全等三角形習(xí)題集選含答案解析

..經(jīng)典三角形證明題選講〔含答案〕三角形輔助線做法線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)1.：AB=4，AC=2，D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求ADAADBC1.證明：延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD,那么△ADC≌△EBD∴BE=AC=2在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE，∴10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整數(shù),那么AD=5思路點(diǎn)撥：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。2.：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：∠1=∠2ABCDEFABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△EDF(邊角邊).∴BF=EF,∠CBF=∠DEF.連接BE.在△BEF中,BF=EF，∴∠EBF=∠BEF又∵∠ABC=∠AED，∴∠ABE=∠AEB.∴AB=AE在△ABF和△AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF.∴△ABF≌△AEF∴∠1=∠2.思路點(diǎn)撥：解答此題的關(guān)鍵是能夠想到證明AB=AE,而AB、AE在同一個(gè)△ABE中，可利用∠ABE=∠AEB來(lái)證明.同一三角形中線段等，可用等角對(duì)等邊BACDF21E3.：∠1=∠BACDF21E證明：過(guò)E點(diǎn)，作EG//AC，交AD延長(zhǎng)線于G那么∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE∴△ADC≌△GDE〔AAS〕∴EG=AC∵EF∥AB∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE∴EF=EG∴EF=AC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。4.：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠C證明：延長(zhǎng)AC到E使CE=CD，連接ED，那么∠CDE=∠E∵AB=AC+CD∴AB=AC+CE=AE又∵∠BAD=∠EAD，AD=AD∴△BAD≌△EAD∴∠B=∠E∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠ACB=2∠B方法二在AC上截取AE=AB，連接ED∵AD平分∠BAC∴∠EAD=∠BAD又∵AE=AB，AD=AD∴⊿AED≌⊿ABD〔SAS〕∴∠AED=∠B，DE=DB∵AC=AB+BD，AC=AE+CE∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C∴∠B=2∠C思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短5.：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE證明：過(guò)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于F.在△CFA和△CEA中∴∠CFA＝∠CEA＝90°又∵∠CAF＝∠CAE，AC=AC∴△CFA≌△CEA，∴AE＝AF＝AD＋DF，CE=CF∵∠B＋∠ADC＝180°，∠FDC＋∠ADC＝180°∴∠B＝∠FDCE在△CEB和△CFD中，CE=CF,∠CEB＝∠CFD＝90°,∠B＝∠FDCE∴△CEB≌△CFD∴BE＝DF∴AE＝AD＋BE思路點(diǎn)撥：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)6.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC。證明:在BC上截取BF=BA,連接EF.∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴⊿ABE≌ΔFBE(SAS),∠EFB=∠A;∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°;又∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D;又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE(AAS),FC=CD.∴BC=BF+FC=AB+CD.思路點(diǎn)撥：線段等于線段和，理應(yīng)截長(zhǎng)或補(bǔ)短法二：延長(zhǎng)BE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，易證BC=FC=FD+DC又∵∠BCE=∠FCE∴BE=FE;易證⊿ABE≌ΔDFE∴AB=FD∴BC=AB+DC法三：易證∠BEC=90°,取BC中點(diǎn)F，連接EF,那么；∴∠FEB=∠FBE=∠ABE∴AB∥EF同理DC∥EF又∵F為BC中點(diǎn)∴E為BC中點(diǎn)∴∴BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：三角形兩邊有中點(diǎn)，連接可得中位線。梯形一腰有中點(diǎn)，亦可嘗試中位線法四：過(guò)E作EF//AB交BC于點(diǎn)F,那么∠FEB=∠ABE=∠FBE∴EF=BF,同理EF=CF,∴BF=CF,EF=又∵EF//AB//DC∴AE=ED∴∴BC=AB+DC思路點(diǎn)撥：角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求證：∠F=∠CDDCBAFE證明：連接BE∵AB∥ED,∴∠ABE=∠DEB又∵∠EAB=∠BDE,BE=EB∴△ABE≌△DEB，∴AE=DB又∵AF=CD,EF=BC∴△AFE≌△DCB，∴∠C=∠F8．如圖，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求證：AD⊥BC．證明：延長(zhǎng)AD至H交BC于H;∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB∵∠1=∠2，∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;即∠ABC=∠ACB，∴AB=AC∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD∴AD⊥BC思路點(diǎn)撥：中線、垂線、角平分線，三線合一試試看。9．如圖，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N．求證：∠OAB=∠OBA證明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ∴MA=MB∴∠MAB=∠MBA∵∠OAM=∠OBM=90度∴∠OAB=90-∠MAB，∠OBA=90-∠MBA∴∠OAB=∠OBA思路點(diǎn)撥：同一三角形中角相等，可用等邊對(duì)等角10：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點(diǎn)，求證：AF⊥CDAABCDEF證明：同2先證出AB=AE,然后連接AC、AD,再證明△ABC≌△AED，從而AC=AD,又∵F是CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD11.如圖，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，求證：BD=DC．證明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB又∵∠1=∠2∴∠DBC=∠DCB∴BD=DC．12〔改編〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠ADC，求證：BD=DC．提示：將△ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC得△AEC，連接DE,可證出∠CDE=∠CED從而CD=CE=BD思路點(diǎn)撥：當(dāng)題中出現(xiàn)等腰三角形時(shí)，可以考慮用旋轉(zhuǎn)的方法翻開(kāi)思路，添加輔助線。特別是題中有正方形、等邊三角形、等腰直角三角形時(shí)，更是如此13．如圖①，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，假設(shè)AB=CD，AF=CE，BD交AC于點(diǎn)M．〔1〕求證：MB=MD，ME=MF〔2〕當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖②的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？假設(shè)成立請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．〔1〕證明：連接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴MB=MD，ME=MF；〔2〕解：上述結(jié)論仍然成立證明如下：連接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴DE=BF．∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴MB=MD，ME=MF．此題也可以用證明兩次三角形全等的方法14．：如圖，DC∥AB，且DC=AE，E為AB的中點(diǎn)，〔1〕求證：△AED≌△EBC．〔2〕觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除△EBC外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)與△AED的面積相等的三角形．〔直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求證明〕：(1)證明：∵DC∥AE，且DC=AE，∴四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。由AE=BE，∴△AED≌△EBC?！?〕解：△AEC、△ACD、△ECD都與△AED面積相等。15．如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．求證：BD=2CE．證明：∵BE⊥CE∴∠BEF=∠BEC=90°在△BEF和△BEC中∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC∴△BEF≌△BEC(ASA)∴EF=EC∴CF=2CE∵∠ABD+∠F=90°,∠ACF+∠F=90°∴∠ABD=∠ACF在△ABD和△ACF中∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∴BD=2CE思路點(diǎn)撥：如何發(fā)現(xiàn)哪兩個(gè)三角形全等？可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)來(lái)發(fā)現(xiàn)16、如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：∵BE∥CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中線.17、AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證：BF=CF證明：在△ABD與△ACD中AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD∴∠BDF=∠FDC在△ABF與△ACF中AB=AC,∠BAD=∠CAD,AF=AF△ABF≌△ACF,∴BF=CF此題也可利用線段的垂直平分線定理來(lái)證，該證法更簡(jiǎn)潔18、如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。證明：∵AB=DCAE=DFCE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE≌△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE∴△ABF≌△CDE∴AF=DE此題亦可用平行四邊形的知識(shí)來(lái)證明19..公園里有一條"Z〞字形道路ABCD，如下圖，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：∵AB平行CD〔〕∴∠B=∠C〔兩直線平行，錯(cuò)角相等〕∵M(jìn)在BC的中點(diǎn)〔〕∴BM=CM〔中點(diǎn)定義〕在△BME和△CMF中BE=CF〔〕∠B=∠C〔已證〕BM=CM〔已證〕∴△BME≌△CMF〔SAS〕∴∠EMB=∠FMC〔全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等〕∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°〔等式的性質(zhì)〕∴E，M，F(xiàn)在同一直線上思路點(diǎn)撥：要證明E、M、F三點(diǎn)在同一條直線上，只需證明∠EMF=180°20．：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．證明：∵AF=CE∴AF+EF=CE+EF∴AE=CF∵BE//DF∴∠BEA=∠DFC又∵BE=DF∴△ABE≌△CDF〔SAS〕21．：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點(diǎn)F，ACBDEFACBDEF證明：連接BC∵AB=AC，∴∠EBC=∠DCB∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEC=∠CDB∵BC=CB(公共邊)∴△EBC≌△DCB∴BE＝CD也可證△CEA≌△BDA，從而AE=AD,又AB=AC，∴AB-AE=AC-AD，∴BE＝CD22.：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．假設(shè)AB=5,DCBADCBAE解：∵∠C=∠E=90度∠B=∠EAD=90度-∠BACBC=AE∴△ABC≌△DAE∴AD=AB=523．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明∵AB=AC,∴∠B=∠C∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC∴∠MEB=∠MFC=90°又∵M(jìn)E=MF，∴△BEM≌△CFM∴MB=MC24．在△ABC中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于，于.(1)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①≌②；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，〔1〕中的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，請(qǐng)給出證明；假設(shè)不成立，說(shuō)明理由.〔1〕①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．〔2〕∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE25．如下圖，AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：〔1〕EC=BF；〔2〕EC⊥BFAAEBMCF〔1〕∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC〔SAS〕，∴EC=BF；〔2〕如圖，根據(jù)〔1〕，△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM〔對(duì)頂角相等〕，∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．26．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，=AB。求證：〔1〕AM=AN；〔2〕AM⊥AN。證明：〔1〕∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠A+∠BAC=90°∴∠ABM=∠A∵BM=AC，=AB∴△ABM≌△NCA∴AM=AN〔2〕∵△ABM≌△NAC，∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN也可先證明△BFM≌△CFA得BF=CF,FM=FA又∵=AB∴AB-BF=-CF∴FA=FN,∴FM=FA=FN,又∵∠AFM=∠AFN=90°∴AM=AN,∠3=∠4=45°∴AM⊥AN27．如圖,∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF證明：在△ABF和△CDE中,AB=DE，∠A=∠D，AF=CD∴△ABF≡△CDE〔邊角邊〕，∴FB=CE在四邊形BCEF中，F(xiàn)B=CE，BC=EF∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴BC‖EF29、如圖,:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：∵AD是△ABC的中線∴BD=CD∵DF=DE〔〕，∠BDE=∠FDC∴△BDE≌△FDC∴∠EBD=∠FCD∴BE∥CF〔錯(cuò)角相等，兩直線平行〕28、：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．ADECADECBF證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC=∠BFA=90°，在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA，∴∠C=∠A，∴AB∥CD．AACEDB29、如圖，AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，試猜測(cè)線段CE與DE的大小與位置關(guān)系，并證明30、如圖，AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求證：AE＝DE.AABECD證明：∵AB=DC,AC=DB，BC=BC∴△ABC≌△DCB，∴∠ABC=∠DCB又∵BE=CE，AB=DC∴△ABE≌△DCE∴AE=DEABCDEF圖9*31如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，過(guò)C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)FABCDEF圖9證明：作CG平分∠ACB交AD于G∵∠ACB=90°∴∠ACG=∠DCG=45°∵∠ACB=90°AC=BC∴∠B=∠BAC=45°∴∠B=∠DCG=∠ACG∵CF⊥AD∴∠ACF+∠DCF=90°∵∠ACF+∠CAF=90°∴∠CAF=∠DCF∵AC=CB∠ACG=∠B∴△ACG≌△CBE∴CG=BE∵∠DCG=∠BCD=BD∴△CDG≌△BDE∴∠ADC=∠BDE32、：D是AB中點(diǎn)，∠ACB=90°，求證：DABC延長(zhǎng)CD與P，使D為DABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為平行四邊形又∠ACB=90∴平行四邊形ACBP為矩形∴AB=CP=1/2AB

33.：AB=CD，∠A=∠D，求證：∠B=∠CAABCD證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于E，〔當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)〕。那么：△AED是等腰三角形?！郃E=DE而AB=CD∴BE=CE(等量加等量，或等量減等量〕∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.34.P是∠BAC平分線AD上一點(diǎn)，AC>AB，求證：PC-PB<AC-ABPPDACB在AC上取點(diǎn)E，使AE＝AB?！逜E＝AB

AP＝AP

∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP

∴PE＝PB。PC＜EC＋PE

∴PC＜〔AC－AE〕＋PB

∴PC－PB＜AC－AB。35.∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求證：AC-AB=2BE證明：在AC上取一點(diǎn)D，使得角DBC=角C

∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

∴AB=AD

∴AC–AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分線，∴AE垂直BD

∵BE⊥AE

∴點(diǎn)E一定在直線BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴點(diǎn)E也是BD的中點(diǎn)∴BD=2BE

∵BD=CD=AC-AB

∴AC-AB=2BE36.，E是AB中點(diǎn)，AF=BD，BD=5，AC=7，求DCFAEDCB∵作AG∥BD交DE延長(zhǎng)線于G

∴AGE全等BDE

∴AG=BD=5∴FAEDCB37.〔7分〕如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E，直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F．求證：BD=2CE．證明：∵∠CEB=∠CAB=90°∴ABCE四點(diǎn)共元∵∠ABE=∠CBE∴AE=CE∴∠ECA=∠EAC取線段BD的中點(diǎn)G，連接AG，那么：AG=BG=DG∴∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA(同弧上的圓周角相等〕∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE

38、如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。證明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC〔SAS〕39、〔10分〕如圖：AE、BC交于點(diǎn)M，F(xiàn)點(diǎn)在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中線.40.：如下圖，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE＝AF。DDBCcAFE連接BD；∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；∵BC=DCE\F是中點(diǎn)∴DE=BF；∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。41．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．證明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC〔兩角加一邊〕∵AB=A