數(shù)學(xué)必修2第二章知識點小結(jié)

第二章點線面位置關(guān)系總復(fù)習(xí)1、（1）平面含義：平面是無限延展的，沒有大小，厚薄之分。2、四個公理與等角定理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).（只要找到直線的兩點在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)）C·BC·B·A·α公理2的三個推論：（1）：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面。（2）：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。（3）：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。PP·αLβ公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)，是證明三線共點、三點共線的依據(jù)。（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥caa∥cc∥b公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（表明空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行）（5）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.4、異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線。（既不平行也不相交的兩條直線）①異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。（兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：（一作、二證、三計算）第一步作角：先固定其中一條直線，在這條直線取一點，過這個點作另一條直線的平行先；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長關(guān)系計算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角）5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1）空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。（2）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點②直線與平面相交——有且只有一個公共點③直線在平面平行——沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α注意直線與平面的位置關(guān)系其他分類：（1）按直線與平面的公共點數(shù)分類：（自己補充）（2）按直線是否與平面平行分類：（3）按直線是否在平面內(nèi)分類：（3）平面與平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：（按有無公共點分類）①兩個平面平行——沒有公共點；α∥β。②兩個平面相交——有一條公共直線；α∩β＝b。6、空間中的平行問題（1）線線平行的判定方法：①線線平行的定義：兩條直線共面，但是無公共點②公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行③線面平行的性質(zhì)定理：④線面垂直的性質(zhì)定理：eq\o\ac(○,5)面面平行的性質(zhì)定理：（2）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行證明線面平行，只要在平面內(nèi)找一條直線b與直線a平行即可。一般情況下，我們會用到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。線面平行的性質(zhì)定理：線面平行線線平行性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題線面平行的判定方法：①線面平行的定義：直線與平面無公共點②判定定理：③面面平行的性質(zhì)：（3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行面面平行），兩個平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：①如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）②如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定義：兩個平面無公共點。②判定定理：③線面垂直的性質(zhì)定理：④公理四的推廣：7、空間中的垂直問題線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（1）線線垂直的判定方法：①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）②線面垂直的性質(zhì)：②線面垂直的性質(zhì)：（2）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。判定線面垂直，只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直即可（注意：兩條直線必須相交）經(jīng)常用到的知識點有：①等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點，連接頂點與中點的線既是中線也是高，所以，這條線垂直于底邊；②正方形的對角線是互相垂直的；③三角形勾股逆定理,可以推出a邊與b邊垂直；④如果是要證異面垂直的兩條直線，一般采用線面垂直來證明一條線垂直于另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；eq\o\ac(○,5)采用三垂線定理或者其逆定理得到兩條直線垂直。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。線面垂直的判定方法：①線面垂直的定義②線面垂直的判定定理：③平行線垂直平面的傳遞性推論:④面面平行的性質(zhì)結(jié)論：eq\o\ac(○,5)面面垂直的性質(zhì)定理：（3）面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。面面垂直的判定方法①面面垂直的定義：兩個平面相交所成的二面角是直二面角②面面垂直的判定定理：③面面平行的性質(zhì)結(jié)論：AOB8、空間角問題AOB（1）直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規(guī)定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的范圍為（0°，90°]。注意：（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°（銳角或者直角）（2）計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。（3）角AOB的度數(shù)并不等于直線AO與直線BO所成的角。（2）直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角，取值范圍為（0°，90°）。由①②③直線與平面所成的角的范圍為[0°，90°]。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。關(guān)鍵的步驟是“作角”（斜線和射影所成的角）求線面角的方法（求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）①定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）②方法：作直線上任意一點到面的垂線，與線面交點相連，利用直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。③在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：1、斜線上一點到面的垂線；2、過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角