一種指紋抓持系統(tǒng)的靈巧性分析

一種指紋抓持系統(tǒng)的靈巧性分析

1最佳靈活性區(qū)域的確定在現(xiàn)有的柔性方法中，機構(gòu)形式上經(jīng)常意味著更多的關(guān)節(jié)手，手指的數(shù)量通常是3.5個，每個手指的關(guān)節(jié)數(shù)量通常是3個旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，這基本上可以模擬大多數(shù)人的運動。從現(xiàn)有多指靈巧手的機構(gòu)組成看,均可以看作是由單個機器人臂在基體(手掌)上配置而成。因此多指手的抓持性能和操作性能,不僅取決于各手指(機器人臂)的性能,而且還與這些手臂之間的合理配置有關(guān)。這里牽涉到兩個方面的問題,其一,單個手指(機械臂)的運動性能和傳力性能的確立,其二,所需要設(shè)計的手的運動性能和傳力性能的要求。從目前研究看,單臂的運動性能主要由操作器的靈活性來描述。在由單個手指(單操作器)組成的多指靈巧手(多機器人系統(tǒng))中,參與抓持和精細(xì)操作手指的工作空間,只占各手指(機器人)工作空間的某一部分。有些學(xué)者利用各單臂的工作空間相交的體積最大來設(shè)計多機器人系統(tǒng),這種思想只能擴大多指手(機器人系統(tǒng))的工作范圍,而并不能保證每個手指(單個操作器)工作在最佳的工作性能狀態(tài);并且牽涉到多個復(fù)雜曲面的“立體求交”這一復(fù)雜幾何問題,另外,由于在工作空間中存在一部分奇異區(qū)域,在此區(qū)域中,手可能使某一方向的關(guān)節(jié)速度非常大。因此必須選擇工作性能良好的區(qū)域作為工作區(qū)域,盡可能使各手指工作在其具有較好特性的區(qū)域,并盡量避開奇異區(qū)域,從而,保證整個手處于較好的工作狀態(tài)。因此綜合以上考慮,本文首先從單操作器的靈巧性分析出發(fā),提出單操作器工作空間中的最佳靈活性區(qū)域概念,并以最普通的空間3R手指作為實例,確定其最佳靈活性區(qū)域。在此基礎(chǔ)上,根據(jù)多指系統(tǒng)的最佳靈活性準(zhǔn)則,結(jié)合多指手抓持物體的情況,對其進行最佳設(shè)計,分別得到了幾種不同配置的,具有最佳靈巧性的多指靈巧手設(shè)計方案。2操作器的雅分析為了簡化,我們假定物體與手指之間接觸模型是有摩擦的點接觸,那么,手指到物體的運動傳遞僅考慮手指尖的移動分量來實現(xiàn),而手指指端的姿態(tài)不影響物體的運動。在物體坐標(biāo)系中,接觸點i的速度Vi與物體的速度之間有:Vi=Vo+ωri(1)式中:Vo——物體上坐標(biāo)系原點的速度;ω——物體的角速度,它們均被定義在公共坐標(biāo)系中;ri——接觸點在物體座標(biāo)系中的位置矢量。對單個手指而言,手指尖在物體坐標(biāo)系中的速度可用手指的雅可比表示為:Vi=Ri˙xi=RiJi˙q(2)Vi=Rix˙i=RiJiq˙(2)式中:J∈Rm×n——手指的雅可比矩陣;Ri——從手指尖(接觸點)坐標(biāo)系到物體坐標(biāo)系的方向余弦。因此,它是正交矩陣,即:RΤiTi=R-1i?1i。于是,在由k個手指組成的系統(tǒng)中,可組合成:V為各手指尖的速度向量,V=[V1,V2,…,Vk]T,關(guān)節(jié)速度向量˙Q=[q1?q2???qk]Q˙=[q1?q2???qk]。因而,手指尖的運動取決于式(3)中,手的雅可比矩陣J,顯然,它取決于單個手指的雅可比矩陣RiJi。由于Ri是正交矩陣,那么:(RiJi)TRiJi=JTiRTiRiJi=JTiJi(3)式(3)說明,RiJi的奇異值與Ji的奇異值相同。由于在下面討論操作器的靈巧性時,主要的影響因素是矩陣的RiJi奇異值,顯然,根據(jù)式(3),研究手的特性,也就對應(yīng)研究單個操作器的特性。從運動學(xué)的角度看,衡量操作器的運動學(xué)特征優(yōu)劣的一個主要指標(biāo)是操作器的靈巧度,而它取決于操作器的雅可比J∈Rm×n。按照矩陣?yán)碚?J可有奇異性分解:J=UΣVT(4)這里,U∈Rm×n、V∈Rn×n為正交陣,Σ為對角陣,若J的秩為r,則:Σ=diag(σ1,σ2,…,σr)σi為J的奇異值。若關(guān)節(jié)速度一定,即它滿足:˙qΤ˙q=1(5)這是一個單位球。那么,由式(2)導(dǎo)出:˙q=J+˙x?J+是雅可比矩陣的廣義逆:J+=VΣ-1UT(6)代入公式(5)中,就得到以下方程:˙xΤUΣ-2UΤ˙x=1(7)方程(7)定義了一個廣義橢球,它表明,在關(guān)節(jié)速度矢量的范數(shù)為1時,即為單位球時,末端器的廣義速度位于一個廣義橢球上。從式(7)可知:橢球的主軸方向由正交矩陣U的列向量來確定,橢球的各主軸長度為σi,并且σ1≥σ2≥…≥σr,σr為橢球最短軸的長度,σ1為廣義橢球最長軸的長度。那么,對操作器而言,其輸入速度(關(guān)節(jié)速度)與輸出速度(末端器速度)之間的關(guān)系由該廣義橢球來反映。盡管RiJi與Ji的奇異值的大小相同,但是,根據(jù)奇異值的分解有:RJ=RUΣVT=U1ΣVT(8)這樣,單個操作器與在多指手中,單個手指的速度橢球的主軸大小完全相同,所不同的是,由于U與U1相差一個方向余弦矩陣,因此,兩者的主軸方向不同。用雅可比矩陣的條件數(shù),即運動靈巧度(Dexterity)定義為:k=σ1σr(9)即最大奇異值與最小奇異值的比,從廣義橢球的形狀看,該比值反映了廣義橢球的扁平程度,當(dāng)k=1,則說明廣義誤差在各個方向上的傳播機會也是均等的。橢球退化為一廣義球,表明操作器在該位形處,可以取得較好的伺服精度,即具有相同的施力特性。這時各個方向的速度比均相同,根據(jù)力和速度的對偶關(guān)系,并且在所有方向上可施加同樣大小的力,在對應(yīng)操作器位形的這些點處,對于給定的操作器來說稱為最佳工作點,于是對應(yīng)于在最優(yōu)工作點的附近區(qū)域,我們稱為最佳工作區(qū)域(最佳靈巧度區(qū)域)。定義1:最佳靈巧區(qū)域,對于給定的操作器的位形,當(dāng)其對應(yīng)的雅可比的最小與最大奇異值之比k等于1的位形,稱為最佳工作點;圍繞在最佳工作點附近,保證k值接近于1的對應(yīng)工作空間區(qū)域,稱為最佳靈巧區(qū)域。即:k≤1-δ(δ≤1),(δ可根據(jù)需要給定)。3操作器嘴唇的最佳工作點從2節(jié)的分析我們可以看到,最佳工作區(qū)域的確定通過最佳靈巧點和最佳可操作點來完成,而影響二者的主要因素是手指(操作器)的雅可比。本節(jié)的研究僅限于靜態(tài),不考慮慣性的影響。通過雅可比矩陣的奇異值分解,而確定最佳工作點的發(fā)生位置,從而得到最佳的手指參數(shù)。一般情況下,操作器的條件數(shù)為一般的空間超曲面,難于找出其最佳位置,由于目前采用的大多數(shù)手指,其結(jié)構(gòu)形式采用3R型式,如圖1a所示,故從分析這種操作器(手指)的最佳工作點來說明我們的思路。為了分析方便并不影響其工作特性,我們把3R操作器分解為兩部分來研究,如圖1b、c所示。3.1最佳靈敏度計算圖1中,為了便于分析,我們把雅可比矩陣表示在其末端桿坐標(biāo)系中,于是,2R操作器的雅可比矩陣為:J=[l1s20l2+l1c2l2](11)式中:l1、l2——連稈的長度;s2=sinθ2;c2=cosθ2;θ1,θ2——關(guān)節(jié)角位移。由奇異值的定義,J的奇異值是JTJ矩陣的特征值的平方根,則:λ12=l21+2l22+2l1l2c2±√(l21+2l22+2l1l2c2)2-4l21l22s22(12)對應(yīng)σ12=√λ12,由靈巧度指標(biāo)k1=σ1/σ2,并令μ=l1/l2,其最佳工作點對應(yīng)于k=1,即σ1、σ2兩奇異值相同,有:(μ2+2+2μc2)2=4μ2s22(13)進一步推導(dǎo):μ2+2+2√2μcos(π4±θ2)=0(14)只有cos(π4±θ2)=-1時,上式可能有恒等。這時:π4±θ2=π,或θ2=±34π。對應(yīng):μ2+2-2√2μ=0即μ=√2。因此,對2R平面操作器來說,θ2=±3/4時為最佳工作點,對應(yīng)的桿長比μ=√2,即l1=√2l2(末端桿要稍短一些),這正好與我們?nèi)祟愂种傅哪╆P(guān)節(jié)比中間關(guān)節(jié)短一些是非常一致的,從理論上證明了人類手是最靈巧的操作器。另外,最佳靈巧度指標(biāo)k與桿l1的位置θ1無關(guān),僅取決于桿2的位置θ2。反之,如果給定桿長尺寸,由式(16)可確定最佳工作點(最佳靈巧點),于是由式(16)有:當(dāng)我們?nèi)《▋蓷U長度,對應(yīng)于k∈[0.5,1],則θ2∈[100°,150°]。從以上的分析看,具有最佳靈巧性的2R桿的桿長參數(shù)應(yīng)符合l1=√2l2的關(guān)系。3.2廣義橢圓操作器等效空間2R操作器如圖2所示,圖中各桿長為l0、l12,關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為θ0、θ12,固定坐標(biāo)系設(shè)在關(guān)節(jié)1的軸線上,于是其未端點的雅可比矩陣為:J=[-(l0+l12c12)s0-l0c0s12(l0+l12c12)c0-l12s0s120l1c12](16)式中:c12=cosθ12;s12=sinθ12;c0=cosθ0;s0=sinθ0。那么,對應(yīng)于J的奇異值分別為:σ1=l0+l12c12,σ2=l12(17)根據(jù)廣義橢球的含義,該操作器中,當(dāng)關(guān)節(jié)速度˙θ0,˙θ12位于單位圓上時,經(jīng)J映射后廣義橢球(橢圓),其橢圓所在平面如圖2所示,長短軸方向分別在與桿1垂直的平面內(nèi),因而沿桿長方向不產(chǎn)生速度,因此該2R操作器只產(chǎn)生桿l12末端點的兩個方向運動(m,n)。而對應(yīng)于3R操作器,即根關(guān)節(jié)和第二關(guān)節(jié),只負(fù)責(zé)手指的收縮和伸展及手指末端的纏繞動作。那么在對應(yīng)的運動方向上靈活度為:k2=σ1/σ2,然后,令:μ2=l0/l12。則:k2=μ2+c12(18)對應(yīng)k2=1,μ2和θ12不唯一。從式(18)有:k2=μ2+cosθ12=1(19)那么對應(yīng)式(19)滿足μ2>0的θ12有無窮多個,只要θ12≠0的任意值都可以。這里為了方便取:μ2=1?θ12=π2,由此得到:l0=l12。最佳靈巧點發(fā)生在θ12=π2處,并且與θ0的位置無關(guān)。即不管θ0處于什么位置,只有θ12和μ2可確定該2R的靈巧度。特別注意的是,由最佳靈巧度分析,我們看到,在二桿長度相等時,存在最佳工作點,此時對應(yīng)于我們?nèi)祟惖氖种?。若把末指?jié)和中指節(jié)看成一個指節(jié),則可以驚奇地發(fā)現(xiàn),這個指節(jié)與根關(guān)節(jié)的長度基本相等,那么這進一步說明人手的靈巧性是最佳的。其最佳靈巧工作區(qū)域,可由計算k2值與θ1關(guān)系而定,由此確定最佳靈巧區(qū)域為(80°,120°)。4最佳工作點的分析從3.1的分析我們得到了平面2R桿的最佳靈巧點和可操作點,這僅與θ2有關(guān),由3.2的研究,空間2R桿的最佳靈巧點確立θ12的范圍,那么,結(jié)合兩個2R桿的最佳工作點,我們可得到圖3所示的空間3R手指的最佳工作點P的位置。由于P點的位置與根關(guān)節(jié)無關(guān),因此在整個工作空間中,最佳工作點所形成的軌跡為繞z軸的一個圓。該圓的半徑是l0,其平面垂直于z軸,離原點O的距離為l12。從最佳工作點的分析,我們可以得到對應(yīng)手指各桿的尺寸關(guān)系:l1+l2≥l12l1-l2≤l12}(20)由前面分析的結(jié)果:l1=√2l2?l12=l0(21)那么,根關(guān)節(jié)的長度應(yīng)滿足:上式給出了3R手指的各關(guān)節(jié)長度大小之間的關(guān)系,由此我們可以確定各關(guān)節(jié)的合理尺寸。若l2=36mm那么,l1=50.4mm,然后就有:l0=l12=7.452mm～43.454mm。根據(jù)所要限制的靈巧度數(shù)值范圍,通過上節(jié)找出對應(yīng)的θ2和θ12的區(qū)間,這個區(qū)域在圖4所示的陰影部分中。中指節(jié)和末指節(jié)的最佳范圍,為一扇形區(qū)域,考慮到θ0的任意性,我們將其最佳范圍(扇形區(qū)域)繞關(guān)節(jié)1的軸線轉(zhuǎn)2π后,得到一近似圓柱體,其半徑是l12,離基點O的距離是l12,如圖4所示。至此,完成了3R手指的最佳靈巧區(qū)域的確定。5確定0個不同中心的相對位置我們假定手指機構(gòu)的結(jié)構(gòu)型式關(guān)節(jié)類型已經(jīng)確定,并且各手指的結(jié)構(gòu)尺寸我們按照手指(單個操作器)的最佳靈巧性來設(shè)計。所以,剩下的問題是把一個多指靈巧手的設(shè)計問題,轉(zhuǎn)化為確定數(shù)個手指在手掌中的相對位置的問題。為了簡化,暫不考慮物體和實現(xiàn)任務(wù)的影響,并忽略手指本身的幾何尺寸的影響。從4節(jié)的分析中看出,若各手指的最佳工作區(qū)域,均為一近似圓柱或環(huán)形體,并且最佳區(qū)域的相對位置,均相對于其工作空間是固定的。于是,設(shè)計具有最佳靈巧性的靈巧手,即意味著確定數(shù)個最佳區(qū)域(圓柱或環(huán)形體)的相對位置。于是我們提出設(shè)計具有最佳靈巧性靈巧手的設(shè)計準(zhǔn)則:具有最佳性能的靈巧手存在的必要條件,是各手指的最佳工作區(qū)域相重迭或相交的公共區(qū)域應(yīng)具有最大體積。5.1兩常州市兩目標(biāo)函數(shù)當(dāng)兩個手指組成兩指靈巧手時,其對應(yīng)各手指的最佳工作區(qū)域的相互位置,有以下情況:按照準(zhǔn)則,顯然當(dāng)兩圓柱重迭成反向重迭時,其相交體積最大,并且等于其中一圓柱的體積。那么此時,對應(yīng)于兩3R手指其相對位置,如圖5所示,兩手指相距2l12;但當(dāng)兩圓柱在同側(cè)時,兩手指處于同一位置,顯然與單手指是完全一致的,從運動學(xué)意義上是同一個手指(或單操作器)。當(dāng)兩圓柱的軸線平行時,由于兩圓柱的截面為圓形,其半徑為2l12,最理想的情況是兩圓在一平面,并且軸線相距越小、兩圓相交的公共區(qū)域越大。當(dāng)然,極限情況,兩軸線重合,此時又退化成單手指的情況。這里,為了防止兩手指根關(guān)節(jié)的運動干涉,我們限制兩軸線的距離d≥l0。臨界情況,d=l0。這時,由于l12=l0,所以有d=l12。對應(yīng)的兩手指的相對放置,如圖6所示。5.2殼體的相位當(dāng)我們用三個手指組成一多指靈巧手時,設(shè)計的主要任務(wù)是確定這三個手指在手掌中的相對位置,那么根據(jù)最佳工作區(qū)域來確定,牽涉到對應(yīng)的三個區(qū)域相交的問題。一般情況下,三圓柱相交是較復(fù)雜的問題,因為描述三圓柱的相對位置和方位的參數(shù)需要12個,簡單利用“物體求交”的方法,求其三指的最大區(qū)域時,對應(yīng)的三圓柱的相對位置顯得很復(fù)雜,并且計算量很大。因此我們考慮幾種特殊情況。(1)下降后的內(nèi)壓框架若其中兩個圓柱軸線重合,退化為兩手指情況,同圖5的情況;或者三圓柱軸線重合,這時退化成單個手指的情況。若第三個圓柱的中心與前兩個圓柱的中心重合,它傾斜某一角度均將會使重迭區(qū)域減少。第三圓柱與前兩圓柱的軸線夾角α愈小,重合愈多,那么顯然α=0°重合最多,若不讓α=0,可利用附加條件來限制α,可唯一確定第三個手指的位置。(2)以o12為球心、半徑為r為了使第三個圓柱與前兩個重疊圓柱相交的較多;讓第三個圓柱的中心與前兩圓柱的中心O重合,那么,對應(yīng)的第三個手指的基點O3應(yīng)在以O(shè)12為球心、半徑為R=l12的球面上,如圖7所示,按這種方式設(shè)計可得到無窮多種方案,這種相交的重疊體積不等,其中,該圓柱與其中的一個圓柱重合時,相交的體積最大并且等于一個圓柱的體積。如果附加一些條件,如結(jié)構(gòu)限制條件或者考慮運動干涉等條件,就可能唯一地確定其方案,例如,若第三根手指在水平面上,即為圖7情形。(3)核實際的等邊三角形這種情況類似于人手食指和中指的相對位置,那么調(diào)整第三個圓柱,實際上是調(diào)整拇指的位置,如圖8所示。首先要確定其中兩圓柱的相對距離,顯然,在這種情況下圓柱1和2的軸線共面,兩者的相交類似于兩個圓相交,很明顯,兩軸線相距越近,相交的體積越大,若重合,又退化為一個手指的情況。那么,我們考慮一些輔助條件,3R手指的第一指節(jié)(桿)運動平面垂直于軸線,若兩軸相距很近,兩個手指的第一指節(jié)的運動可能發(fā)生干涉,因此,圓柱1和2軸線之間的距離,至少應(yīng)等于或大于l12,由于圓柱的半徑為l12,我們?nèi)≡摼嚯x長度為l0=l12。這樣,圓柱1和2的相交為半圓柱H,這時,讓第三個圓柱的中心與H的中心重合,即為O點,那么,第三個手指的軸線平行于前兩手指的