2016-2017學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修2檢測：單元質(zhì)量評估（1） Word版含解析

單元質(zhì)量評估(一)(第一章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1.有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體是一個(gè)()A.棱臺 B.棱錐 C.棱柱 D.都不對【解析】選A.從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，大小不一樣，可以判斷是棱臺.2.(2016·天水高一檢測)表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.1【解析】選C.由題意得，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則πl(wèi)=2πr?l=2r，又該圓錐的側(cè)面積為S1=πrl=2πr2，底面積為S2=πr2，所以表面積為S=S1+S2=3πr2=3π?r=1，所以該圓錐的底面直徑為2.3.正方體內(nèi)切球與外接球體積之比為()A.1∶QUOTE B.1∶3 C.1∶3QUOTE D.1∶9【解析】選C.設(shè)正方體棱長為a，內(nèi)切球半徑為R1，外接球半徑為R2.R1=QUOTE，R2=QUOTEa，V內(nèi)∶V外=QUOTE∶QUOTE=1∶3QUOTE，故選C.4.(2016·?？诟叨z測)已知正六棱柱的底面邊長和側(cè)棱長相等，體積為12QUOTEcm3.其三視圖中的俯視圖(如圖所示)，則其側(cè)視圖的面積是()A.4QUOTEcm2 B.2QUOTEcm2 C.8cm2 D.4cm2【解析】選A.設(shè)正六棱柱的底面邊長是a，那么底面面積是S=QUOTEa2(cm2)，那么體積V=QUOTEa3=12QUOTE(cm3)，所以a3=8，解得a=2，那么側(cè)視圖是矩形，矩形的高就是俯視圖的寬等于2QUOTEcm，所以側(cè)視圖的面積是S=2QUOTE×2=4QUOTE(cm2).5.過棱柱不相鄰兩條側(cè)棱的截面是()A.矩形 B.正方形C.梯形 D.平行四邊形【解析】選D.因?yàn)槔庵膫?cè)棱平行且相等，故過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形.6.(2016·廣州高一檢測)三棱錐的高為3，側(cè)棱長均相等且為2QUOTE，底面是等邊三角形，則這個(gè)三棱錐的體積為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.如圖所示三棱錐S-ABC，則高SH為3，側(cè)棱SA長為2QUOTE，在Rt△SAH中，AH=QUOTE=QUOTE=QUOTE，延長AH交BC于D，由題意知D為BC中點(diǎn)，H為△ABC重心，則AD=QUOTE.因此底面三角形的邊長為3，所以該三棱錐的體積為V=QUOTE×QUOTE×32×3=QUOTE.7.若一個(gè)水平放置的圓柱的正視圖與其側(cè)面展開圖相似，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積與全面積之比為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，所以QUOTE=QUOTE，所以h=2rQUOTE，所以S側(cè)=2πr×h=4πr2QUOTE，S全=4πr2QUOTE+2πr2，故圓柱的側(cè)面積與全面積之比為QUOTE，故選B.8.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為()A.QUOTEπR3 B.QUOTEπR3C.QUOTEπR3 D.QUOTEπR3【解析】選A.依題意，得圓錐的底面周長為πR，母線長為R，則底面半徑為QUOTE，高為QUOTER，所以圓錐的體積為QUOTE×π×QUOTE×QUOTER=QUOTEπR3.9.一個(gè)四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()A.4QUOTE，8 B.4QUOTE，QUOTEC.4(QUOTE+1)，QUOTE D.8，8【解析】選B.因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，其正視圖為圖中的△PEF，如圖.由該四棱錐的正視圖可知四棱錐的底面邊長AB=2，高PO=2，則四棱錐的斜高PE=QUOTE=QUOTE.所以該四棱錐側(cè)面積S=4×QUOTE×2×QUOTE=4QUOTE，體積V=QUOTE×2×2×2=QUOTE.10.(2016·濟(jì)寧高一檢測)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB=AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為()A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.1【解析】選A.球心在平面BCC1B1的中心O上，BC為截面圓的直徑，所以∠BAC=90°，底面ABC外接圓的圓心N位于BC的中點(diǎn)，△A1B1C1的外心M在C1B1中點(diǎn)上.設(shè)正方形BCC1B1的邊長為x，則在Rt△OMC1中，OM=QUOTE，MC1=QUOTE，OC1=R=1，所以QUOTE+QUOTE=1，即x=QUOTE，所以AB=AC=1，所以側(cè)面ABB1A1的面積為QUOTE×1=QUOTE，故應(yīng)選A.11.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=QUOTE，BC=AA1=1，點(diǎn)M為AB1的中點(diǎn)，點(diǎn)P為對角線AC1上的動(dòng)點(diǎn)，則Q為底面ABCD上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P，Q可以重合)，則MP+PQ的最小值為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解題指南】畫出圖形，利用折疊與展開法則形成同一個(gè)平面，轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小，轉(zhuǎn)化求解MP+PQ的最小值.【解析】選C.由題意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距離最小，展開三角形ACC1與三角形AB1C1，在同一個(gè)平面上，如圖，易知∠B1AC1=∠C1AC=30°，AM=QUOTE可知MQ⊥AC時(shí)，MP+PQ的最小值，最小值為QUOTEsin60°=QUOTE.12.(2015·湖南高考)某工件的三視圖如圖所示.現(xiàn)將該工件通過切割，加工成一個(gè)體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.分析題意可知，問題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體的長，寬，高分別為a，b，h，長方體上底面截圓錐的截面半徑為x，對角面截面圖如圖所示，則有QUOTE=QUOTE?h=2-2x，所以長方體的體積為abh≤QUOTEh=QUOTEh=2x·x·(2-2x)≤2QUOTE=QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)x=2-2x即x=QUOTE時(shí)，等號成立，所以利用率為QUOTE=QUOTE.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)13.(2016·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是cm2,體積是cm3.【解析】幾何體為兩個(gè)相同長方體組合而成,長方體的長寬高分別為4,2,2,所以體積為2×(2×2×4)=32(cm3),由于兩個(gè)長方體重疊部分為一個(gè)邊長為2的正方形,所以表面積為2(2×2×2+2×4×4)-2×2×2=72(cm2).答案:723214.(2016·四川高考)已知某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是.【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐,且底面積為S=QUOTE×2QUOTE×1=QUOTE,高為1,所以該幾何體的體積V=QUOTESh=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖是一個(gè)正三棱柱的三視圖，若三棱柱的體積是8QUOTE，則a=________.【解析】由題意知三棱柱的底面是一個(gè)正三角形，一條邊上的高是a，得到三棱柱的底面邊長是QUOTEa，所以底面面積是QUOTE×QUOTEa×a=QUOTEa2，三棱柱的高為2，所以三棱柱的體積是QUOTEa2×2=8QUOTE，解得a=2QUOTE.答案：2QUOTE15.A，B，C，D四點(diǎn)在半徑為QUOTE的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=QUOTE，AB=CD，則三棱錐D-ABC的體積是________.【解析】根據(jù)題意構(gòu)造長方體，其面上的對角線構(gòu)成三棱錐D-ABC，如圖所示，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則有QUOTE解得a=4，b=3，c=5，所以三棱錐的體積為4×3×5-4×QUOTE×QUOTE×4×3×5=20.答案：2016.一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，其中正視圖是直角三角形，側(cè)視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，則這個(gè)幾何體的表面積是________.【解析】此幾何體是半個(gè)圓錐，直觀圖如圖所示，先求出圓錐的側(cè)面積S圓錐側(cè)=πrl=π×2×2QUOTE=4QUOTEπ，S底=π×22=4π，S△SAB=QUOTE×4×2QUOTE=4QUOTE，所以S表=QUOTE+QUOTE+4QUOTEL=2(1+QUOTE)π+4QUOTE.答案：2(1+QUOTE)π+4QUOTE三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答時(shí)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)一個(gè)正三棱柱的三視圖如圖所示，求這個(gè)正三棱柱的體積和表面積.【解析】由三視圖易知，該正三棱柱的形狀如圖所示：且AA′=BB′=CC′=2mm，正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高為2QUOTEmm，所以正三角形ABC的邊長為4mm.所以該三棱柱的表面積為S=3×4×2+2×QUOTE×4×2QUOTE=24+8QUOTE(mm2)，V=S底×AA′=QUOTE×4×2QUOTE×2=8QUOTE(mm3).【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖，已知幾何體的三視圖(單位：cm).(1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法).(2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積.【解析】(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示.(2)這個(gè)幾何體可看成是由正方體AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的組合體.由PA1=PD1=QUOTE，A1D1=AD=2，可得PA1⊥PD1.故所求幾何體的表面積S=5×22+2×2×QUOTE+2×QUOTE×(QUOTE)2=22+4QUOTE(cm2)，所求幾何體的體積V=23+QUOTE×(QUOTE)2×2=10(cm3).18.(12分)(2016·刑臺高二檢測)已知A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)，D(0，3)，將四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.【解析】過C作y軸的垂線交y軸于E，則三角形DCE是直角三角形，四邊形ABCE是直角梯形，四邊形ABCD繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺的組合體，易求得AB=1，BC=QUOTE，CE=2，AE=1，ED=2，DC=2QUOTE，所得旋轉(zhuǎn)體的表面積是S=π×12+π(1+2)×QUOTE+π×2×2QUOTE=(7QUOTE+1)π，體積為V=QUOTE×π×4×2+QUOTE(1+2+4)×1=5π.19.(12分)(2016·保定高一檢測)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6、高為4的等腰三角形.(1)求該幾何體的體積V.(2)求該幾何體的側(cè)面積S.【解析】(1)此幾何體是四棱錐，底面就是俯視圖的底面，高是正視圖的高，所以此四棱錐的體積是V=QUOTE×8×6×4=64.(2)根據(jù)圖形，錐體的高，側(cè)面的高，還有射影構(gòu)成直角三角形，所以側(cè)面的高是h1=QUOTE=5，h2=QUOTE=4QUOTE，所以側(cè)面積是S=QUOTE×8×5×2+QUOTE×6×4QUOTE×2=40+24QUOTE.20.(12分)如圖，BD是正方形ABCD的對角線，弧QUOTE的圓心是A，半徑為AB，正方形ABCD以AB為軸旋轉(zhuǎn)，求圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積之比.【解析】把圖中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分分別繞直線AB旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積記為VⅠ，VⅡ，VⅢ，并設(shè)正方形的邊長為a，因此，VⅠ=QUOTEπa2·a=QUOTEπa3，VⅡ=QUOTE·QUOTEπa3-V1=QUOTEa3，VⅢ=πa2·a-VⅠ-VⅡ=QUOTEa3，所以VⅠ∶VⅡ∶VⅢ=1∶1∶1.21.(12分)(2016·成都高一檢測)如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點(diǎn)A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求證：三棱柱ABC-A′B′C′的體積V=QUOTESa.【證明】如圖所示，連接A′B，A′C，這樣就把三