概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第2章）

假設(shè)檢驗(yàn)第2章隨機(jī)變量及其分布設(shè)有產(chǎn)品100件，其中有5件次品，95件正品，現(xiàn)從中任意抽取20件問“抽得的次品數(shù)”是多少?很明顯，“次品數(shù)”可能是1,也可能是2,3,4,5或者是0(即抽得的20件中無次品).如果我們用變量“x”來表示抽到的“次品數(shù)",則"X=i”表示"抽到i件次品"(i=0,1,2,3,4,5)如果用W,表示這一隨機(jī)現(xiàn)象的基本事件，其中表示抽到的次品數(shù)，那么各個(gè)基本事件W就和X的取值對(duì)應(yīng)起來了，通常記為上述隨機(jī)現(xiàn)象所出現(xiàn)的其他可能的結(jié)果，如“抽到的產(chǎn)品數(shù)不超過4這一事件A也可用變量x來表示，即A={X≤4}或A={X=0}U{X=1}U{X=2}U{X=3}我們可以用一個(gè)變量取不同的值(或范圍)表示隨機(jī)現(xiàn)象的各種結(jié)定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為2={w},若對(duì)于Ω的每一個(gè)元素即對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果，實(shí)變量X都有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱x為隨機(jī)變量.它常用大寫英文字母x,Y或希臘字母與，等表示.例2擲一枚質(zhì)量分布均勻的骰子，觀察其點(diǎn)數(shù).設(shè)“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”為X,則例3某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率為0.7,現(xiàn)連續(xù)向一個(gè)目標(biāo)射擊，直到擊中目標(biāo)為止.設(shè)"射擊次數(shù)"為X,則X是一個(gè)隨機(jī)變量，其可能取的值為例4某公共汽車站每隔5min有一輛汽車通過.一乘客不知道汽車通過該站的時(shí)間，他可能在任一時(shí)刻到達(dá)車站候車.設(shè)該乘客的候車時(shí)間為X,則X是一個(gè)隨機(jī)變量，其可能取的值在0<X<5范圍內(nèi).引入隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以通過隨機(jī)變量來表示.如例2中“出現(xiàn)3點(diǎn)”這個(gè)隨機(jī)事件可用{X=3}來表示；又如例3中“直到第10次才擊中”這個(gè)隨機(jī)事件可用{X=10}來表示.例1離散型隨機(jī)變量的分布律如表所示，求X的分布函數(shù).012解X可能取的值為0,1,2.當(dāng)0,x<1時(shí)，事件{X,,x}即為{X=0},因此當(dāng)1,x<2時(shí)，事件{X,,x}即為{X=0}與{X=1}之和，因此F(x)=P{X,,x}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0F(x)=P{X,,x}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1.綜上所述，所求X的分布函數(shù)為第2章多維隨機(jī)變量及其分布2.3.2分布函數(shù)的性質(zhì)F(x?),,F(x?).x(=),記作F(-o)=0.注意入?yún)^(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率為0.9774,即它的值落入?yún)^(qū)間[μ-3σ,μ+3σ]幾謂的“3σ”原則.第2章多維隨機(jī)變量及其分布2.4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度3.指數(shù)分布若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為例6設(shè)某種電子管的使用壽命x(單位：h)服從參數(shù)為n=0.0002的指數(shù)分布，求該產(chǎn)品的使用壽命超過3000h的概率.解所求概率為這里f(x)是n=0.0002的指數(shù)分布的概率密度，其計(jì)算公式為于是指數(shù)分布在實(shí)際中也有重要的應(yīng)用，它一般可以作為各種“壽命”分布的近似，也可以作為某個(gè)特定事件發(fā)生所需等待時(shí)間的分布.如電子元件的壽命、輪胎的壽命、電話的通話時(shí)間等，都可以認(rèn)為服從指數(shù)分布.第2章多維隨機(jī)變量及其分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),則X的分布函數(shù)為即X的分布函數(shù)F(x)是概率密度f(x)在區(qū)間(-o,x)上的廣義積分.由于f(x)=F'(x),故f(x)是F(x)的導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù).因此，若已知連續(xù)型隨機(jī)變量的分布故所求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為它的圖形為一連續(xù)曲線，如圖所示.例7求服從區(qū)間(a,b)上均勻分布的隨機(jī)變量X的分布解因X服從均勻分布，故X的概率密度為例8設(shè)隨機(jī)變量x的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx,試求常數(shù)A,B及P{X>1).解得,即從而第2章多維隨機(jī)變量及其分布第2章多維隨機(jī)變量及其分布一般地，設(shè)X的概率分布如表2-7所示.若Y的取值y,=g(x)全不相等，則Y的概率分布如表2-8所示.若g(x)中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并起來，對(duì)應(yīng)的概率p,也相加，就得到Y(jié)的概率分布.XX?XLXLPP?PLP.PLYLLP?PP?PLL例1設(shè)隨機(jī)變量x的分布律如表2-9所示.求：(1)y=2X+1的分布律；(2)γ=(X-2)2的分布律.X0123452919X01234513579410149(1)Y=2X+1的分布律如表2-11所示.135791612919(2)Y=(X-2)2的分布律如表2-12所示.01491319第2章多維隨機(jī)變量及其分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)是通過給出其概率密度的方式來描述概率分布，設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X解因?yàn)?反函數(shù)為x=σy+μ,又由于例3對(duì)圓片直徑進(jìn)行測量，其值在(5,6)上均勻分布，求圓片面積的概率密度.解設(shè)x為直徑，則圓片面積為直徑的概率密度為得圓片面積的