系統(tǒng)仿真技術第2章經典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學課件

系統(tǒng)仿真技術

第2章經典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學

xx合肥工業(yè)大學機械與汽車工程學院

1感謝你的觀看2019年8月3系統(tǒng)仿真技術

第2章經典的連續(xù)系統(tǒng)仿真建模方法學xx12.1離散化原理及要求

問題：數(shù)字計算機在數(shù)值及時間上的離散性----被仿真系統(tǒng)數(shù)值及時間上的連續(xù)性?連續(xù)系統(tǒng)的仿真，從本質上：對原連續(xù)系統(tǒng)從時間、數(shù)值兩個方面進行離散化并選擇合適的數(shù)值計算方法來近似積分運算

離散模型≈原連續(xù)模型？

2感謝你的觀看2019年8月32.1離散化原理及要求問題：數(shù)字計算機在數(shù)值及時間上的離相似原理

設系統(tǒng)模型為：，其中u(t)為輸入變量，y(t)為系統(tǒng)變量；令仿真時間間隔為h，離散化后的輸入變量為，系統(tǒng)變量為，其中表示t=nh。如果

,且即,

（對所有n=0,1,2,…）

則可認為兩模型等價。

3感謝你的觀看2019年8月3相似原理設系統(tǒng)模型為：u(t)h

y(t)

-+圖2.1相似原理原連續(xù)模型仿真模型

4感謝你的觀看2019年8月3u(t)hy(t)圖2.1相似原理原連續(xù)模型仿真模型對仿真建模方法三個基本要求

（1）穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則離散化后得到的仿真模型也應是穩(wěn)定的。

（2）準確性：有不同的準確性評價準則，最基本的準則是：

絕對誤差準則：

相對誤差準則：

其中

規(guī)定精度的誤差量。

5感謝你的觀看2019年8月3對仿真建模方法三個基本要求（1）穩(wěn)定性：若原連續(xù)系統(tǒng)對仿真建模方法三個基本要求(續(xù))

（3）快速性：若第n步計算對應的系統(tǒng)時間間隔為計算機由計算需要的時間為Tn，若

Tn=hn稱為實時仿真，Tn

hn稱為超實時仿真

Tn

hn

稱為亞實時仿真，對應于離線仿真

6感謝你的觀看2019年8月3對仿真建模方法三個基本要求(續(xù))（3）快速性：若數(shù)值積分算法

對，已知系統(tǒng)變量y的初始條件要求y隨時間變化的過程――初值問題

計算過程：由初始點的

歐拉法對任意時刻tn+1

截斷誤差正比于

7感謝你的觀看2019年8月3數(shù)值積分算法對數(shù)值積分算法（續(xù)）

梯形法:

是隱函數(shù)形式。預報－—歐拉法估計初值，校正－—用梯形法校正：校正公式

預報公式

反復迭代，直到滿足經典的數(shù)值積分法分為兩類：單步法與多步法8感謝你的觀看2019年8月3數(shù)值積分算法（續(xù)）梯形法:8感謝你的觀看202.2龍格庫塔法

2.2.1龍格-庫塔法基本原理

對若令：則有

的數(shù)值求解：稱作“右端函數(shù)”計算問題。在附近展開泰勒級數(shù)，只保留項，則有：9感謝你的觀看2019年8月32.2龍格庫塔法2.2.1龍格-庫塔法基本原理9感謝你龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）

假設這個解可以寫成如下形式：

其中

對式右端的函數(shù)展成泰勒級數(shù)，保留h項，可得：代入，則有：

10感謝你的觀看2019年8月3龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）假設這個解可以寫成如下龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）

將(2)式與(1)式進行比較，可得：四個未知數(shù)但只有三個方程，因此有無窮多個解。若限定，則計算公式：其中

11感謝你的觀看2019年8月3龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）將(2)式與(1)式進龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）

若寫成一般遞推形式，即為：其中（1）截斷誤差正比于h3，稱為二階龍格-庫塔法（簡稱RK-2）。

（2）截斷誤差正比于h5的四階龍格--庫塔法（簡稱RK-4）公式：其中：

12感謝你的觀看2019年8月3龍格-庫塔法基本原理（續(xù)）若寫成一般遞推形式，即2.2.2龍格--庫塔法的特點

1.形式多樣性例：非唯一解，可以得到許多種龍格--庫塔公式：(中點公式)

其中

各種龍格---庫塔法可以寫成如下一般形式：其中

13感謝你的觀看2019年8月32.2.2龍格--庫塔法的特點1.形式多樣性13感謝你的觀龍格--庫塔法的特點(續(xù)）

式中各系數(shù)滿足以下關系

s稱為級數(shù)，表示每步計算右端函數(shù)f的最少次數(shù)?？梢宰C明，1階公式至少要計算一次，2階公式;….；4階公式；依此類推。有時為了某種特殊需要，可以選擇的計算公式。

14感謝你的觀看2019年8月3龍格--庫塔法的特點(續(xù)）式中各系數(shù)滿足以下關龍格--庫塔法的特點(續(xù)）2.單步法

在計算時只用到，而不直接用等項。優(yōu)點：存儲量減小，可以自啟動.3.可變步長

步長h在整個計算中并不要求固定，可以根據(jù)精度要求改變，但是在一步中，為計算若干個系數(shù)，則必須用同一個步長h。

15感謝你的觀看2019年8月3龍格--庫塔法的特點(續(xù)）2.單步法15感謝你的觀看2019龍格--庫塔法的特點(續(xù)）4.速度與精度

四階方法的h可以比二階方法的h大10倍，每步計算量僅比二階方法大一倍，高于四階的方法由于每步計算量將增加較多，而精度提高不快。

16感謝你的觀看2019年8月3龍格--庫塔法的特點(續(xù)）4.速度與精度16感謝你的觀看22.2.3實時龍格－庫塔法

實時仿真：要求仿真模型的運行速度往往與實際系統(tǒng)運行的速度保持一致。一般的數(shù)值積分法難以滿足實時仿真的要求，這不僅僅是因為由這些方法所得到的模型的執(zhí)行速度較慢，而且這些方法的機理不符合實時仿真的特點。

考慮系統(tǒng)

17感謝你的觀看2019年8月32.2.3實時龍格－庫塔法實時仿真：要求仿真實時龍格－庫塔法(續(xù)）RK-2公式如下：一個計算步內分兩子步：

tn時刻：利用當前的un，yn計算k1----計算一次右端函數(shù)f需。tn+h/2時刻：應計算k2，盡管此時yn+1/2已經得到，但un

+1則無法得到。(若對un

+1也進行預報――加大仿真誤差)。仿真執(zhí)行延遲h/2――輸出要遲后半個計算步距。18感謝你的觀看2019年8月3實時龍格－庫塔法(續(xù)）RK-2公式如下：18感謝你實時龍格－庫塔法(續(xù)）RK-2的計算流程19感謝你的觀看2019年8月3實時龍格－庫塔法(續(xù)）RK-2的計算流程19感謝你的觀看20實時龍格－庫塔法(續(xù)）

實時2階龍格－庫塔法：

tn時刻，應計算k1，利用當前的un，yn，需要；tn+h/2時刻，應計算k2，此時yn

+1/2已經得到，un

+1/2也可得到，k2的計算就不會引入新的誤差。計算一次右端函數(shù)需要，可實時輸出yn

+1。

20感謝你的觀看2019年8月3實時龍格－庫塔法(續(xù)）實時2階龍格－庫塔法：20感謝實時龍格－庫塔法(續(xù)）實時RK-2公式計算流程21感謝你的觀看2019年8月3實時龍格－庫塔法(續(xù)）實時RK-2公式計算流程21感謝你的觀2.3線性多步法

2.3.1線性多步法基本原理

基本原理：利用一個多項式去匹配變量若干已知值和它們的導數(shù)值。

設：時刻的和已知;

預報：由和來計算校正：若也已知，由它們來計算

22感謝你的觀看2019年8月32.3線性多步法2.3.1線性多步法基本原理22感線性多步法(續(xù))

采用的多項式具有以下形式(m階)

其中：是待定系數(shù)，在時刻，，可得到：（2-1）

23感謝你的觀看2019年8月3線性多步法(續(xù))采用的多項式具有以下形式(m階)線性多步法(續(xù))

由和確定，需要m+1個獨立方程。該m+1個方程可由以下等式導出：（2-2）

24感謝你的觀看2019年8月3線性多步法(續(xù))由線性多步法(續(xù))1、預報公式

令m=2k-1，從（2-2）式得到如下方程組：

25感謝你的觀看2019年8月3線性多步法(續(xù))1、預報公式25感謝你的觀看2019年8月3

（2-3）將其寫成矩陣形式：（2-4）

其中上標p表示預報。其解為：（2-5）

26感謝你的觀看2019年8月326感謝你的觀看2019年8月3

由于為常數(shù)陣，其逆存在，Z向量中的各元素為已知值，因而d向量的各元素值可計算得到，從而由,得到下一時刻的預報值。

缺點：只有是所需要的，其它元素的計算成為多余

,得不到與和顯式表達式。27感謝你的觀看2019年8月3由于為常數(shù)陣，其逆存在，Z向量中的各元線性多步法(續(xù))定義：

（m+1）

1的列向量

(2-6)定義輔助變量(2-7)此式可改寫為(2-8)向量的元素可劃分為兩個組

(2-9)

28感謝你的觀看2019年8月3線性多步法(續(xù))定義：例：k=3，則(2-8)式為：可計算得到：

29感謝你的觀看2019年8月3例：k=3，則(2-8)式為：29感謝你的觀看2019年8月

只依賴于k，即先前和的個數(shù)，而與它們的數(shù)值無關。這樣，可以預先求解（2-8）式得到從而得到的顯式表達式：

30感謝你的觀看2019年8月3只依賴于k，即先前和例：試推導用預報公式

條件：已知

由

31感謝你的觀看2019年8月3例：試推導用預2、校正公式

預報公式――顯式公式，未包括。校正：對該預報值應進行校正，即先預報得到，然后再用此值推出。由和以及來預報，可令m=2k-1，從（2-2）式得到如下方程組：

32感謝你的觀看2019年8月32、校正公式預報公式――顯式公式，未包括將其寫成矩陣形式：（2-10）

33感謝你的觀看2019年8月333感謝你的觀看2019年8月3校正公式(續(xù))其中上標c表示校正，可得

(2-11)

34感謝你的觀看2019年8月3校正公式(續(xù))其中上標c表示校正，可得34感謝你的觀看201校正公式(續(xù))

定義：為（m+1）

1的列向量，上標T表示轉置。將左乘（2-10）式可得：（2-12）定義（2-13）可改寫為

（2-14）

（2-15）35感謝你的觀看2019年8月3校正公式(續(xù))定義：例：k=3

同樣，只依賴于k，即先前和的個數(shù)，而與它們的數(shù)值無關。這樣

（2-16）從而

（2-17）

36感謝你的觀看2019年8月3例：k=336感謝你的觀看2019年8月3例：已知，預估，然后用校正。預估

預報公式為校正校正公式為

37感謝你的觀看2019年8月3例：已知2.3.2線性多步法誤差分析

為了便于分析，對預報公式和校正公式，定義統(tǒng)一的表達式：（2-18）

-------顯式預報顯式預報時稱為后向差分公式（BDF）同時均不等于0時為隱式校正公式

k稱為公式的階次。假設變量各時間的精確值已經得到，將其代入（21）式，可得：

（2-19）

38感謝你的觀看2019年8月32.3.2線性多步法誤差分析為了便于分析，線性多步法誤差分析（續(xù)）

在附近，將每個函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：（2-20）對所有i(i=0,1,2,…,k)，將（2-20）式代入（2-19）式，合并同類項，可得

（2-21）39感謝你的觀看2019年8月3線性多步法誤差分析（續(xù)）在附近線性多步法誤差分析（續(xù)）其中

（2-22）如果均為0，則稱為p階公式

（2-23）

40感謝你的觀看2019年8月3線性多步法誤差分析（續(xù)）其中40感謝你的觀看2019年8月3線性多步法誤差分析（續(xù)）

下面，如果我們能證明上一節(jié)推導出的公式若能滿足求均為0的條件，則就得出了這些公式的截斷誤差滿足（2-23）式。以三階公式為例，將（2-22）式與相關表達式表示成右端為零，可得：

41感謝你的觀看2019年8月3線性多步法誤差分析（續(xù)）下面，如果我們能證明上一節(jié)

先討論預報公式，由于和，這意味著要將上述矩陣的第1列移到等式的右邊，并去掉第5列。為了使矩陣成為方陣，將其最后兩行也去掉。

42感謝你的觀看2019年8月3先討論預報公式，由于和

其結果與用于推導預報公式的矩陣方程完全一樣。

43感謝你的觀看2019年8月3其結果與用于推導預報公式的矩陣方程完全一樣。43感謝你的

對校正公式，可采用類似的辦法，只是，這樣要將第第5列移到等式的右邊；若假定，則可去掉第4列。同樣為得到方陣，去掉最后兩行，結果就是3階校正公式。

這就表明，