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wilyes11收集博客(與學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)):/u/1810231802求微分方程的解一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙饬x歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法;掌握解析、數(shù)值解法,并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析;熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容微分方程及方程組的解析求解法;微分方程及方程組的數(shù)值求解法——?dú)W拉、歐拉改進(jìn)算法;直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解);利用圖形對(duì)解的特征作定性分析。三、實(shí)驗(yàn)步驟開(kāi)啟軟件平臺(tái)——MATLAB,開(kāi)啟MATLAB編輯窗口;根據(jù)微分方程求解步驟編寫M文件保存文件并運(yùn)行;觀察運(yùn)行結(jié)果(數(shù)值或圖形);根據(jù)觀察到的結(jié)果和體會(huì)寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告。四、實(shí)驗(yàn)要求與任務(wù)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟,完成以下實(shí)驗(yàn),要求寫出實(shí)驗(yàn)報(bào)告1.求微分方程的通解.2.求微分方程的通解.3.求微分方程組在初始條件下的特解,并畫出解函數(shù)的圖形.4.分別用ode23、ode45求上述第3題中的微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(近似解),求解區(qū)間為.利用畫圖來(lái)比較兩種求解器之間的差異.5.用Euler折線法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(步長(zhǎng)h取0.1),求解范圍為區(qū)間[0,2].6.用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(步長(zhǎng)h取0.1),求解范圍為區(qū)間[0,3].五.程序代碼及運(yùn)行結(jié)果(經(jīng)調(diào)試后正確的源程序)1.求微分方程的通解.程序代碼:symsxyfprintf('通解為')y=dsolve('(x^2-1)*Dy+2*x*y-sin(x)=0','x')運(yùn)行結(jié)果:通解為y=(-cos(x)+C1)/(x^2-1)2.求微分方程的通解.程序代碼:symsxyfprintf('通解為')y=dsolve('D2y-2*Dy+5*y=exp(x)*sin(x)','x')運(yùn)行結(jié)果:通解為y=-1/4*exp(x)*cos(2*x)*sin(x)+1/12*exp(x)*cos(2*x)*sin(3*x)-1/12*exp(x)*sin(2*x)*cos(3*x)+1/4*exp(x)*sin(2*x)*cos(x)+C1*exp(x)*cos(2*x)+C2*exp(x)*sin(2*x)3.求微分方程組
在初始條件下的特解,并畫出解函數(shù)的圖形.程序代碼:symsxyt[x,y]=dsolve('Dx+x+y=0','Dy+x-y=0','x(0)=1','y(0)=0','t')ezplot(x,y,[0,2]);運(yùn)行結(jié)果:x=1/2*exp(2^(1/2)*t)+1/4*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/2*exp(-2^(1/2)*t)y=1/4*2^(1/2)*exp(-2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)4.分別用ode23、ode45求上述第3題中的微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(近似解),求解區(qū)間為.利用畫圖來(lái)比較兩種求解器之間的差異.程序代碼:M函數(shù)文件verderpol.m:functionxprime=verderpol(t,x)xprime=[-x(1)-x(2);x(2)-x(1)];在程序中調(diào)用此函數(shù):clear;y0=[1;0];[t,x]=ode45('verderpol',[0,2],y0);plot(x(:,1),x(:,2),'r-');holdonclear;y0=[1;0];[t,x]=ode23('verderpol',[0,2],y0);plot(x(:,1),x(:,2),'b-');運(yùn)行結(jié)果:5.用Euler折線法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(步長(zhǎng)h取0.1),求解范圍為區(qū)間[0,2].程序代碼:clearf=sym('y-(12*x^2)/y^3');a=0;b=2;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1y=y+h*subs(f,{'x','y'},{x,y});x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'or-')運(yùn)行結(jié)果:szj=01.00000.10001.10000.20001.20100.30001.29340.40001.37280.50001.43590.60001.47810.70001.49210.80001.46440.90001.36621.00001.12171.10000.38361.2000-25.30541.3000-27.83581.4000-30.61931.5000-33.68121.6000-37.04921.7000-40.75411.8000-44.82941.9000-49.31232.0000-54.24356.用四階Runge-Kutta法求解微分方程初值問(wèn)題的數(shù)值解(步長(zhǎng)h取0.1),求解范圍為區(qū)間[0,3].程序代碼:clear;f=sym('y-exp(x)*cos(x)');a=0;b=3;h=0.1;n=(b-a)/h+1;x=0;y=1;szj=[x,y];fori=1:n-1l1=subs(f,{'x','y'},{x,y});l2=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l1*h/2});l3=subs(f,{'x','y'},{x+h/2,y+l2*h/2});l4=subs(f,{'x','y'},{x+h,y+l3*h});y=y+h*(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;x=x+h;szj=[szj;x,y];endszjplot(szj(:,1),szj(:,2),'dg-')運(yùn)行結(jié)果:szj=01.00000.10000.99480.20000.97870.30000.95090.40000.91090.50000.85830.60000.79330.70000.71650.80000.62900.90000.53291.00000.43091.10000.32681.20000.22561.30000.13371.40000.05901.50000.01121.60000.00211.70000.04561.80000.15821.90000.35902.00000.67022.10001.11712.20001.72832.30002.53642.40003.57742.50004.89162.60006.52312.70008.52042.800010.93592.900013.82603.000017.2510六.實(shí)驗(yàn)總結(jié)本次實(shí)驗(yàn)的目的是歸納和學(xué)習(xí)求解常微分方程(組)的基本原理和方法;掌握解析、數(shù)值解法,并學(xué)會(huì)用圖形觀察解的形態(tài)和進(jìn)行解的定性分析;熟悉MATLAB軟件關(guān)于微分方程求解的各種命令。實(shí)驗(yàn)中,我們了解和熟悉了微分方程及方程組的解析求解法;微分方程及方程組的數(shù)值求解法——?dú)W拉、歐拉改進(jìn)算法;直接使用MATLAB命令對(duì)微分方程(組)進(jìn)行求解(包括解析解、數(shù)值解)以及利用圖形對(duì)解的特征作定性分析。經(jīng)過(guò)多次MATLAB實(shí)驗(yàn),對(duì)MATLAB的語(yǔ)法也越來(lái)越熟悉,對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)思想也有了更多了解。
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