人教B版（2023）選修第三冊5.3.1、等比數(shù)列（含答案）

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（共20題）

一、選擇題（共13題）

已知正項等比數(shù)列的公比為，且對任意，有，則

A．B．C．D．

在等比數(shù)列中，若，，則公比為

A．B．C．D．

設(shè)實數(shù)，，，，構(gòu)成等比數(shù)列，已知，，則

A．B．C．D．

等比數(shù)列的前項和為，已知，且與的等差中項為，則

A．B．C．D．

已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則的值是

A．B．C．D．

等比數(shù)列中，，，則

A．B．C．D．

已知等比數(shù)列滿足，，則

A．B．C．D．

已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且，，成等比，則的值為

A．B．C．D．

設(shè)等比數(shù)列滿足，，則的最大值為

A．B．C．D．

設(shè)是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，是邊長為，的矩形面積（），則為等比數(shù)列的充要條件為

A．是等比數(shù)列

B．，，，，或，，，，是等比數(shù)列

C．，，，，和，，，，均是等比數(shù)列

D．，，，，和，，，，均是等比數(shù)列，且公比相同

已知是等比數(shù)列，，，則公比

A．B．C．D．

已知，，成公比為的等比數(shù)列，，且，，也成等比數(shù)列，則的值為

A．或B．

C．或D．或或

已知公差不為的等差數(shù)列，前項和為，滿足，且，，成等比數(shù)列，則

A．B．C．或D．

二、填空題（共4題）

等比數(shù)列中，若，，則．

等差數(shù)列的公差，是，的等比中項，已知數(shù)列，，，為等比數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，則．

在等比數(shù)列中，若，，則．

在數(shù)列中，若對任意的，都有(為常數(shù))，則稱數(shù)列為比等差數(shù)列，稱為比公差，現(xiàn)給出以下命題：

等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；

若數(shù)列滿足，則數(shù)列是比等差數(shù)列，且比公差；

若數(shù)列滿足，，，則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；

若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，則數(shù)列是比等差數(shù)列．

其中所有真命題的序號是．

三、解答題（共3題）

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．

已知數(shù)列滿足：，且，求．

已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足且，其中且．

(1)求的通項公式．

(2)求證：數(shù)列為等比數(shù)列．

答案

一、選擇題（共13題）

1.【答案】C

【解析】因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，故且．又因為對任意，有，即，所以，解得或（舍去）．

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

【解析】等比數(shù)列的公比設(shè)為，前項和為，

，且與的等差中項為，

可得，，

解得，，

則．

故選：B．

5.【答案】C

【解析】由等差中項的性質(zhì)可得，

所以，

由等比中項的性質(zhì)可得，

所以，

因此，

6.【答案】B

【解析】，解得，

7.【答案】C

8.【答案】C

【解析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，

若，則．

又由，，成等比，則，

即，解可得：或．

又由等差數(shù)列的公差不為零，則，則．

9.【答案】C

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．由，，可得解得

所以，

所以，

令，

當(dāng)或時，有最小值，即，

所以的最大值為，故選C．

10.【答案】D

11.【答案】D

12.【答案】C

【解析】因為，，成公比為的等比數(shù)列，，

所以，，

因為等比數(shù)列中每一項都不為零，

所以，

因為，，也成等比數(shù)列，

所以，

即，

把選項中的值代入以上等式進(jìn)行檢驗，

得到，合題意．

13.【答案】B

二、填空題（共4題）

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，

則

②①得，即，

所以

17.【答案】

【解析】①，若數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，則，為常數(shù)，故等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，

若數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，當(dāng)時，，為常數(shù)，是比等差數(shù)列，

當(dāng)時，不為常數(shù)，故不是比等差數(shù)列，故等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列，故①正確；

②，若數(shù)列滿足，則，不是常數(shù)，故數(shù)列不是比等差數(shù)列，故②錯誤；

③，若數(shù)列滿足，，，可得，，故，，顯然，故該數(shù)列不是比等差數(shù)列，故③正確；

④，若是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，若為列，則數(shù)列為列，顯然不滿足定義，即數(shù)列不是比等差數(shù)列，故④錯誤．

三、解答題（共3題）

18.【答案】

(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為，

由得

解得或，

因為數(shù)列為正項數(shù)列，

所以，

所以，

所以．

(2)由（Ⅰ）得，

所以，

所以

19.【答案】由，可得，即，

所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．

則

所以．