2017年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1學(xué)案：第一講三相似三角形的判定及性質(zhì)1Word版含解析

三相似三角形的判定及性質(zhì)1．相似三角形的判定1．了解三角形相似的定義，掌握相似三角形的判定定理以及直角三角形相似的判定方法．2．會(huì)證明三角形相似，并能解決有關(guān)問(wèn)題．1．相似三角形(1)定義：對(duì)應(yīng)角____，對(duì)應(yīng)邊成____的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形______的比值叫做相似比(或相似系數(shù))．(2)記法：兩個(gè)三角形相似，用符號(hào)“∽”表示，例如△ABC與△A′B′C′相似，記作△ABC∽△A′B′C′.①三角形相似與三角形全等不同，全等三角形一定相似，但相似三角形不一定全等．②三角形相似定義中的“對(duì)應(yīng)邊成比例”是三組對(duì)應(yīng)邊分別成比例．③相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母必須寫在相應(yīng)的位置上，這一點(diǎn)與全等三角形是一致的；例如△ABC和△DEF相似，若點(diǎn)A與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)D對(duì)應(yīng)，則記為△ABC∽△EFD．【做一做1】已知△ABC∽△A′B′C′，下列選項(xiàng)中的式子，不一定成立的是()A．∠B＝∠B′B．∠A＝∠C′C．eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)D．eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)2．相似三角形的判定定理內(nèi)容簡(jiǎn)述作用預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)____，所構(gòu)成的三角形與原三角形____判定兩個(gè)三角形相似判定定理1對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)____，那么這兩個(gè)三角形____兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似判定定理2對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成____，并且?jiàn)A角______，那么這兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似判定兩個(gè)三角形相似引理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成____，那么這條直線平行于三角形的______判定兩條直線平行判定定理3對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成____，那么這兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似判定兩個(gè)三角形相似判定三角形相似的三種基本圖形(1)平行線型：(2)相交線型：(3)旋轉(zhuǎn)型：【做一做2－1】如圖所示，在△ABC中，F(xiàn)D∥GE∥BC，則與△AFD相似的三角形有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【做一做2－2】如圖所示，DE與BC不平行，當(dāng)eq\f(AB,AC)＝__________時(shí)，△ABC∽△AED．3．直角三角形相似的判定定理(1)如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)____對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；(2)如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成____，那么它們相似．(3)如果一個(gè)直角三角形的____和一條____邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形分別與原三角形相似．在證明直角三角形相似時(shí)，要特別注意利用直角這一條件．【做一做3】在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，∠B＝35°，則∠C′＝__________.答案：1．(1)相等比例對(duì)應(yīng)邊【做一做1】B很明顯選項(xiàng)A，C，D均成立．因?yàn)椤螦和∠C′不是對(duì)應(yīng)角，所以∠A＝∠C′不一定成立．2．相交相似相等相似比例相等比例第三邊比例【做一做2－1】B∵FD∥GE∥BC，∴△AFD∽△AGE∽△ABC，故與△AFD相似的三角形有2個(gè)．【做一做2－2】eq\f(AE,AD)△ABC與△ADE有一個(gè)公共角∠A，當(dāng)夾∠A的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(AE,AD)時(shí)，這兩個(gè)三角形相似．3．(1)銳角(2)比例(3)斜邊直角【做一做3】55°∵∠A＝∠A′＝90°，∴△ABC和△A′B′C′均是直角三角形．又eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′)，∴△ABC∽△A′B′C′.∴∠C′＝∠C，又∠B＝35°，∴∠C＝90°－∠B＝90°－35°＝55°，∴∠C′＝55°.同一法證明幾何問(wèn)題剖析：當(dāng)直接證明一個(gè)幾何問(wèn)題比較困難時(shí)，往往采用間接證明的方法．“同一法”就是一種間接證明的方法．應(yīng)用同一法證明問(wèn)題時(shí)，往往先作出一個(gè)滿足命題結(jié)論的圖形，然后證明圖形符合命題的已知條件，確定所作圖形與題設(shè)條件所指的圖形相同，從而證明命題成立.例如，如圖所示，已知PQ，TR為⊙O的切線，P，R為切點(diǎn)，PQ∥RT.證明PR為⊙O的直徑．證明：如圖，延長(zhǎng)PO交RT于點(diǎn)R′，∵PO⊥PQ，∴PR′⊥PQ.∵PQ∥RT，∴PR′⊥RT，即OR′⊥RT.又∵TR為⊙O的切線，R為切點(diǎn)，∴OR⊥RT，∴點(diǎn)R′與點(diǎn)R重合，∴PR為⊙O的直徑．由上例可以看出，同一法證明幾何問(wèn)題的步驟：(1)先作出一個(gè)符合結(jié)論的圖形，然后推證出所作的圖形符合已知條件；(2)根據(jù)唯一性，證明所作出的圖形與已知的圖形是全等的或重合的；(3)說(shuō)明已知圖形符合結(jié)論．題型一判定三角形相似【例題1】如圖，已知eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，求證：△ABD∽△ACE.分析：由于已知eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，得eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)，則要證明△ABD∽△ACE，只需證明∠DAB＝∠EAC即可．反思：(1)本題中，∠DAB與∠EAC的相等關(guān)系不易直接找到，這里用∠BAC＝∠EAD，在∠BAC和∠EAD中分別減去同一個(gè)角∠DAC，間接證明．(2)判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，關(guān)鍵是分析已知哪些邊對(duì)應(yīng)成比例，哪些角對(duì)應(yīng)相等，根據(jù)三角形相似的判定定理，還缺少什么條件就能推導(dǎo)出結(jié)論．題型二判定直角三角形相似【例題2】如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP.分析：由于這兩個(gè)三角形都是直角三角形，且已知條件是線段間的關(guān)系，故考慮證明對(duì)應(yīng)邊成比例，即只需證明eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)即可．反思：直角三角形相似的判定方法很多，既可根據(jù)一般三角形相似的判定方法判定，又有其獨(dú)特的判定方法，在求證、識(shí)別的過(guò)程中，可由已知條件結(jié)合圖形特征，確定合適的方法．題型三證明線段成比例【例題3】如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，BD平分∠ABC，求證：eq\f(AB,AC)＝eq\f(CD,BC).分析：所要證明的等式中的四條線段AB，AC，CD，BC分別在△ABC和△BCD中，但這兩個(gè)三角形不相似，由題意可得BD＝CD，這樣AB，AC，BD，BC分別在△ABC和△ABD中，只需證明這兩個(gè)三角形相似即可．反思：證明線段成比例，常把等式中的四條線段分別看成兩個(gè)三角形的兩條邊，再證明這兩個(gè)三角形相似即可，若這四條線段不能分別看成兩個(gè)三角形的兩邊，則利用相等線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如本題中把CD轉(zhuǎn)化為BD．題型四證明兩直線平行【例題4】如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，M是AD上一點(diǎn)，BM，CM的延長(zhǎng)線分別交AC，AB于F，E兩點(diǎn)．求證：EF∥BC．分析：要證明EF∥BC，想通過(guò)角之間的關(guān)系達(dá)到目的顯然是不可能的，而要利用成比例線段判定兩條直線平行的判定定理，圖中又沒(méi)有平行條件，因此要設(shè)法作出平行線，以便利用判定定理．在作平行線時(shí)，要充分考慮到中點(diǎn)D的應(yīng)用．反思：常利用引理來(lái)證明兩條直線平行，如本題中的三種證法，其關(guān)鍵是證明其對(duì)應(yīng)線段成比例，這樣又轉(zhuǎn)化為證明線段成比例，其證明方法有：利用中間量，如本題證法一；轉(zhuǎn)化為線段成比例，如本題證法二；既用中間量，又轉(zhuǎn)化為線段成比例，如本題證法三．答案：【例題1】證明：因?yàn)閑q\f(AB,AD)＝eq\f(BC,DE)＝eq\f(AC,AE)，所以△ABC∽△ADE.所以∠BAC＝∠EAD，∠BAC－∠DAC＝∠EAD－∠DAC，即∠DAB＝∠EAC.又eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE)，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AE)，所以△ABD∽△ACE.【例題2】證明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中點(diǎn)，∴eq\f(AD,QC)＝2.∵eq\f(BP,PC)＝3，∴eq\f(BC,PC)＝4.又BC＝2DQ，∴eq\f(DQ,CP)＝2.在△ADQ和△QCP中，eq\f(AD,QC)＝eq\f(DQ,CP)＝2，∠C＝∠D＝90°，∴△ADQ∽△QCP.【例題3】證明：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA＝eq\f(1,2)∠ABC，又∠ABC＝2∠C，∴∠DBA＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD.在△ABD和△ACB中，∠A＝∠A，∠DBA＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,BC)，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(CD,BC).【例題4】證法一：延長(zhǎng)AD至G，使DG＝MD，連接BG，CG，如下圖所示．∵BD＝DC，MD＝DG，∴四邊形BGCM為平行四邊形．∴EC∥BG，F(xiàn)B∥CG.∴，，∴.∴EF∥BC.證法二：過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與BF，CE的延長(zhǎng)線分別交于G，H兩點(diǎn)，如圖所示．∵AH∥DC，AG∥BD，∴eq\f(AH,DC)＝eq\f(AM,MD)，eq\f(AG,BD)＝eq\f(AM,MD)，∴eq\f(AH,DC)＝eq\f(AG,BD).∵BD＝DC，∴AH＝AG.∵HG∥BC，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AH,BC)，eq\f(AF,FC)＝eq\f(AG,BC).∵AH＝AG，∴eq\f(AE,EB)＝eq\f(AF,FC).∴EF∥BC.證法三：過(guò)點(diǎn)M作BC的平行線，分別與AB，AC交于G，H兩點(diǎn)，如下圖所示．則eq\f(GM,BD)＝eq\f(AM,AD)，eq\f(MH,DC)＝eq\f(AM,AD)，∴eq\f(GM,BD)＝eq\f(MH,DC).∵BD＝DC，∴GM＝MH.∵GH∥BC，∴eq\f(EM,EC)＝eq\f(GM,BC)，eq\f(FM,FB)＝eq\f(MH,BC).∵GM＝MH，∴eq\f(EM,EC)＝eq\f(FM,FB).∴EF∥BC.1如圖所示，在△ABC中，DE∥BC，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，AF交DE于G，則與△ADG相似的是()A．△AEGB．△ABFC．△AFCD．△ABC2如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，DE⊥AB，垂足為E，則圖中與Rt△ADE相似的三角形個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．43如圖所示，∠BAC＝∠DCB，∠CDB＝∠ABC＝90°，AC＝a，BC＝b.則BD＝__________(用a，b表示)．4如圖所示，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AB∥A′B′，BC∥B′C′.求證：AC∥A′C′.5如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線，求證：AD2＝DC·AC．答案：1．B在△ABF中，DG∥BF，則△ADG∽△ABF.2．D題圖中Rt△CBA，Rt△CAD，Rt△ABD，Rt△DBE均與Rt△ADE相似．3．eq\f(b2,a)由題意，可得△ABC∽△CDB，∴eq\f(AC,BC)＝eq\f(BC,BD)，∴BD＝eq\f(BC2,AC)＝eq\f(b2,a).4．證明：∵AB∥A′B′，∴eq\f(OA′,OA)＝eq\f(OB′,OB).又∵BC∥B′C′，∴eq\f(OB′,OB)＝eq\f(OC′,OC