力的分解問題探究

本講教育信息】教學(xué)內(nèi)容：力的分解問題探究學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、 熟練掌握在力的分解問題中有確定解的幾種情況的討論。2、 掌握在不同的物理情景中求分力的常規(guī)方法和思路。3、 重點(diǎn)掌握力的分解問題的典型問題的處理方法。咼考地位：力的分解問題是本部分內(nèi)容的重點(diǎn)和難點(diǎn)， 力的分解問題和力的合成一樣， 是高中力學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，是解決高中力學(xué)問題的重要工具，在出題形式上，力的分解問題常與日常生活實(shí)際緊密結(jié)合，突出了對(duì)于實(shí)際物理問題的模型抽象能力，如 2002年上海春季高考第36題，把力的分解問題與橋梁的受力特點(diǎn)相結(jié)合，同時(shí)在高考的出題方向上也體現(xiàn)了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析物理問題的能力，主要是考查平行四邊形及三角形定則在力的分解問題中的數(shù)學(xué)應(yīng)用，如 2005年遼寧高考卷第36題、2004年廣東卷第7題，均以選擇題的形式出現(xiàn)的。三?重難點(diǎn)解析：1.力的分解：求一個(gè)已知力的分力叫做力的分解。分解規(guī)律：力的分解是力的合成的逆運(yùn)算，同樣遵守平行四邊形定則，即把已知力作為平行四邊形的對(duì)角線，那么，與已知力共面的平行四邊形的兩條鄰邊就表示已知力的兩個(gè)分力。?2.力的分解的方法根據(jù)力F產(chǎn)生的作用效果，先確定兩個(gè)分力的方向，再根據(jù)平行四邊形定則用作圖法作出兩個(gè)分力 “和I的示意圖，最后根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算出兩個(gè)分力的大小。應(yīng)注意：已知一個(gè)力和它的另一個(gè)分力的方向，則另一個(gè)分力有無數(shù)個(gè)解，且有最小值(兩分力方向垂直時(shí))。?3.分力方向的確定分解的原則：根據(jù)力所產(chǎn)生的效果進(jìn)行分解，一個(gè)力可以分解成無數(shù)對(duì)分力，但對(duì)于一個(gè)確定的物體所受到的力進(jìn)行分解時(shí)，應(yīng)考慮實(shí)際效果，即進(jìn)行有意義分解。?4.力的分解的解題思路力分解問題的關(guān)鍵是根據(jù)力的實(shí)際作用效果，畫出力的平行四邊形，接著就轉(zhuǎn)化為一個(gè)根據(jù)已知邊角關(guān)系求解的幾何問題，因此其解題基本思路可表示為?5.力的分解的幾種情況已知一個(gè)力的大小和方向，求它的兩個(gè)分力。據(jù)平行四邊形定則知，這種情況下可以作出無數(shù)個(gè)符合條件的平行四邊形，即對(duì)一已知力分解，含有無數(shù)個(gè)解，但如果再加以下條件，情況就不一樣了，下面討論：已知兩個(gè)分力的方向時(shí)，有唯一解，如圖所示。已知一個(gè)分力’1的大小和方向，力的分解有唯一解，如圖所示，只能作出一個(gè)平行四邊形。已知兩個(gè)分力的大小，力的分解可能有兩個(gè)解，如圖所示，可作出兩個(gè)平行四邊形。已知一個(gè)分力’1的方向與另一個(gè)分力I的大小，如圖所示，則：當(dāng)時(shí)，有唯一解，如圖甲所示；當(dāng): 時(shí)，無解，如圖乙所示；當(dāng)':| 11時(shí)，存在兩個(gè)解，如圖丙所示；當(dāng)I八時(shí)，存在一個(gè)解，如圖丁所示。

總結(jié)：如圖所示，已知力F的一個(gè)分力沿0A方向，另一個(gè)分力大小為I。我們可以以合力F的末端為圓心，以分力I的長(zhǎng)度為半徑作圓弧，各種情況均可由圖表示出來。?6.求分力的方法（1） 直角三角形法。對(duì)物體進(jìn)行受力分析，對(duì)其中的某力按效果或需要分解，能構(gòu)成直角三角形的，可直接應(yīng)用直角三角形邊、角的三角函數(shù)關(guān)系求解，方便快捷。（2） 正交分解法。以力的作用點(diǎn)為原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系，標(biāo)出 二軸和y軸，如果這時(shí)物體處于平衡狀態(tài)，則兩軸的方向可根據(jù)方便自己選擇。將與坐標(biāo)軸不重合的力分解成x軸方向和y軸方向的兩個(gè)分力，并在圖上標(biāo)明，用符號(hào)，和1表示。在圖上標(biāo)出力與x軸或力與y軸的夾角，然后列出的數(shù)學(xué)表達(dá)式，女口：F與x軸夾角為，則1.一「| ，1］一「：二與兩軸重合的力就不需要分解了。列出x軸方向上的各分力的合力和y軸方向上的各分力的合力的兩個(gè)方程，然后再求解。（3） 相似三角形法。對(duì)物體進(jìn)行受力分析，根據(jù)題意對(duì)其中的某力分解，找出與力的矢量三角形相似的幾何三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系求解。（4） 動(dòng)態(tài)矢量三角形（動(dòng)態(tài)平衡）法。所謂動(dòng)態(tài)平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)，利用圖解法解決此類問題方便快捷?！镜湫屠}】??????問題1:求分力的常規(guī)方法類問題:［考題3］如圖（1）所示，重物的重量為G,輕細(xì)線A0與B0的A、B端是固定的，平衡時(shí)A0是水平的，B0與豎直方向的夾角為7,A0的拉力二，和B0的拉力二：大小是（？?？）(1)??????AFT,=GCO￡??????AFT,=GCO￡^?????????B.%=Gtan5?????????DGcos2解析：選取0點(diǎn)為研究對(duì)象，其受力如圖（2）所示，0點(diǎn)受到三個(gè)力的作用：物體對(duì)0的拉力,大小為G,A0繩子的拉力1,B0繩子的拉力「-；。解法一：重力G的作用效果是拉緊兩根繩子，拉繩子的力應(yīng)該沿著繩子方向，如圖（ 3）所示，將重力G沿兩根繩子的方向分解為 ［和二，在直角三角形中，由幾何知識(shí)得： 1一''；|■,G2二G/ 。（3）由于重物靜止，任何方向的合力均為零，所以有 打一」1一1-日皿，,解法二：把拉力門：的作用效果看作是豎直向上平衡重力和水平向右拉繩子的，如圖（ 4）所示，可將丨沿水平和豎直兩個(gè)方向分解為二：和二.，由幾何知識(shí)得〉 ?V 二門處（4）

解法三：如把1的作用效果看作是沿豎直向上方向提物體和斜向下方向拉緊另一細(xì)繩， 則可按照如圖（5）所示的那樣把「「分解為〉和。（5）現(xiàn)根據(jù)小球處于靜止?fàn)顟B(tài)，所受的合力為零的條件，利用直角三角形的知識(shí)，都可以解得FT|=Gtan0Ft^=G/cosfi。答案：B、D。變式1：（2004年廣東高考）7.用三根輕繩將質(zhì)量為 m的物塊懸掛在空中，如圖所示.已知ac和be與豎直方向的夾角分別為 和…■，貝Uae繩和be繩中的拉力分別為：A.??????????????????????????????????????????????R.二： ？?A.C?二4I* 2變式2、如圖，用繩AC和C?二4I* 2變式2、如圖，用繩AC和BC吊起一個(gè)物體，它們與水平方向的夾角分別為 」和『，若AC繩能承受的最大拉力為100N，BC繩能承受的最大拉力為150N，則要使兩條繩都不斷，物體的重力不應(yīng)超過多少？200^3答案：重力G不能超過—■—No變式3、（2003年全國(guó)理綜第19題）［考題2］如圖所示，一個(gè)半球形碗放在桌面上，碗口水平， O點(diǎn)為其球心，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的，一根細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有質(zhì)量為 的小球，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，質(zhì)量為■1的小球與O點(diǎn)的連線與水平方向的夾角 1rT'，則兩球的質(zhì)量比為（???）爲(wèi) 罷 爲(wèi)??????A3???????????????????????B3???????????????????????C2???????????????????????D答案：A問題2:用圖解法分析力的分解中的動(dòng)態(tài)變化問題：［考題6］如圖（1）所示，用水平細(xì)繩將電燈拉到圖中位置，若保持燈的位置不變，將細(xì)繩由水平順時(shí)針轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，細(xì)繩和電線所受的拉力將如何變化。（1）??????解析：解法一：利用力的分解知識(shí)，取 O點(diǎn)為研究對(duì)象，其所受重力產(chǎn)生兩個(gè)效果，即分別拉伸OA、OB兩繩，可將重力沿此兩個(gè)方向的反方向分解，在后面的變化過程中仍按此兩個(gè)效果分解，分解如圖（2）（甲）所示，由圖可知，繩的拉力1先減小后增大，電線拉力〉一直減小。甲?? （2）???乙解法二：利用力的合成知識(shí)，取O點(diǎn)為研究對(duì)象，O點(diǎn)受三個(gè)力作用，如圖（2）（乙）所示，由共點(diǎn)力平衡條件知，三個(gè)力合力為零，所以將＞、‘1」合成，其合力_■與G等值反向，作出動(dòng)態(tài)分析，由于無論〉、：1」如何變化，G'不變，所以由圖可知，細(xì)繩拉力先減小后增大，電線拉力一直減小。答案：繩的拉力先減小后增大，電線的拉力一直減小。變式：

［例4］如圖所示，質(zhì)量為m的球放在傾角為己的光滑斜面上，試分析擋板AO與斜面間的傾角多大時(shí)，AO所受壓力最小。解析：雖然題目是擋板AO的受力情況，但若直接以擋板為研究對(duì)象，因擋板所受力均為未知，將無法得出結(jié)論。以球?yàn)檠芯繉?duì)象，球所受重力 mg產(chǎn)生的效果有兩個(gè)：對(duì)擋板產(chǎn)生壓力 ，其大小等于I，對(duì)斜面產(chǎn)生壓力二；，其大小等于’1,根據(jù)重力產(chǎn)生的效果將重力分解，如圖所示。當(dāng)擋板與斜面的夾角 ，由圖示位置變化時(shí)，q（二；）大小改變，但方向不變，始終垂直斜面；\（二1）的大小、方向均變化，是先減小，后增大，當(dāng)’1和I垂直時(shí)，即a時(shí)，擋板OA所受壓力最小—■-■"■■■o問題3:有附加條件的力的分解問題:［考題5］已知力F的一個(gè)分力為’1跟F成」角，大小未知，另一個(gè)分力 I大小是丁F，方向未知，則J的大小可能是（？?？）??????a.Tip?3??????????????????b.JJf/2??????????????????C.「 ????????????????D解析：如圖所示，先畫一條有向線段AB表示力F,過F的始端A畫一條與AB成角的射線（是，在CB兩邊對(duì)稱地作兩線段DB和EB，使其大小均CB=I 迥F）在直角三角形△EBC中，因 一，，在CB兩邊對(duì)稱地作兩線段DB和EB，使其大小均CB=I 迥F）在直角三角形△EBC中，因 一，EB=匚,利用直角三角形可知E為直角三角形△ADB的斜邊迺F更F，也可能是3 ，本題選項(xiàng)A、C正則由直角三角形厶ABC可知，CB的大小為-迺F —為匚（因?yàn)樨我?，所以這兩條線可以畫出來。/CBE=/ABE=」：I；',故厶ABD為直角三角形，AE=—F2歷卩AD的中點(diǎn)， 」，AD=匚，即’1的大小可能是匚確。答案：A、C變式：?5.將力F分解為J和I兩個(gè)分力，若已知F的大小及F和I間的夾角「，且「為銳角，貝U當(dāng)\和I大小相等時(shí)，F(xiàn)i的大小為 ；而當(dāng)Fi為最小值時(shí)，的大小為 。Feos5答案：2cosd解析：由’1、1合成F的平行四邊形分析可得?！灸M試題】?1.若物體在斜面上保持靜止?fàn)顟B(tài)，則下列說法正確的是（ ？?？）??????A.重力可分解為沿斜面向下的力和對(duì)斜面的壓力重力沿斜面向下的分力與斜面對(duì)物體的靜摩擦力是一對(duì)平衡力物體對(duì)斜面的壓力與斜面對(duì)物體的支持力是一對(duì)平衡力重力垂直于斜面方向的分力與斜面對(duì)物體的支持力是一對(duì)平衡力?2.把一個(gè)力分解為兩個(gè)分力，下列說法正確的是（ ？?？）??????A.一個(gè)分力變大時(shí)，另一個(gè)分力不能同時(shí)也變大兩個(gè)分力可同時(shí)變大，也可以同時(shí)變小無論怎樣分解，兩個(gè)分力不能同時(shí)小于這個(gè)力的一半無論如何分解，兩個(gè)分力不能同時(shí)大于這個(gè)力的兩倍?3.一光滑均勻小球用細(xì)繩拴住懸掛靠在光滑的豎直墻上，小球受到三個(gè)力作用，重力 G,繩的拉力F，墻對(duì)球的支持力，如圖所示，對(duì)于這三個(gè)力，根據(jù)作用效果進(jìn)行分解，下列說法正確的是（ ？?？）??????A.G可沿F和］【兩個(gè)力的反方向進(jìn)行分解F可沿G和】■［兩個(gè)力的反方向進(jìn)行分解:.可沿G和F兩個(gè)力的方向進(jìn)行分解以上三種分解方法均可以?4.物體靜止于光滑水平面上，力 F作用于物體上的0點(diǎn)，現(xiàn)要使合力沿著00'方向，如圖所示，則必須同時(shí)再加一個(gè)力F',如F和F'均在同一水平面上，則這個(gè)力的最小值為（ ？？）??????AFcosfl?????????????????BFsin^???????????????????CFtanfl??????????????????D.Fcotfl?5.生活中的物理知識(shí)無處不在，如圖是我們衣服上的拉鏈的一部分，在把拉鏈拉開的時(shí)候，我們可以看到有一個(gè)三角形的東西在兩鏈中間運(yùn)動(dòng)，使很難直接分開的拉鏈很容易地拉開，關(guān)于其中的物理原理以下說法正確的是??????A.在拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體增大了分開兩拉鏈的力拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體只是為了將拉鏈分開并沒有增大拉力拉開拉鏈時(shí)，三角形的物體增大了分開拉鏈的力，但合上拉鏈時(shí)減小了合上的力以上說法都不正確?6.水平地面上的物體受重力 G和水平作用力F保持靜止，如圖所示，現(xiàn)在使作用力 F保持大小不變，TOC\o"1-5"\h\z方向沿逆時(shí)針方向緩緩轉(zhuǎn)過 「丨，而物體始終保持靜止，則在這個(gè)過程中，物體對(duì)地面的正壓力 ：.和地面給物體的摩擦力1的變化情況是（？?？）??????A.不變？??????????????????????????????????????????????????切先變小后變大C.FN先變小后變大？?????????????????????????????????????^D.先變大后變小?7.如圖所示，質(zhì)量為m的物體在恒力F作用下沿天花板上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體與天花板間動(dòng)摩擦因數(shù)為，則物體受到摩擦力的大小為（ ？?？）??????a.Fsin9?????????????????????????????????????????????????????bs8????????????????????????????????????????D.-- -「?8.三段不可伸長(zhǎng)的0A,OB,0C能承受的最大拉力相同，它們共同懸掛一重物，如圖所示，其中 0B是水平的，A端B端固定，若逐漸增加C端所掛物體的質(zhì)量，則最先斷的繩（ ？?？）??????A.必定是0A???????????????????????????????????????????????泌定是0BC.必定是0C???????????????????????????????????????????????可能是0B，也可能是0C?9.如圖所示，光滑小球被豎直擋板擋住而靜止于斜面上，小球重力為 G,斜面傾角為U,求小球?qū)π泵娴膲毫?和小球?qū)醢宓膲毫??！驹囶}答案】?1.B、D（如下圖所示，物體對(duì)斜面的壓力作用在斜面上，所以 A錯(cuò)；物體對(duì)斜面的壓力和斜面對(duì)物體的支持力是一對(duì)相互作用力，所以 C錯(cuò)。）?2.B、C（力的分解與力的合成都遵守平行四邊形定則，顯然也是都遵守矢量三角形定則，即合力與它的兩個(gè)分力形成矢量三角形，依據(jù)三角形的三邊關(guān)系，以及力的合成特點(diǎn)可知:然J、［可以同時(shí)增大，也可以同時(shí)減小，故A選項(xiàng)不對(duì)，B選項(xiàng)正確，如果兩分力同時(shí)小于此力一半，則當(dāng)"和［同向時(shí)，冷C，這不可能，故C正確。如果兩分力同時(shí)大于此力的 2倍，但并不能打破|Fl-FJ<F<F1+F3的關(guān)系，故也有可能，所以 D不對(duì)，所以，本題的正確選項(xiàng)應(yīng)為 B、C）。?3.A、B（A選項(xiàng)，重力可產(chǎn)生兩個(gè)效果：拉緊懸繩和壓緊墻壁， B選項(xiàng)，拉力F可產(chǎn)生兩個(gè)作用效果；豎直方向提住小球，水平向左拉住小球，使球不離開豎直墻壁。 C選項(xiàng)，］［水平向右，不可能沿F和G的方向分解。）?4.B（如下圖所示，F(xiàn)'平衡力F垂直于00'的分力。）?5.A（此題結(jié)合生活的實(shí)際問題考查力的分解，在拉開拉鏈的時(shí)候，三角形的物體在兩鏈間和拉鏈一起運(yùn)動(dòng)，手的拉力在三角形的物體上產(chǎn)生了兩個(gè)分力，如圖所示，分力大于手的拉力，所以很難直接分開的拉鏈很容易地被三角形物體分開，因此應(yīng)選 A。）?6.B、C（如下圖，先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，利用正交分解可得，［:門■--'■?？傻?，一由正弦和余弦函數(shù)在「的變化規(guī)律就能夠確定選項(xiàng) b、c是正確的。