蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué) 1-5 電磁場(chǎng)邊值關(guān)系

麥克斯韋方程組可以應(yīng)用于任何連續(xù)介質(zhì)內(nèi)部。在兩介質(zhì)分界面上，由于一般出現(xiàn)面電荷、面電流分布，使物理量發(fā)生躍變，微分形式的麥克斯韋方程組不再適用。因此，我們要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)以及界面上電荷電流的關(guān)系。第五節(jié)電磁場(chǎng)邊值關(guān)系蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系邊值關(guān)系是描述兩側(cè)場(chǎng)量與界面上電荷電流的關(guān)系。由于場(chǎng)量躍變的原因是面電荷、電流激發(fā)附加的電磁場(chǎng)，而積分形式的麥?zhǔn)戏匠炭梢詰?yīng)用于任意不連續(xù)分布的電荷電流所激發(fā)的場(chǎng)，因此，在兩介質(zhì)分界面上，應(yīng)該用麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式求解電磁場(chǎng)。邊值關(guān)系就是兩介質(zhì)分界面上經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)以后的麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式。下面我們分別求出場(chǎng)量的法向分量和切向分量的躍變。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系麥?zhǔn)戏匠探M的積分形式為：(1)(2)(3)(4)我們先從最簡(jiǎn)單的開(kāi)始。在分界面上化簡(jiǎn)蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系當(dāng)柱體的厚度趨于零時(shí),對(duì)側(cè)面的積分趨于零,對(duì)上下底面積分得(B2n?B1n)?S=0。1.關(guān)于磁感強(qiáng)度的邊值關(guān)系：將方程應(yīng)用到兩介質(zhì)B2n=B1n或矢量形式：n·(B2-B1)=0此式表示界面兩側(cè)B的法向分量連續(xù)。由此得到：分界面上的一個(gè)扁平狀柱體表面。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系質(zhì)邊界上的一個(gè)扁平狀柱體表面。上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面。當(dāng)柱體的厚度趨于零時(shí),對(duì)側(cè)面的積分趨于零,對(duì)上下底面積分得(D2n?D1n)?S。2.關(guān)于電位移的邊值關(guān)系：將方程應(yīng)用到兩介(D2n?D1n)?S=σf?S

即D2n?D1n=σf

n·(D2-D1)=σf或矢量形式：由此得到：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系為了弄清楚邊界條件的物理意義，我們先把總電場(chǎng)的麥?zhǔn)戏匠?上式左邊的面積分遍及柱體的上下底和側(cè)面,Qf和Qp分別為柱體內(nèi)的總自由電荷和總束縛電荷,它們等于相應(yīng)的電荷面密度σf和σp乘以底面積?S。當(dāng)柱體的厚度趨于零時(shí),對(duì)側(cè)應(yīng)用到兩介質(zhì)邊界上的一個(gè)扁平狀柱體。面的積分趨于零,對(duì)上下底面積分得ε0(E2n?E1n)?S

。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系如右圖:通過(guò)薄層右側(cè)面進(jìn)入介質(zhì)2的正電荷為:-P2·dS，由介質(zhì)1通過(guò)薄層左側(cè)進(jìn)入薄層的正電荷為P1·dS，因此，薄層內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷為?(P2?P1)?dS，以σP表示束縛電荷面密度，有ε0(E2n?E1n)?S=Qf+Qpε0(E2n?E1n)=σf+σp

由此，n為分界面上由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系由此看出，極化矢量的躍變與束縛電荷面密度相關(guān)，Dn的躍變與自由電荷面密度相關(guān)，En的躍變與總電荷面密度相關(guān)。與ε0(E2n?E1n)=σf+σp

相加，將利用得：由上面的推導(dǎo)我們可以看清楚自由電荷和面束縛電荷在邊值關(guān)系中所起的作用。由于在通常情況下只給出自由電荷，因而實(shí)際上主要應(yīng)用關(guān)于Dn的邊值關(guān)系式。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系面電荷分布使界面兩側(cè)電場(chǎng)法向分量發(fā)生躍變，我們可以證明面電流分布使界面兩側(cè)磁場(chǎng)切向面電流分布:面電流實(shí)際上是在靠近表面的相當(dāng)多分子層內(nèi)電流的平均宏觀效應(yīng)。3.關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系：分量生躍變。我們先說(shuō)明表面電流分布的概念。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系圖示為界面的一部分，其上有面電流，其線密度為α，?l為橫截線，垂直流過(guò)?l段的電流為:?I=α?l關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系：旁取一狹長(zhǎng)形回路，回路的一長(zhǎng)邊在介質(zhì)1中，另一長(zhǎng)邊在介質(zhì)2中。長(zhǎng)邊?l與面電流α正交。定義電流線密度α，其大小等于垂直通過(guò)單位橫截線的電流。由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁如圖，在界面兩場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生躍變。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系在狹長(zhǎng)形回路上應(yīng)用麥?zhǔn)戏匠蹋喝』芈飞舷逻吷钊氲阶銐蚨喾肿訉觾?nèi)部，使面電流完全通過(guò)回路內(nèi)部。其中t表示沿?l的切向分量。If=αf?l由于回路所圍面積趨于零，而?D/?t為有限量，因而從宏觀來(lái)說(shuō)回路短邊的長(zhǎng)度仍可看作趨于零，因而有通過(guò)回路內(nèi)的總自由電流為蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系把這些式子代入得:上式可以用矢量形式表示。設(shè)?l為界面上任一線元，t為?l方向上的單位矢量。流過(guò)?l的自由電流為對(duì)于狹長(zhǎng)形回路，應(yīng)用得蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系由于?l為界面上任一矢量，因此上式再用n叉乘注意到這就是磁場(chǎng)切向分量的邊值關(guān)系。得到式中//表示投射到界面上的矢量。蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系4.關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度的邊值關(guān)系：即E2t?E1t=0同理，應(yīng)用可得電場(chǎng)切向分量的邊值關(guān)系。此式表示界面兩側(cè)E的切向分量連續(xù)。對(duì)應(yīng)的矢量形式為：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系以后在公式中出現(xiàn)的σ和α,除特別聲明者外，都代表自由電荷面密度和自由電荷線密度，不再寫出角標(biāo)f。這組方程和麥?zhǔn)戏匠谭e分式一一對(duì)應(yīng)。邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場(chǎng)以及界面上電荷電流的制約關(guān)系，它們實(shí)質(zhì)上是邊界上的場(chǎng)方程?；蚩偫ㄎ覀兊玫降倪呏店P(guān)系為：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-5電磁場(chǎng)邊值關(guān)系同樣，把邊值關(guān)系應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得無(wú)窮大平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)(如圖)，極板上面電荷密度±σf，求電場(chǎng)和束縛電荷分布。例:解:由對(duì)稱性可知，電場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把邊值關(guān)系應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得由此可得：束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處,σf=0，由ε0(E2n?E1n)=σf+σp得：蘭州大學(xué)姜孟瑞電動(dòng)力學(xué)1-