2022-2023學(xué)年河北省承德市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省承德市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員24人，女運(yùn)動(dòng)員18人，按照性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從該田徑隊(duì)中抽取了男運(yùn)動(dòng)員8人，則女運(yùn)動(dòng)員被抽取的人數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取原則，按比例計(jì)算即可；【詳解】由題意得，女運(yùn)動(dòng)員被抽取的人數(shù)為.故選：C2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．故選：B3．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用正弦定理求解即可.【詳解】由正弦定理，得.故選：A.4．下列說法正確的是（

）A．空間中過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線垂直B．空間中過直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行C．空間中過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面垂直D．空間中過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行【答案】D【分析】利用空間的平行和垂直關(guān)系對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】過直線外一點(diǎn)，有無數(shù)條直線與這條直線垂直，A錯(cuò)誤；過直線外一點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，B錯(cuò)誤；過平面外一點(diǎn)，有無數(shù)個(gè)平面與這個(gè)平面垂直，C錯(cuò)誤；過平面外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這個(gè)平面平行，D正確.故選：D.5．小紅父親生日即將來臨，小紅給父親準(zhǔn)備了生日禮物，并制作了一個(gè)愛心禮盒，如圖1所示，該禮盒可以近似看作由兩個(gè)半圓柱和一個(gè)正四棱柱組合而成，該禮盒的底面如圖2所示，若，禮盒的高度為，忽略禮盒的厚度，則愛心禮盒的容積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱和棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得半圓柱的底面半徑為，則該愛心禮盒的容積為.故選：C.6．（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式，結(jié)合切化弦，原式可化為，再利用二倍角公式與兩角差的正弦公式可得答案.【詳解】.故選：B.7．在直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，則異面直線與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)至，使得，延長(zhǎng)至，使得，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，連接，設(shè)，求出三邊邊長(zhǎng)，分析的形狀，可得結(jié)果.【詳解】如圖，延長(zhǎng)至，使得，延長(zhǎng)至，使得，連接，

因?yàn)榍?，所以，四邊形是平行四邊形，所以，則異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，連接，設(shè)，因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，，所以，，同理可得，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，且，則，所以，，所以，為等邊三角形，故，因此，直線與的夾角為.故選：C.8．如圖，為了測(cè)量古塔的高度，選取了與該塔底在同一平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，現(xiàn)測(cè)得，在點(diǎn)測(cè)得古塔頂端的仰角為，在點(diǎn)測(cè)得古塔頂端的仰角為，則古塔的高度（

）（參考數(shù)據(jù)：?。?/p>

A． B． C． D．【答案】C【分析】先分別將用表示，再在中，利用余弦定理即可得解.【詳解】由題意得，則在和中，，在中，由余弦定理得，即，解得.故選：C.二、多選題9．甘肅省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重圖如圖所示，則（

）

A．甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的極差為B．甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的中位數(shù)為C．甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的第三四分位數(shù)為D．甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的平均數(shù)大于【答案】BC【分析】根據(jù)極差判斷A，根據(jù)中位數(shù)的定義判斷B，根據(jù)第三四分位數(shù)計(jì)算法則判斷C，計(jì)算平均數(shù)判斷D.【詳解】甘肅省這7年歷次人口普查城鎮(zhèn)人口比重的極差為，A錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)從小到大排列依次為，，，，，，，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，B正確；因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為，C正確；平均數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：BC10．將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．在上單調(diào)遞增【答案】BC【分析】根據(jù)圖象變換規(guī)律，得到的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一驗(yàn)證選項(xiàng)即可.【詳解】由題意得，所以的最小正周期為，錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，正確.因?yàn)椋?，所以在上先減后增，錯(cuò)誤.故選：11．如圖，均為等腰直角三角形，在線段上，，在扇形中，為的中點(diǎn)，為上一動(dòng)點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．向量在向量上的投影向量為B．向量在向量上的投影向量與向量在向量上的投影向量相等C．當(dāng)?shù)奈恢霉潭?，在線段上移動(dòng)時(shí)，為定值D．當(dāng)?shù)奈恢霉潭ǎ谏弦苿?dòng)時(shí)，為定值【答案】ABC【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義、投影向量的定義及幾何圖形一一判斷即可.【詳解】由題意得，則，所以與同向，又在上的投影向量為，所以在上的投影向量為，故A正確.如圖，過作，垂足為，與同向，在上的投影向量均為，故B正確.因?yàn)?，?dāng)?shù)奈恢霉潭?，在線段上移動(dòng)時(shí)，是定值，所以是定值，故C正確.當(dāng)?shù)奈恢霉潭ǎ谏弦苿?dòng)時(shí)，不是定值，所以不是定值，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC12．拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用b表示白色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，該試驗(yàn)的樣本空間為，記事件“關(guān)于的方程無實(shí)根”，事件”，事件“”，事件“20”，則（

）A．與互斥 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】先用列舉法寫出一次試驗(yàn)的基本事件上，再根據(jù)條件寫出事件包含的基本事即可判斷出選項(xiàng)A和B的正誤；再利用古典概率公式和事件相互獨(dú)立的判斷方法逐一對(duì)選項(xiàng)C和D分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由題意得，，，包含36個(gè)樣本點(diǎn).由，得，所以，，，，共包含30個(gè)樣本點(diǎn)，，，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，與不互斥，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；又，，共包含18個(gè)樣本點(diǎn)，，共包含6個(gè)樣本點(diǎn)，所以與對(duì)立，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，因?yàn)椋?，故與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，故與相互獨(dú)立，故選項(xiàng)正確.故選：BCD.三、填空題13．若向量，且，則.【答案】5【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，列式計(jì)算，即得答案.【詳解】由題意，得，即，故答案為：514．若復(fù)數(shù)均為純虛數(shù)，則.【答案】【分析】設(shè)后，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算后，根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】設(shè)，則，所以得，即.故答案為：.15．九宮格數(shù)獨(dú)游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個(gè)小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個(gè)小格子中填上1至9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個(gè)小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，這5個(gè)數(shù)字未知，且為奇數(shù)，則的概率為.9745【答案】【分析】根據(jù)題意列出這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果，然后求解概率即可；【詳解】這個(gè)試驗(yàn)的等可能結(jié)果用下表表示：abcde216382183661238618328123681632236182381663218638128321683612共有12種等可能的結(jié)果，其中的結(jié)果有8種，所以的概率為.故答案為：.16．已知為所在平面外一點(diǎn)，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】由題意可得當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面.將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，設(shè)底面外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，從而可得，根據(jù)正弦定理可得，再結(jié)合勾股定理可得，再根據(jù)球的表面積公式即可求解.【詳解】由題意得為銳角，，所以只有一解，即的面積為定值.所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面.如圖，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，設(shè)底面外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，則為底面外接圓的半徑，為三棱錐外接球的半徑.由，得，由，得.因?yàn)槠矫?，則，所以.故該三棱錐外接球的表面積為.故答案為：四、解答題17．已知為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，為的中點(diǎn).(1)用表示；(2)，求.【答案】(1)(2)2【分析】根據(jù)向量的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.把用進(jìn)行線性表示后，進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，則.18．已知，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和的余弦公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)兩角差的余弦公式可得，再結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋裕?）因?yàn)?，所以?9．已知兩種獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)率分別為.(1)若甲購(gòu)買了兩種獎(jiǎng)券各一張，求恰有一張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率；(2)若甲購(gòu)買的兩種獎(jiǎng)券數(shù)量相同，為了保證甲中獎(jiǎng)的概率大于，求甲至少要購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)量.【答案】(1)(2)10【分析】（1）分兩種情況，利用獨(dú)立事件與互斥事件的概率公式求解即可；（2）設(shè)甲購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)量為，則兩種獎(jiǎng)券的數(shù)量均為，甲沒中獎(jiǎng)的概率為，可得甲中獎(jiǎng)的概率為，再列不等式求解即可.【詳解】（1）恰有一張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為.（2）設(shè)甲購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)量為，則兩種獎(jiǎng)券的數(shù)量均為.甲沒中獎(jiǎng)的概率為，所以甲中獎(jiǎng)的概率為.由，得，因?yàn)椋覟闇p函數(shù)，所以.故甲至少要購(gòu)買的獎(jiǎng)券數(shù)量為.20．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求；(2)若，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求內(nèi)切圓的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件進(jìn)行邊化角，結(jié)合余弦降冪公式和輔助角公式得到，根據(jù)即可得到；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式得到當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，結(jié)合三角形面積公式得到此時(shí)面積最大，根據(jù)等面積法得到內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即.又因?yàn)椋?，所以，即?）由題意得，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，即的面積取得最大值，設(shè)此時(shí)的內(nèi)切圓半徑為，由，得，所以當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，內(nèi)切圓的面積為21．正值藍(lán)莓銷售的高峰期，一家水果店的店長(zhǎng)計(jì)劃未來10天藍(lán)莓的日進(jìn)貨量（單位：千克）為85，92，90，96，86，94，88，89，85，95.(1)計(jì)算該水果店未來10天藍(lán)莓日進(jìn)貨量的眾數(shù)與方差；(2)假設(shè)未來這10天該水果店藍(lán)莓的市場(chǎng)日需求量均為（單位：千克），當(dāng)日銷售的藍(lán)莓可盈利10元/千克，當(dāng)日未銷售的藍(lán)莓則需要退貨，虧損15元/千克，若該水果店想在未來10天銷售藍(lán)莓的盈利大于8200元，求x的最小值.【答案】(1)眾數(shù)為85，方差為(2)88【分析】（1）利用眾數(shù)的定義和方差的公式求解；（2）易知當(dāng)越小時(shí)，該水果店在未來10天銷售藍(lán)莓的盈利越小，采用二分法來確定的最小值.【詳解】（1）解：該水果店未來10天藍(lán)莓日進(jìn)貨量的眾數(shù)為85，平均數(shù)為，方差為.（2）由題意易知，當(dāng)越小時(shí)，該水果店在未來10天銷售藍(lán)莓的盈利越小，所以采用二分法來確定的最小值.由題意得，當(dāng)時(shí)，該水果店在未來10天銷售藍(lán)莓的盈利為元元；由題意得，當(dāng)時(shí)，該水果店在未來10天銷售藍(lán)?的盈利為元<8200元；當(dāng)時(shí)，該水果店在未來10天銷售藍(lán)莓的盈利為元元.綜上所述，的最小值為88.22．如圖，在正三棱錐中，分別為的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)若，且四棱錐的體積