）【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，即，即，即，即，故漸近線方程為．（2）橢圓的焦點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，由題意可設(shè)雙曲線的方程為，由于雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，將代入橢圓方程可得雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為(，4)，因?yàn)辄c(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以，結(jié)合，解得，，故雙曲線的漸近線方程為，即．【名師點(diǎn)睛】應(yīng)注意焦點(diǎn)在x軸上、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程的區(qū)別，避免混淆．6．求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍（1）求解雙曲線的離心率一般有兩種方法：方法一直接求出a，c的值，或由條件尋找a，c所滿足的等式（或不等式），常用的公式變形為，其中a＞0，b＞0．方法二依據(jù)條件列出含a，c的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為含e或e2的方程，解方程即可，注意依據(jù)e＞1對(duì)解進(jìn)行取舍．（2）求雙曲線離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件得到不等關(guān)系，并想方設(shè)法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，b，c的不等關(guān)系，結(jié)合和得到關(guān)于e的不等式，然后求解即可．【例6】（1）已知點(diǎn)(2，3)在雙曲線C：(a＞0，b＞0)上，若雙曲線C的焦距為4，則它的離心率__________；（2）設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率__________；（3）已知雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)．若雙曲線上存在點(diǎn)P使得，則該雙曲線的離心率的取值范圍是__________．【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】（1）由點(diǎn)(2，3)在雙曲線C：上，可得①．又焦距為4，所以②，聯(lián)立①②及，解得，，所以雙曲線C的離心率．（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由題意可得，即；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由題意可得，即．又，故，兩邊同時(shí)除以，得，解得(負(fù)值舍去)．（3）在中，由正弦定理可得，即，由可得點(diǎn)P在雙曲線的右支上．又，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)P不在x軸上，所以，即，即，結(jié)合解得．【名師點(diǎn)睛】（1）雙曲線的離心率常以雙曲線的漸近線為載體進(jìn)行命題，應(yīng)注意二者參數(shù)之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化；（2）在建立不等式求e時(shí)，經(jīng)常用到如下結(jié)論：雙曲線上一點(diǎn)到相應(yīng)焦點(diǎn)的距離的最小值為．7．與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題，常見(jiàn)的方法有兩種：（1）列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得到方程；（2）尋找?guī)缀侮P(guān)系，得到雙曲線的定義，從而得出對(duì)應(yīng)的軌跡方程．【例7】如圖，在中，已知，且三內(nèi)角A，B，C滿足，以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．【解析】由題意可得，．因?yàn)?，由正弦定理可得，故，由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點(diǎn))．由題意，設(shè)所求軌跡方程為，因?yàn)椋?，所以，故所求軌跡方程為．【名師點(diǎn)睛】求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)要特別注意：（1）雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；（2）檢驗(yàn)所求的軌跡對(duì)應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支．8．直線與雙曲線的位置關(guān)系直線與雙曲線有三種位置關(guān)系：（1）無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)直線有可能為雙曲線的漸近線．（2）有一個(gè)公共點(diǎn)，分兩種情況：①直線是雙曲線的切線，特別地，直線過(guò)雙曲線一個(gè)頂點(diǎn)，且垂直于實(shí)軸；②直線與雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的一支有一個(gè)公共點(diǎn)．（3）有兩個(gè)公共點(diǎn)，可能都在雙曲線一支上，也可能兩支上各有一點(diǎn)．【例8】已知直線與雙曲線．當(dāng)k為何值時(shí)，直線與雙曲線：（1）有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒(méi)有公共點(diǎn)．【解析】由消去y得①，當(dāng)，即時(shí)，方程①無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，方程①有兩解；當(dāng)，即或時(shí)，方程①無(wú)解；當(dāng)，且時(shí)，這樣的k值不存在．綜上所述，（1）當(dāng)時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）不存在使直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的k值；（3）當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】研究直線與雙曲線位置關(guān)系的一般思路仍然是聯(lián)立二者的方程，解方程組或者轉(zhuǎn)化為一元二次方程，依據(jù)根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系求解．要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)，即若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則進(jìn)一步研究二次方程的根的判別式，得到直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【例9】直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)；（2）若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．【解析】由消去y得．設(shè)，，則，．（1） ．當(dāng)時(shí)，．（2）由題意知，OA⊥OB，則，即，即，即，解得．所以當(dāng)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，a的值為或．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于直線與雙曲線相交的問(wèn)題，通常用設(shè)而不求和整體代入的方法求解，應(yīng)重點(diǎn)掌握．9．忽略雙曲線定義中的限制條件導(dǎo)致錯(cuò)誤【例10】已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝2a，當(dāng)a為3和5時(shí)，點(diǎn)P的軌跡分別為A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條直線 D．雙曲線的一支和一條射線【錯(cuò)解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選B．【正解】依題意得，當(dāng)時(shí)，，且，點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支；當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)P的軌跡為一條射線．故選D．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了雙曲線定義中的限制條件“差的絕對(duì)值”，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤．【名師點(diǎn)睛】在求解與雙曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確理解雙曲線的定義，才能正確解題．當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，其中取正號(hào)時(shí)為雙曲線的右(上)支，取負(fù)號(hào)時(shí)為雙曲線的左(下)支；當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡不存在．10．忽略雙曲線中的隱含條件導(dǎo)致錯(cuò)誤【例11】已知M是雙曲線上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且，則________．【錯(cuò)解】由雙曲線的定義可知，，因?yàn)?，所以或．【正解】由雙曲線方程可得，，，由雙曲線的圖形可得點(diǎn)M到右焦點(diǎn)F2的距離．因?yàn)?，，所?舍去)或．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了雙曲線中的一個(gè)隱含條件，即雙曲線上的點(diǎn)到任一焦點(diǎn)的距離都大于等于c－a，從而兩解中要舍去不滿足要求的那個(gè)．【名師點(diǎn)睛】在求解雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離d時(shí)，一定要注意這一隱含條件．11．忽略方程表示雙曲線的條件導(dǎo)致錯(cuò)誤【例12】若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______．【錯(cuò)解】由，解得．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【正解】由題可得或，解得或．故實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中只考慮了雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上的情況，忽略了焦點(diǎn)在y軸上的情況．【名師點(diǎn)睛】在求解有關(guān)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問(wèn)題時(shí)，一定要明確焦點(diǎn)所在的位置，若不能確定，則需要分類(lèi)討論或者使用一般方程．12．忽略雙曲線的焦點(diǎn)所在位置的討論導(dǎo)致錯(cuò)誤【例13】已知雙曲線的漸近線方程是，焦距為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【錯(cuò)解】由題意知，且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【正解】當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，由且，兩式聯(lián)立解得，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．綜上，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的原因是未審清題目條件，而誤認(rèn)為焦點(diǎn)一定在x軸上，從而導(dǎo)致漏解．【名師點(diǎn)睛】當(dāng)沒(méi)有明確雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸時(shí)，應(yīng)分兩種情況來(lái)討論，同時(shí)注意兩種情況下漸近線方程是不同的：焦點(diǎn)在x軸上，漸近線方程為；焦點(diǎn)在y軸上，漸近線方程為．13．忽略直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況導(dǎo)致錯(cuò)誤【例14】若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則________．【錯(cuò)解】由題意可得，代入雙曲線方程得．由題意可知，解得．【正解】由題意可得，代入雙曲線方程得．當(dāng)，即時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，則，解得．綜上，當(dāng)或時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．【名師點(diǎn)睛】解決直線與雙曲線的位置關(guān)系的題目時(shí)，要注意討論聯(lián)立直線與雙曲線的方程消元后得到的方程是否為一元一次方程，即二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，因?yàn)橹本€與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)包含直線與雙曲線的漸近線平行的情況．1．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B．或 C． D．且2．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則A． B． C．2 D．43．下列雙曲線中與橢圓有相同焦點(diǎn)的是A． B． C． D．4．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．5．等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是F1(－6，0)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是A． B． C． D．6．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線與雙曲線的右支一定有兩個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率的取值范圍是A． B． C． D．7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，則__________．8．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．9．已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為A． B． C． D．10．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線左支上存在一點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．211．過(guò)雙曲線C：的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A．若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過(guò)A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為A． B． C． D．12．已知雙曲線(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是__________．13．斜率為2的直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為_(kāi)_________．14．已知雙曲線C：(a＞0，b＞0)與橢圓有共同的焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）以為中點(diǎn)作雙曲線C的一條弦AB，求弦AB所在直線的方程．15．已知雙曲線(a＞0，b＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn)在雙曲線上．（1）求雙曲線的方程；（2）如圖，若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且，求證：為定值．16．(2016新課標(biāo)全國(guó)I)已知方程表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是A． B． C． D．17．(2016新課標(biāo)全國(guó)II)已知是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，與軸垂直，，則的離心率為A． B． C． D．218．(2016天津文)已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則雙曲線的方程為A． B．C． D．19．(2016山東文)已知雙曲線E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|=3|BC|，則E的離心率是__________．1．B【解析】由題意可得，解得或，故選B．2．D【解析】雙曲線方程可化為，則實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為，由題意可得，解得．故選D．3．B【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，焦點(diǎn)在x軸上，排除C、D；又選項(xiàng)A中，所以A不正確，故B正確．故選B．4．D【解析】因?yàn)?，，所以．故選D．5．B【解析】設(shè)等軸雙曲線方程為(a＞0)，則，所以，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選B．6．C【解析】過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線的斜率為1，一條漸近線方程為，由題意可得，即，結(jié)合及，解得．故選C．7．8【解析】易知，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，所以，又，所以．8．【解析】由題可得，，，所以，又，所以，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．9．C【解析】由題意得，，，整理得，所以的漸近線方程為，即，即．故選C．10．A【解析】過(guò)焦點(diǎn)F2(c，0)且垂直漸近線的直線方程為，與聯(lián)立，解得，，故對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為．又點(diǎn)P與點(diǎn)F2關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以；因?yàn)镻點(diǎn)在雙曲線上，代入，結(jié)合，可得，所以．故選A．11．A【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，則F(c，0)(其中)，且．不妨將直線代入雙曲線的一條漸近線方程，得，則A(a，b)．由，得，即，所以，由解得，所以，故所求雙曲線的方程為．故選A．12．2，+∞)【解析】當(dāng)漸近線與直線l平行，或漸近線從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即，所以．13．【解析】設(shè)直線l的方程為，代入雙曲線方程得，設(shè)，，則，．因?yàn)?，所以，解得，所以直線l的方程為．14．【解析】（1）由已知雙曲線C的焦點(diǎn)為F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由雙曲線定義，即，所以，，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，，因?yàn)锳，B在雙曲線上，所以，①－②得，所以，，故弦AB所在直線的方程為，即．15．【解析】（1）因?yàn)?，所以，，所以雙曲線方程為．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即．故所求雙曲線的方程為．（2）設(shè)直線OP的方程為，聯(lián)立，得，，所以．又直線OQ的方程為，聯(lián)立，得，，所以，所以．16．A【解析】表示雙曲線，則，解得，又，即，所以．故選A．17．A【解析】因?yàn)榇怪庇谳S，所以，因?yàn)?，即，化?jiǎn)得，故雙曲線離心率．故選A．18．A【解析】由題意得，故選A．19．【解析】依題意，不妨設(shè)，則故離心率．?dāng)?shù)字是不會(huì)騙人的“數(shù)字是不會(huì)騙人的，”老師說(shuō)，“一座房子，如果一個(gè)人要花十二天蓋好，十二個(gè)人就只要一天，二百八十八個(gè)人只要一小時(shí)就夠了．”一個(gè)學(xué)生接著說(shuō)：“一萬(wàn)七千二百八十個(gè)人只要一分鐘，一百零三萬(wàn)六千八百個(gè)人只要一秒鐘.此外，如果一艘輪船橫渡大西洋要六天，六艘輪船只要一天就夠了．四杯25的水加在一起就變成開(kāi)水了！數(shù)字是不會(huì)騙人的！”

1．拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F)________的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．拋物線的集合描述：設(shè)點(diǎn)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d，則拋物線就是點(diǎn)的集合．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程與對(duì)應(yīng)圖形如下表所示：圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)________準(zhǔn)線方程________注：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)p的幾何意義是：拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以p的值永遠(yuǎn)大于0．3．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）范圍：因?yàn)?，所以?duì)于拋物線上的點(diǎn)M(x，y)，有x≥0，拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸．（2）對(duì)稱(chēng)性：拋物線關(guān)于________對(duì)稱(chēng)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸叫做拋物線的軸．（3）頂點(diǎn)：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．（4）離心率：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比．由拋物線的定義可知，離心率．由此，我們可得拋物線具有如下特點(diǎn)：（1）拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線、一條對(duì)稱(chēng)軸；（2）拋物線的離心率是確定的，；（3）拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線分別在頂點(diǎn)的兩側(cè)，且頂點(diǎn)到它們的距離相等，均為．4．四條拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)比較標(biāo)準(zhǔn)方程圖形幾何性質(zhì)范圍對(duì)稱(chēng)性關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)________離心率5．拋物線的焦半徑拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)F的連線段，叫做拋物線的焦半徑．根據(jù)拋物線的定義可得焦半徑公式如下表：拋物線方程焦半徑公式________6．拋物線的焦點(diǎn)弦拋物線的焦點(diǎn)弦即過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線所成的相交弦．焦點(diǎn)弦公式既可以運(yùn)用兩次焦半徑公式得到，也可以由數(shù)形結(jié)合的方法求出直線與拋物線的兩交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得到，設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，，，則拋物線方程焦點(diǎn)弦公式其中，通過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸而交拋物線于A，B兩點(diǎn)的線段AB，稱(chēng)為拋物線的通徑．對(duì)于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長(zhǎng)為2p．K知識(shí)參考答案：距離相等2．3．x軸4．坐標(biāo)原點(diǎn)(0，0)5．K—重點(diǎn)拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)K—難點(diǎn)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用（以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，與其他知識(shí)綜合）K—易錯(cuò)忽略拋物線定義中的限制條件、對(duì)定義理解不透徹、忽略直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況1．求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程（1）由一次項(xiàng)（是x還是y）及其符號(hào)（是正還是負(fù)）確定拋物線的開(kāi)口方向，可得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的位置；（2）由一次項(xiàng)的系數(shù)確定2p（大于零）的值，進(jìn)而求得，結(jié)合（1）可得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．【例1】求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）由，焦點(diǎn)在x軸上，，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（2）拋物線為，由，焦點(diǎn)在y軸上，，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（3）由，，可得焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．（4）拋物線為，由，焦點(diǎn)在y軸上，，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．【名師點(diǎn)睛】已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，應(yīng)先看拋物線方程是否是標(biāo)準(zhǔn)方程，若不是，需先化為標(biāo)準(zhǔn)方程．2．拋物線定義的運(yùn)用（1）拋物線中經(jīng)常把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，或者把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，然后根據(jù)平面幾何的有關(guān)知識(shí)求解．（2）有關(guān)拋物線上一點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F與到已知點(diǎn)M（M在拋物線內(nèi)）的距離之和的最小值問(wèn)題，只要點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線l的距離與到點(diǎn)M的距離之和最小即可．由拋物線的圖形可知，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線l的垂線，其與拋物線的交點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F與到已知點(diǎn)M的距離之和最小．解題時(shí)注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短、點(diǎn)與直線上的點(diǎn)的連線中垂線段最短等．【例2】（1）已知拋物線上一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為，它到焦點(diǎn)F的距離為10，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)__________；（2）已知點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】（1）或；（2）6【解析】（1）由焦半徑公式可得，解得，故，由點(diǎn)在拋物線上，可得，解得，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．（2）因?yàn)椋渣c(diǎn)A在拋物線內(nèi)部．如圖，過(guò)點(diǎn)P，A分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為Q，B，則，易知當(dāng)A，P，Q三點(diǎn)共線時(shí)，最小，即．易得點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為．【名師點(diǎn)睛】對(duì)于（2），若點(diǎn)A在拋物線外部，連接AF，則AF與拋物線的交點(diǎn)P可使最小．3．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程一般采用待定系數(shù)法：即先定位（即確定拋物線開(kāi)口方向），再定量（即確定參數(shù)p的值）．若無(wú)法定位，則需分類(lèi)討論．【例3】求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸；（2）焦點(diǎn)為直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；（3）頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．若點(diǎn)在上，則，解得；若點(diǎn)在上，則，解得．故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（2）直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，即，此時(shí)拋物線方程為；當(dāng)焦點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，，即，此時(shí)拋物線方程為．故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．（3）因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【名師點(diǎn)睛】（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，“定位”是關(guān)鍵，一般結(jié)合圖形確定方程適合哪種形式，避免漏解；（2）已知拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)，一般有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）若已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p的值即可．4．與拋物線有關(guān)的軌跡問(wèn)題【例4】已知圓C的方程，求與y軸相切且與圓C外切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．【解析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，動(dòng)圓的半徑為R，∵動(dòng)圓P與y軸相切，∴，∵動(dòng)圓與定圓C：外切，∴，∴．當(dāng)點(diǎn)P在y軸右側(cè)，即x＞0時(shí)，，點(diǎn)P的軌跡是以(5，0)為焦點(diǎn)的拋物線，則圓心P的軌跡方程為；當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)，即x＜0時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是x軸的負(fù)半軸，即方程．故點(diǎn)P的軌跡方程為或．【名師點(diǎn)睛】拋物線的軌跡問(wèn)題，既可以用軌跡法直接求解，也可以轉(zhuǎn)化為利用拋物線的定義求解，利用拋物線的定義求解的關(guān)鍵是找到條件滿足動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，需要依據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化．5．拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題【例5】（1）斜率為的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則_______；（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若，，則_______．【答案】（1）10；（2）【解析】（1）設(shè)，，則對(duì)于拋物線，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)．因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以直線AB的方程為，即，將代入拋物線方程，得，從而，所以．（2）設(shè)，，，顯然直線AB的斜率存在，設(shè)為，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y得①，則，因?yàn)?，所以，方程①即，解得，，故．【名師點(diǎn)睛】解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的應(yīng)用．解題時(shí)，設(shè)出直線與拋物線的兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的方程正確表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，再利用已知條件求解．6．直線與拋物線的位置關(guān)系【例6】（1）若直線與曲線恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；（2）過(guò)點(diǎn)Q(4，1)作拋物線的弦AB，該弦恰被Q平分，求直線AB的方程．【解析】（1）因?yàn)橹本€l與曲線C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組只有一組實(shí)數(shù)解．將①代入②消去y，得③．當(dāng)，即時(shí)，方程③即，可得，，符合題意．當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得或．當(dāng)，方程③即，可得，，符合題意；當(dāng)，方程③即，可得，，符合題意．綜上，實(shí)數(shù)或或．（2）方法一由題意可知，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，不符合題意，故直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的方程為，，，將與聯(lián)立，消去x得，則，又，所以，即，所以直線AB的方程為，即．方法二由題意可知，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，不符合題意，故直線AB的斜率存在．設(shè)，，則①，②，且，，①－②得，即，即，故直線AB的斜率，故直線AB的方程為，即【名師點(diǎn)睛】研究直線與拋物線的位置關(guān)系，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．若該方程為二次方程，則依據(jù)根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系求解．同時(shí)應(yīng)注意“設(shè)而不求”和“整體代入”方法的應(yīng)用．7．圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題圓錐曲線中的定點(diǎn)與定值問(wèn)題是高考的?？碱}型，運(yùn)算量較大，解題思維性較強(qiáng)．解決這類(lèi)問(wèn)題一般有兩種方法：（1）根據(jù)題意求出相關(guān)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件列出方程組（或不等式），消去參數(shù)，求出定值或定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先利用特殊情況確定定值或定點(diǎn)坐標(biāo)，再?gòu)囊话闱闆r進(jìn)行驗(yàn)證．【例7】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4，0)，且在y軸上截得弦MN的長(zhǎng)為8．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；（2）已知點(diǎn)B(－1，0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）如圖1，設(shè)動(dòng)圓圓心O1(x，y)，由題意，|O1A|＝|O1當(dāng)O1不在y軸上時(shí)，過(guò)O1作O1H⊥MN交MN于H，則H是MN的中點(diǎn)，所以．又，所以，化簡(jiǎn)得．又當(dāng)O1在y軸上時(shí)，O1與O重合，點(diǎn)O1的坐標(biāo)(0，0)也滿足方程，所以動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為．圖1圖2（2）如圖2，由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b()，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋64＞0．由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝①，x1x2＝②，因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，所以，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，即(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，即2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③，將①②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，即k＝－b，此時(shí)Δ＞0，所以直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過(guò)定點(diǎn)(1，0)．8．忽略拋物線定義中的限制條件【例8】已知點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，求點(diǎn)P的軌跡方程．【錯(cuò)解】由拋物線的定義，可知點(diǎn)P的軌跡是拋物線．因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以拋物線的方程為．【正解】設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則由題意，得，化簡(jiǎn)整理得，此即所求的軌跡方程．【錯(cuò)因分析】點(diǎn)P到F(4，0)的距離與到直線的距離相等，滿足拋物線的定義，但，故此拋物線的方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程．【名師點(diǎn)睛】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是特殊的拋物線方程，對(duì)坐標(biāo)軸的位置有嚴(yán)格的要求．若從題意中無(wú)法判斷方程是否為標(biāo)準(zhǔn)方程，可按求曲線方程的一般步驟求解．9．對(duì)拋物線的定義理解不透徹【例9】若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1，1)的距離與它到直線的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線【錯(cuò)解】因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等，所以由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線．故選C．【正解】顯然點(diǎn)F(1，1)在直線上，易知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是過(guò)點(diǎn)F且與直線l垂直的直線，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線，故選D．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解的原因是沒(méi)有掌握拋物線的定義，忽略了分析定點(diǎn)與定直線的位置關(guān)系：定點(diǎn)F(1，1)在定直線上．【名師點(diǎn)睛】拋物線的定義中要求定點(diǎn)在定直線之外，因此當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F的距離與它到定直線l的距離相等時(shí)，不能盲目套用拋物線定義．10．忽略直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)的特殊情況【例10】求過(guò)定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程．【錯(cuò)解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由消去x，得，則，解得．故所求直線l的方程為或．【正解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與拋物線方程聯(lián)立消去x，得，則，解得，此時(shí)直線l的方程為或．綜上，直線l的方程為或或．【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行的直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，故產(chǎn)生漏解．【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于方程組的解的個(gè)數(shù)．（1）若，則當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線和拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．（2）若，則直線與拋物線相交，有一個(gè)公共點(diǎn)．特別地，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相切，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l與拋物線相離，無(wú)公共點(diǎn)．1．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A． B．C． D．2．若拋物線上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為A．(4，4) B．(4，－4)C．(4，±4) D．(－4，±4)3．若拋物線上有且只有一個(gè)點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為1，則的值為A．1 B．2C．3 D．44．以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．C． D．5．“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．若動(dòng)圓的圓心在拋物線上，且與直線相切，則此圓恒過(guò)定點(diǎn)__________．7．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，，則拋物線的方程是__________．8．拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，過(guò)點(diǎn)M(0，)作直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)E，斜率為k的直線m交拋物線于A，B兩點(diǎn)．（1）若，試求直線m的方程；（2）若，證明：．10．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，且PA⊥l，垂足為A．若，則等于A． B．C． D．11．