cox模型局部擬合效果的評價

cox模型局部擬合效果的評價

優(yōu)異成績測試在統(tǒng)計理論中發(fā)揮著特殊的作用。它不僅是統(tǒng)計基礎(chǔ)的組成部分，而且與實際應(yīng)用密切相關(guān)。眾所周知,為進行參數(shù)估計和假設(shè)檢驗,總是假定某種總體分布或選定一統(tǒng)計模型,然后按該總體或模型的理論處理實際問題。那么,實際數(shù)據(jù)是否滿足該總體或模型的要求?換言之,是否可用已知分布或模型擬合現(xiàn)實數(shù)據(jù)?擬合好壞的標準是什么?這就是擬合優(yōu)度檢驗研究的問題。KarlPearson在他的講義MathematicalcontributionstotheTheoryofEvolution中,提出了如何檢驗用分布擬合試驗數(shù)據(jù)好壞的問題。1900年,Pearson提出了χ2檢驗。直到今日,χ2檢驗及與其有關(guān)的檢驗仍是應(yīng)用最廣的檢驗。Pearson提出了χ2檢驗后,引起廣大學者對擬合優(yōu)度檢驗的興趣,發(fā)展了各種檢驗方法及相應(yīng)理論。擬合優(yōu)度檢驗統(tǒng)計量大體上可分為χ2型、基于經(jīng)驗分布的EDF(EmpiricalDistributionfunction)型和積分變換型檢驗,以及針對常用分布(例如正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布等),體現(xiàn)分布特征的檢驗統(tǒng)計量。目前截尾數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗較多的用χ2檢驗。χ2檢驗的基本思想是比較理論頻數(shù)和觀察頻數(shù)的差異,用統(tǒng)計量χ2=k∑i=1(Ei-Οi)2/Eiχ2=∑i=1k(Ei?Oi)2/Ei其中Ei為理論頻數(shù),Oi為觀察頻數(shù)。為評價Cox模型的擬合效果,可用χ2及對應(yīng)的P值。但目前的方法僅針對模型的整體擬合效果。很多時候,模型整體的擬合效果好,在局部(尤其是邊沿部分)的擬合效果不理想。這時候,僅評價模型的整體擬合效果是不夠的。本文給出了評價Cox模型的局部擬合效果的公式。觀察局部擬合效果設(shè)(T,u,v)分別表示生存時間、進入隊列時已生存時間、退出隊列時的生存時間,λ(t)為風險率。已知在u時刻生存,在(u,v]時間內(nèi)死亡的條件概率記為m=P(T≤ν|T>u)可以證明m的估計為?m=Τ∧ν∫uλ(s)ds(1)m?=∫uT∧νλ(s)ds(1)這里T∧v表示T與v中最小值。?mm?是瞬時風險率與相應(yīng)的觀察人年數(shù)的積,是按風險率λ(t)計算的理論死亡數(shù),因此Ei=Τi∧νi∫uiλi(s)dsEi=∫uiTi∧νiλi(s)ds為觀察對象i的理論死亡數(shù)。E=ΣEi為合計理論死亡數(shù)。設(shè)Oi=I(ui<T≤vi)(2)表第i個觀察對象在(ui,vi]的死亡次數(shù),其中I為示性函數(shù)。則O=ΣOi指觀察死亡數(shù)。由鞅理論,可以證明(O-E)E-1/2近似服從標準正態(tài)分布,因此G=(O-E)2/E(3)為自由度為1的χ2分布,它表示觀察死亡數(shù)與理論死亡數(shù)的差,可以檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果。將上述結(jié)果用于檢驗Cox模型的擬合優(yōu)度。Cox模型可表為:λi(t)=λ0(t)exp(ziβ)(4)其中zi為觀察對象i的p維協(xié)變量向量。?ββ?為p維系數(shù)β的估計,觀察對象i的理論死亡數(shù)為Ei=Τi∧νi∫uiλi(s)ds=Τi∧νi∫uiλ0(s)exp(zi?β)ds=exp(zi?β)[?Λ0(Τi∧νi)-?Λ0(ui)](5)Ei=∫uiTi∧νiλi(s)ds=∫uiTi∧νiλ0(s)exp(ziβ?)ds=exp(ziβ?)[Λ?0(Ti∧νi)?Λ?0(ui)](5)其中?ΛΛ?0(t)為累積基礎(chǔ)風險函數(shù)Λ0(t)的估計,Λ0(t)=t∫0λ0(s)dsΛ0(t)=∫0tλ0(s)ds。將各觀察對象的理論死亡數(shù)求和E=ΣEi,代入公式(3),所得的G值可以評價Cox模型的整體擬合效果。很多時候整體擬合效果好的模型在某些局部區(qū)域,特別是兩端部分,擬合效果不理想。因此僅評價模型的整體擬合效果是不夠的。下面給出評價局部擬合效果的公式。為觀察局部的擬合效果,我們比較各風險點上的理論死亡數(shù)與觀察死亡數(shù)。設(shè)s1<s2<…<sd為肺癌發(fā)生的時間,即比較(0,s1],(s1,s2],(s2,s3],…(sd-1,sd]上的觀察死亡數(shù)及理論死亡數(shù)。風險點sk上的死亡病例只可能源自風險集R(sk)={j:uj<sk≤Tj∧vj},因此為計算(sk-1,sk]上的理論死亡數(shù),只需考慮風險集R(sk)中的觀察。若觀察對象i在R(sk)中,其在(sk-1,sk]上的理論死亡數(shù)為Aik=min(Τi∧vi,Sk)∫max(ui,s(k-1)λi(s)ds=min(Τi∧vi,Sk)∫max(ui,s(k-1)λ0(s)exp(zi?β)ds=exp(zi?β)[?Λ0(Τ?iv?isk)-?Λ0(max(ui;sk-1))](6)Aik=∫max(ui,s(k?1)min(Ti∧vi,Sk)λi(s)ds=∫max(ui,s(k?1)min(Ti∧vi,Sk)λ0(s)exp(ziβ?)ds=exp(ziβ?)[Λ?0(Ti?vi?sk)?Λ?0(max(ui;sk?1))](6)由于觀察對象i屬于R(sk),Ti∧νi≥sk,Ti∧νi∧sk=sk,因此?Λ0(Τi∧νi∧sk)=?Λ0(sk)Λ?0(Ti∧νi∧sk)=Λ?0(sk)又?Λ0(max(ui,sk-1))={?Λ0(sk-1)ifui≤sk-1?Λ0(ui)ifsk-1＜ui＜sk(7)Λ?0(max(ui,sk?1))={Λ?0(sk?1)ifui≤sk?1Λ?0(ui)ifsk?1＜ui＜sk(7)?ΛΛ?0(t)為階梯函數(shù),其跳躍點在s1,s2,…,sd上,并且若sk-1≤t<sk,則有?Λ0(t)=?Λ0(sk-1)Λ?0(t)=Λ?0(sk?1),因此?Λ0(max(ui,sk-1))=?Λ0(sk-1)(8)由(6),(7),(8),得Aik=exp(zi?β)[?Λ0(sk)-?Λ0(sk-1)]Ak=∑i∈R*(Sk)Aik=(?Λ0(sk)-?Λ0(sk-1))∑i∈R*(Sk)exp(zi?β)(9)Ak為(sk-1,sk]上的理論死亡數(shù),與對應(yīng)區(qū)間上的觀察死亡數(shù)比較,代入公式(3),所得的各G值可以評價Cox模型的局部擬合效果。cox模型擬合在模型的擬合優(yōu)度檢驗中,盡管模型的整體擬合效果較好,但某些局部的擬合效果較差(簡稱壞點)。下面的擬合試驗說明本文給出的公式(9)可以準確找出這些壞點。針對這些壞點的再分析和處理可為模型的進一步改善提供可能。x1,x2分別取自均勻分布U(0.5,5),U(1,6),t時刻的風險函數(shù)滿足:λ(t,x)=λ0(t)exp(-0.4x1-0.5x2)λ0(t)服從風險率為2的指數(shù)分布。抽1000個樣本,并有25.9%被均勻分布U(0,40)截尾。將所有觀察時間小于0.8的觀察所對應(yīng)的時間改為它們的平均值0.36,因此風險點0.36是一個壞點。這樣的數(shù)據(jù)用Cox模型擬合后,其整體擬合效果仍然不差,G=0.069,p=0.793。(A)模擬試驗;(B)某礦資料利用公式(9),可以計算出各風險點上的理論死亡數(shù),與觀察死亡數(shù)比較,求出對應(yīng)的G值。結(jié)果見圖1A。其中橫軸為風險點,縱軸為對應(yīng)點上的G值(見式(3))。從圖上我們可以發(fā)現(xiàn)一個明顯的壞點,即風險點0.36,其他點的理論死亡數(shù)與觀察死亡數(shù)幾乎沒有差別。局部擬合效果檢驗?zāi)车V是世界知名的職業(yè)性肺癌高發(fā)地區(qū),現(xiàn)有職工幾萬人,從50年代以來已有二千多例肺癌發(fā)生,至今每年仍有新發(fā)病例80～100人,為國際上罕見的大型肺癌防治研究現(xiàn)場。本資料取自1992～1996年建立的高危人群隊列,1992～1996年,共有10141個觀察對象進入隊列。其中875個只采集了生物樣品,而沒有其他任何資料,有詳細調(diào)查資料的觀察對象有9266個,將其中不符合隊列定義的觀察對象剔除,最后可用于分析的觀察對象有8209例,其中338例確診為肺癌。將公式(5)中的各理論死亡數(shù)求和可得總的理論死亡數(shù)為338.8662,實際觀察的死亡數(shù)為338例,G=0.0022,P=0.96,可以認為總的擬合效果很好。為了解模型的局部擬合效果,考查各風險點上的理論死亡數(shù)及觀察死亡數(shù),結(jié)果見圖1B。其中橫軸為風險點,縱軸為對應(yīng)點上的G值。風險點652月(觀察的病例數(shù)為8例,理論的病例數(shù)為8.107例)的G=1.419704e-003最大,擬合效果最差,但所對應(yīng)的P值仍為0.97,因此即使在該點,模型擬合效果仍可以接受。表1是各風險點上的擬合優(yōu)度檢驗的統(tǒng)計量G及對應(yīng)的P值分布,分別給出G及P的最小值、1/4分位點、中位數(shù)、均數(shù)、3/4分位點、最大值。總體及局部的擬合效果顯示,Cox模型很好地擬合了該資料,基于該模型的預(yù)測及估計是可靠