2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案：3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第四課時Word版含解析

第四課時教學(xué)目標(biāo)知識與技能通過典型案例的探究，進(jìn)一步了解回歸分析的基本思想和求回歸方程的步驟．過程與方法通過對回歸模型的選擇，使學(xué)生進(jìn)一步體會建立回歸模型的步驟，體會各個步驟的功能和重要性．情感、態(tài)度與價值觀通過案例的分析，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，提高對數(shù)據(jù)的處理能力，并且使學(xué)生了解回歸分析在生活實(shí)際中的應(yīng)用，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識，提高學(xué)習(xí)興趣．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：掌握在解決實(shí)際問題的過程中尋找更好的模型的方法，總結(jié)求回歸方程的步驟，會用合適的方法進(jìn)行模型分析．教學(xué)難點(diǎn)：如何根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型并對其擬合效果進(jìn)行檢驗(yàn)．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新課))提出問題：某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下：身高x(cm)60708090100110120130140150160170體重y(kg)6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)試建立y與x之間的回歸方程；(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于平均值的0.8為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為82kg的在校男生的體重是否正常？學(xué)生活動：合作交流，探討方案并計(jì)算檢驗(yàn)．學(xué)情預(yù)測：方案一：計(jì)算相關(guān)系數(shù)r≈0.96>0.75，故y與x之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．設(shè)y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,12,x)iyi－12\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,12,x)\o\al(2,i)－12\x\to(x)2)≈0.4319，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈－25.679，故回歸方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.4319x－25.679.當(dāng)x＝175時，eq\o(y,\s\up6(^))≈55.15.因?yàn)?5.15×1.2＝66.18＜82，故這名男生偏胖．方案二：畫出散點(diǎn)圖如圖所示：樣本點(diǎn)分布在某條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，得x60708090100110120130140150160170z1.812.072.302.502.712.863.043.293.443.663.864.01作出散點(diǎn)圖：由表中數(shù)據(jù)可得z與x之間的回歸直線方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝0.693＋0.020x，則有eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.693＋0.020x.當(dāng)x＝175時，eq\o(y,\s\up6(^))≈66.22，由于66.22×1.2＝79.464<82，所以這名男生偏胖．設(shè)計(jì)目的：復(fù)習(xí)回歸分析的基本步驟，讓學(xué)生體會回歸思想在實(shí)際問題中的應(yīng)用，在操作過程中鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))提出問題：雖然兩種解法的結(jié)論是一致的，但分析過程同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，兩種解法中求得的體重平均值是不同的，試分析兩種模型哪種更合適？學(xué)生活動：討論交流．學(xué)情預(yù)測：可能學(xué)生會出現(xiàn)爭論：一種觀點(diǎn)：原因出在選取的回歸模型不同，從散點(diǎn)圖上觀察，選取指數(shù)型模型可能更好，得到的答案可信度可能更高．另一種觀點(diǎn)：計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)可得：r≈0.96>0.75，顯示具有很強(qiáng)的線性相關(guān)性，故采用線性回歸模型不會出錯．提出問題：怎樣來評判這兩種解法呢？學(xué)生活動：分組合作，討論解決的方法．學(xué)情預(yù)測：可以求相關(guān)指數(shù)、計(jì)算殘差平方和或畫殘差圖來分析兩種模型的擬合效果．對于方案1：殘差平方和約為：190.424，相關(guān)指數(shù)：Req\o\al(2,1)≈0.93，殘差圖：對于方案2：殘差平方和約為：33.8，相關(guān)指數(shù)：Req\o\al(2,2)≈0.988，殘差圖：通過圖形可以發(fā)現(xiàn)，方案二在數(shù)據(jù)擬合效果上更好，故應(yīng)該采用方案二的結(jié)論．設(shè)計(jì)目的：通過對問題的探討，讓學(xué)生回顧學(xué)過的比較回歸模型擬合效果的方法，體會在進(jìn)行回歸分析時方程類型合理選取的重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出問題：通過對上面問題的分析，同學(xué)們覺得進(jìn)行線性回歸分析時，確定完變量后是計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)還是畫散點(diǎn)圖？學(xué)生活動：學(xué)生分組討論．學(xué)情預(yù)測：應(yīng)該是先畫散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖判斷出回歸方程的類型進(jìn)行求解，當(dāng)根據(jù)圖形無法確定哪種方程形式更合理時，可多設(shè)出幾個方程分別求出，再根據(jù)殘差分析和計(jì)算相關(guān)指數(shù)來比較回歸方程的擬合效果，選擇擬合效果最好的方程進(jìn)行預(yù)測．教師：殘差分析的作用不光在于比較回歸模型的擬合效果，它還有一個重要的作用，就是通過殘差樣本點(diǎn)的分布，還可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)收集過程中的錯誤，有利于糾正采集中的錯誤．提出問題：同學(xué)們自己能否把回歸分析的步驟補(bǔ)充完整．學(xué)生活動：分組討論，合作交流．學(xué)情預(yù)測：(1)確定變量；(2)畫散點(diǎn)圖；(3)分析回歸模型類型；(4)求回歸方程；(5)分析擬合效果．設(shè)計(jì)目的：讓學(xué)生整理回歸分析的基本步驟，進(jìn)一步明確每一個步驟的作用和重要性．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知))例1通常一個人的身高越高，他的腳就越大，為了調(diào)查這一問題，對9名高三男生的身高和腳長進(jìn)行測量，得到如下數(shù)據(jù)：(單位：cm)身高x168170172174176178180180181腳長y24.525.52626.52727.52727.527.5(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，能發(fā)現(xiàn)兩者有何近似關(guān)系？根據(jù)判斷求出回歸方程．(2)如果一名學(xué)生的身高為185cm，估計(jì)他的腳長．思路分析：先畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖確定回歸模型的類型，然后求y與x之間的回歸方程并進(jìn)行預(yù)測．解：(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖．由圖可以看出，身高與腳長之間的總體趨勢成一條直線，即它們線性相關(guān)，因此可用線性回歸模型來擬合，設(shè)線性回歸模型為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由圖中數(shù)據(jù)可求得回歸方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.163x－2.037.(2)當(dāng)x＝185時，eq\o(y,\s\up6(^))≈28.1，即當(dāng)一名學(xué)生的身高185cm時，估計(jì)他的腳長為28.1cm.【變練演編】例2下表是1957年美國舊轎車價格的調(diào)查資料，以x表示轎車的使用年數(shù)，y表示相應(yīng)的年均價格，求y關(guān)于x的方程.使用年數(shù)x12345678910平均價格y2651194314941087765538484290226204思路分析：根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷回歸方程的類型，當(dāng)不能確定時，就多選擇幾個進(jìn)行比較選擇．解：畫出散點(diǎn)圖：根據(jù)樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，若選擇線性回歸模型，可設(shè)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，由圖中數(shù)據(jù)可求得回歸方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝－255.14x＋2371.5，計(jì)算相關(guān)指數(shù)Req\o\al(2,1)＝0.8763.若選擇指數(shù)型回歸方程模型，可設(shè)為eq\o(y,\s\up6(^))＝c1ec2x，于是令z＝lny，變換后的數(shù)據(jù)：x12345678910y7.8837.5727.3096.9916.6406.2886.1825.6705.4215.318畫出散點(diǎn)圖：由圖可知各點(diǎn)基本位于一條直線附近，由上表中數(shù)據(jù)可得線性回歸模型為eq\o(z,\s\up6(^))＝8.165－0.298x，因此舊轎車的平均價格對使用年數(shù)的非線性回歸模型為：eq\o(y,\s\up6(^))＝e8.165－0.298x計(jì)算相關(guān)指數(shù)Req\o\al(2,2)＝0.9924，因?yàn)镽eq\o\al(2,2)>Req\o\al(2,1)，故非線性回歸模型eq\o(y,\s\up6(^))＝e8.165－0.298x的擬合效果更好．所以y關(guān)于x的方程應(yīng)為eq\o(y,\s\up6(^))＝e8.165－0.298x.設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步體會回歸分析思想的應(yīng)用，熟悉求回歸方程的基本步驟．【達(dá)標(biāo)檢測】1．某化工廠為預(yù)測某產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之間的相關(guān)關(guān)系．現(xiàn)取了8對觀測值，計(jì)算得：eq\i\su(i＝1,8,x)i＝52，eq\i\su(i＝1,8,y)i＝228，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝478，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝1849，則y與x的回歸直線方程是()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47＋2.62xB.eq\o(y,\s\up6(^))＝－11.47＋2.62xC.eq\o(y,\s\up6(^))＝2.62x＋11.47xD.eq\o(y,\s\up6(^))＝11.47－2.62x2．相關(guān)的一組數(shù)據(jù)如下表所示，它們的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0x＋1.5，則當(dāng)解釋變量x＝1時，預(yù)測變量y等于()x12345y1.31.5A.1.5B．1.3C．1.4D3．部分國家13歲學(xué)生數(shù)學(xué)測驗(yàn)平均分?jǐn)?shù)為：中國韓國瑞士俄羅斯法國以色列加拿大英國美國約旦授課天數(shù)251222207210174215188192180191分?jǐn)?shù)80737170646362615546對于授課天數(shù)與分?jǐn)?shù)是否存在回歸直線，下列說法正確的是()A．一定存在B．可能存在也可能不存在C．一定不存在D．以上都不正確答案：1.A2.A3．A解析：作出散點(diǎn)圖進(jìn)行直觀分析，也可以求出相關(guān)系數(shù)進(jìn)行判斷，答案選A.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))師生回顧課堂內(nèi)容，由學(xué)生進(jìn)行小結(jié)：1．建立回歸模型的基本步驟：2．如何選擇合適的回歸模型：3．如何將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．散點(diǎn)圖在回歸分析中的作用是()A．查找個體個數(shù)B．比較個體數(shù)據(jù)大小關(guān)系C．探究個體分類D．粗略判斷變量是否相關(guān)2．設(shè)兩個變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有()A．b與r的符號相同B．a(chǎn)與r的符號相同C．b與r的符號相反D．a(chǎn)與r的符號相反3．一組觀察值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)之間滿足yi＝a＋bxi＋ei(i＝1,2，…，n)，若ei恒為0，則R2為__________．答案或提示：1.D2.A3．1解析：ei＝0，eq\i\su(i＝1,n,e)eq\o\al(2,i)＝0，R2＝1，其實(shí)此時隨機(jī)誤差e為0，即沒有誤差，y與x是確定的函數(shù)關(guān)系．所以答案為1.【拓展練習(xí)】4．在鋼線碳含量對于電阻的效應(yīng)中，得到如下表所示的數(shù)據(jù)：碳含量(x/%)0.100.300.400.550.700.800.9520℃時電阻1518192122.623.626求y對x的線性回歸方程，并檢驗(yàn)回歸方程的顯著性．解：eq\x\to(x)≈0.543，eq\x\to(y)≈20.74，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝2.595，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝3094.72，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi＝85.45.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(85.45－7×0.543×20.74,2.595－7×(0.543)2)≈12.46，eq\o(a,\s\up6(^))＝20.74－12.46×0.543≈13.97，∴所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝13.97＋12.46x.利用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)是否顯著：eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7eq\x\to(x)eq\x\to(y)≈6.62，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－7eq\x\to(x)2≈0.531，eq\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yeq\o\al(2,i)－7eq\x\to(y)2≈83.69，∴r≈0.993，由于r＞0.75，故鋼線碳含量對于電阻的效應(yīng)線性相關(guān)關(guān)系顯著．eq\o(\s\up7(),\s\do5(設(shè)計(jì)說明))本節(jié)課以問題創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)矛盾，并引導(dǎo)學(xué)生分析矛盾產(chǎn)生的原因，以問題為主線，展開對建立回歸方程各個步驟的分析，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各個步驟