哈密頓最小作用量原理課件

理論力學熱力學與統(tǒng)計物理理論力學第四講分析力學(二)哈密頓正則方程力學的變分原理(最小作用量原理)分析力學的哈密頓表述——正則力學,正則方程

特征函數：哈密頓函數－廣義坐標和廣義動量的函數數學表述：一階微分方程（拉格朗日表述為二階微分方程）發(fā)展：經典力學－量子力學第四講分析力學(二)分析力學的哈密頓表述——正則力學,凡是力學原理用到變分運算的，叫做力學變分原理，力學變分原理有微分形式，也有積分形式。虛功原理是力學變分原理的微分形式，而本節(jié)的哈密頓原理，則是力學變分原理的積分形式。變分運算的幾個法則

假設有兩個變量A和B，它們一般是q、p、t的函數，則：力學第一性原理1、牛頓定律2、虛功原理3、達朗貝爾原理4、最小作用量原理（1）等時不等能變分——哈密頓原理（2）不等時等能變分——莫培督原理凡是力學原理用到變分運算的，叫做力學變分原理，力學變分原理有下面介紹變分的概念

目的是找出變分和微分運算不同的地方，以及同時進行微分、微商和變分運算時的對易規(guī)則。

假定c是s維空間的一條曲線，且為質點遵循運動定律運行時的軌道，及動力軌道或真實軌道，為鄰近c的一條曲線，但不是質點的動力軌道，唯有c及的兩端點P1和P2相同，如圖所示，設質點m沿c運動，而想象另一質點沿運動，它們同時自P1出發(fā)，并同時到達P2

。

我們把相差甚微的軌道曲線c與之間的差異稱為變分。并用變分符號表示，以區(qū)別于表示在同一曲線軌道上由于自變量微小變化而引起的差異的微分符號d，則在P1及P2點上有：下面介紹變分的概念目的是找出變分和微分運算不同的地方

如果P及是c及上兩對應點，即m和同時自P1出發(fā)，分別沿著c和運動，當m到達P時，到達，Q點是P點附近的一點，并且和P在同一軌道c上。如果P點的坐標為：點的坐標為：Q點的坐標為：至于在上和Q點對應的點，則可從兩方面來考慮：1)質點自P至Q，然后到；2)質點有P至，然后至。因此有：即：可見：與d的先后次序可以對易。如果P及是c及上兩對應點，即m和一般來講，與的先后次序不能對易

若：，則：可見在的假設下，與的先后次序是可以對易的，這種變分叫做等時變分。至于與的先后次序不能對易的那種變分，叫做不等時變分或全變分。用來代表不等時變分，所以

一般來講，與的先后次序不能對易若：設自變量為t，自變量的變化為Dt,則d變分有如下運算法則對易關系設自變量為t，自變量的變化為Dt,則d變分有如下運算法則對——保守系統(tǒng)的拉格朗日運動方程廣義動量：與牛頓方程對應亦稱為拉格朗日力一、正則變量哈密頓函數由函數理論，可求出：將廣義坐標和與之對應的廣義動量定義為一對共軛正則變量兩者互為正則共軛。正則變換：如果能夠通過某種變數的變換，能夠找到新的函數，使正則方程的形式不變?！Ｊ叵到y(tǒng)的拉格朗日運動方程廣義動量：與牛頓方程對應亦稱為S個自由度的力學系統(tǒng)，2S個變量（S個廣義坐標，S個廣義動量）張開為2S維空間－相空間。相空間的一點表示力學系統(tǒng)的一個可能的運動狀態(tài)——相點。S個自由度的力學系統(tǒng)，2S個變量（S個廣義坐標，S個廣義動量二、勒讓德變換由拉格朗日力學哈密頓力學變量組設其中：(x,y)為舊變量f(x,y)為舊函數(u,v)為新變量二、勒讓德變換由拉格朗日力學哈密頓力學變量組設其中：(x,y用新變量代替舊變量則為以新變量表示的舊函數－中間函數故同理引入新函數：則用新變量代替舊變量則為以新變量表示的舊函數－中間函數故同理引于是得到：新舊變量和新舊函數間所具有的這種對稱性的變換稱為勒讓德變換考慮一類特殊的勒讓德變換保留舊變量x和新變量v去掉舊變量y和新變量uffx,yfu,vx,y于是得到：新舊變量和新舊函數間所具有的這種對稱性的變換稱為勒故即引入新函數則故即引入新函數則規(guī)則：yygv規(guī)則：yygv三、哈密頓正則方程可得——哈密頓正則運動方程按構造哈密頓函數如下因為：故由(j=1,2,……,S)三、哈密頓正則方程可得——哈密頓正則運動方程按構造哈密頓函數例。一半徑為r的光滑圓環(huán)形細管，可繞其過直徑的鉛直軸z轉動，該圓環(huán)對轉軸z的轉動慣量為Iz。質量為m的小球A可在圓環(huán)內滑動，試寫出系統(tǒng)的哈密頓正則方程。zrOA解：自由度：2廣義坐標：圓環(huán)的轉角f、半徑OA的轉角q

動能：勢能：零點：過點O的水平面例。一半徑為r的光滑圓環(huán)形細管，可繞其過直徑的鉛直軸z轉動，由于用、取代、由于用、取代、四、正則系統(tǒng)、哈密頓函數的物理意義正則系統(tǒng)：存在一個哈密頓函數，從而運動方程具有哈密頓正則運動方程形式的力學系統(tǒng)。由哈密頓函數的一般形式由為廣義坐標的函數可見T為關于廣義速度的二次齊次式。四、正則系統(tǒng)、哈密頓函數的物理意義正則系統(tǒng)：存在一個哈密頓函循環(huán)坐標：哈密頓函數H(q,p,t)及拉格朗日函數L(q,,t)中不出現的廣義坐標稱為循環(huán)坐標。對于循環(huán)坐標，有：由二次齊函數的歐拉定理，得：故哈密頓函數又可寫成：哈密頓函數給出系統(tǒng)的總機械能即：循環(huán)坐標：哈密頓函數H(q,p,t)及拉格朗日函數L(q,故動量為常數，與循環(huán)坐標共軛的廣義動量為守恒量哈密頓函數不顯含時間稱為動量積分哈密頓函數H對時間為常量，對保守力系：機械能守恒故動量為常數，與循環(huán)坐標共軛的廣義動量為守恒量哈密頓函數不顯例：在直角坐標系、柱坐標系和球坐標系中分別寫出自由質點在勢場U(r)中運動的哈密頓函數.例：在直角坐標系、柱坐標系和球坐標系中分別寫出自由質點在勢場哈密頓最小作用量原理課件力學的變分原理一變量,函數及其積分的變分二微分變分原理與積分變分原理的一般原理如果函數G直接是所有明顯地出現于它表達式中的變量的函數，稱為微分變分原理，它是每一瞬時判別真實運動的準則。如果函數G是泛函，亦即函數G是定積分，例如為動力學函數對時間t的積分，稱為積分變分原理，它是判別一段時間內真實運動的準則。三微分變分原理虛位移原理達朗貝爾—拉格朗日原理高斯原理………….四哈密頓原理最小作用量原理力學的變分原理一變量,函數及其積分的變分1.運動的變分在給定約束下，分析系統(tǒng)的所有可能的運動，從其中確定在已知主動力及初始條件下的真實運動，是分析力學的基礎方法。2.變量的等時變分3.變量的全變分4.函數的變分5.依賴于動力學函數的定積分的變分變分在數學和物理里面都有，學物理的人用的時候都不是那么嚴格，一般來說函數對自變量我們用偏導，微分；而泛函的自變量是函數，對函數就只能用變分了。

物理上變分法一般是讓泛函的自變量（函數）有小的變動，但是兩個端點不能動。然后要求泛函的變分為0，這樣可以求得運動方程，如果和實際的運動方程一致，我們認為我們選擇的泛函是合理的。

一變量,函數及其積分的變分變分在數學和物理里面都有，學物理簡單的說，自變量是實數的，就是實變函數；是復數的，就是復變函數；是函數的，就是泛函。

例子

實變：y=x+1,x屬于R

復變：w=2*z，z屬于C

泛函：L(y)=y'+y,y=y(x)[y'代表y的導數]就是以函數為自變量的函數。

比如曲線的長度,閉合曲線圍成的面積等都和曲線的函數是一種泛函關系。

設對于任何y(x),有另一個函數J[y]與之對應,則稱J[y]為y(x)的泛函。這里的定義域,即函數集合,通常包含要求y(x)滿足的一定邊界條件,并且具有連續(xù)的二階導數。

泛函和復合函數不同,泛函必須給出區(qū)間上整個函數y(x),才可以得到一個泛函值。簡單的說，自變量是實數的，就是實變函數；是復數的，就是復變函四哈密頓原理最小作用量原理四哈密頓原理最小作用量原理oxyAB四、哈密頓原理

最小作用量原理oxyAB四、哈密頓原理最小作用量原理哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件設n個質點所形成的力學體系受有k個幾何約束，則這力學體系的自由度是：s=3n-k，因此，我們如果能夠做到把s個廣義坐標作為時間t的函數加以確定，我們也就確定了這力學體系的運動。為了尋求力學體系的運動規(guī)律，哈密頓提出可以從具有相同端點，并為約束所許可的許多條可能的運動軌道，即s維空間曲線中，挑出一條真實軌道。為此，可以采用變分的方法來挑選這一條真實軌道，既然可以從約束所許可的許多軌道中，挑出真實軌道，當然也就確定了力學體系沿著這條真實軌道運動時的運動規(guī)律。二、哈密頓最小作用量原理設n個質點所形成的力學體系受有k個幾何約束，則這力學體系的自完整的、保守的力學體系在相同時間內，由某一初位形轉移到另一已知位形的一切可能運動中，真實運動的主函數具有穩(wěn)定值，即對于真實運動來講，主函數的變分等于零。哈密頓原理的文字表述如下：完整的、保守的力學體系在相同時間內，由某一初位形轉移到另一已在t1時刻到t2時刻內，如果qj(t1)和qj(t2)對于約束所允許的各種可能的運動都相同，則真實運動的作用量必定取極小值。哈密頓最小作用量原理：在t1時刻到t2時刻的時間內，如果所有可能的路徑有相同的始點qj(t1)和相同的終點qj(t2)，則真實發(fā)生運動的那條路徑的作用量必定取極小值?；騮t2t1qj(t1)qj(t2)qj路徑在相空間(qj,t)平面的投影qj(t1)到qj(t2)有許多可能的路徑，可表示為：是表示真實路徑上每一瞬間的廣義坐標。最小作用量原理的數學表達式在t1時刻到t2時刻內，如果qj(t1)和qj(t2)對于約哈密頓最小作用量原理課件若拉格朗日函數為

用哈密頓原理可導出完整保守力系的拉格朗日方程為：若拉格朗日函數為用哈密頓原理可導出完整保守力系的拉格朗日方哈密頓最小作用量原理課件pABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS2pABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS2五利用哈密頓原理推導正則方程由哈密頓函數五利用哈密頓原理推導正則方程由哈密頓函數故：因故：由于是完整系統(tǒng)，各廣義坐標和廣義動量是獨立變更的，即dqj、dpj是相互獨立的，故：哈密頓正則方程故：因故：由于是完整系統(tǒng)，各廣義坐標和廣義動量是獨立變更的，結論：結論：哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件哈密頓最小作用量原理課件例。在如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心A用剛度系數為k的水平彈簧連于固定墻上。不可伸長的繩子跨過定滑輪B，一端系于輪心A，另一端系一質量為m1的物塊C。A、B二輪均可視為半徑為r、質量為m2的勻質圓盤，假設繩與輪B間不打滑，繩子和彈簧的質量以及軸承處摩擦忽略不計，試求系統(tǒng)的振動周期。CxxArkBr解：本系統(tǒng)為一完整的保守系統(tǒng)。以物塊C的平衡位置作為坐標原點，取x為廣義坐標系統(tǒng)的動能：勢能零點：平衡位置處，重力勢能為零，彈簧原長處，彈性勢能零點。平衡位置：彈簧伸長為：Dx=m1g/k例。在如圖所示的系統(tǒng)中，輪A沿水平面純滾動，輪心A用剛度系數故當物塊位于x處時，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數為：故：對易關系：故當物塊位于x處時，系統(tǒng)的勢能為：拉格朗日函數為：故：對易關