解排列組合問題的十七種題型

解排列組合問題題型一、知識點排列、組合問題總原則判斷一個問題是排列問題，組合問題，還是排列與組合的綜合問題，根據(jù)哪種計數(shù)原理，總的來說：分類相加，分步相乘；有序排列，無序組合，選排問題通常是先選后排。排列數(shù)公式組合數(shù)公式(略)組合數(shù)性質（1）（2）另外二、方法歸納解排列與組合應用題常用的方法有1、重排問題求冪法2、相鄰問題捆綁法3、相隔問題插空法4、選排問題先選后排法5、直接法6、排除法7、隔板法8、多元問題分類法9、特殊元素(或位置)優(yōu)先法10、定序問題縮倍法(除法)11、多排問題單排法12、不同元素的分組問題基礎訓練題1：設則：用排列數(shù)符號表示是（c）A．B．C．D．2：，則 x=3或73：若 13.一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).練習題：7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為。三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？練習題:某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為。四.定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？五.重排問題求冪策略例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法？練習題1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為。2.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法。六.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法？練習題有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是______。七.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法？練習題一個班有6名戰(zhàn)士,其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有________種八.小集團問題先整體局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,５在兩個奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個？1..計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫,４幅油畫,５幅國畫,排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有_______種九.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，在分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？練習題10個相同的球裝5個盒中,每盒至少一有多少裝法？x+y+z+w=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)十.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？練習題：我們班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內的抽法有多少種?十一.平均分組問題除法策略例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？練習題1.將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊,有多少分法？2.10名學生分成3組,其中一組4人,另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為______十二.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?練習題從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有_______3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人,他們任選2只船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船,這3人共有多少乘船方法.十三.構造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關掉其中的3盞,但不能關掉相鄰的2盞或3盞,也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？十四.實際操作窮舉策略例15.設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,23,4,5的五個盒子,現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內,要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同,.有多少投法？21345練習題：1.同一寢室4人213452.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū)域不同色,現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有____種十五分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除？例17.正方體的8個頂點可連成多少對異面直線？十六.化歸策略例18.25人排成5×5方隊,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？十七、.圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法.練習題6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈課后練習：1.將5列火車停放在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b不停在第二條軌道上，那么不同的停放方法有種.2.四面體頂點和各棱中點共10個點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有種.3.某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區(qū)支教(每地1人)，其中甲和乙至少有一人去，則不同的選派方案共有種．4.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有種排法.5.4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒子，恰好有一個空盒的放法有種.6.我校領導決定將10個市三好學生的名額分配給3個理科班，每個班至少分得兩個名額，有種不同的分配方法。7.7個人站成一排照相，要求甲、乙之間恰好相隔2人的站法有種.8.7個人坐兩排座位，第一排坐3個人，第二排坐4個人，則不同的坐法有種.9.如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個方格涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有種（用數(shù)字作答）。10.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有種。11.一袋中裝有大小相同，編號分別為的八個球，從中有放回地每次取一個球，共取2次，則取得兩個球的編號和不小于15的取法數(shù)共有種12.已知集合A=｛a,b,c｝,B=｛-1,0,1｝,建立一個從A到B的映射使f(a)+f(b)+f(c)=0,則能建立