2022-2023學(xué)年河北省張家口市尚義縣高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河北省張家口市尚義縣高一下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，分別求出，，然后利用乘法運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，，?故選：B.2．平面向量.若，則（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】，由得，解得，故選：D.3．下列說法中正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)D．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個(gè)大圓【答案】B【分析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】以矩形的一條對(duì)角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳A錐的頂點(diǎn)與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成直角三角形，故B正確；用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)，故錯(cuò)誤；當(dāng)球面上兩點(diǎn)是球的直徑的端點(diǎn)時(shí)，過這兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合異面直線夾角求法，運(yùn)用余弦定理求解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，延長至點(diǎn)，使得，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以是異面直線與夾角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體棱長為1，則，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，所以異面直線與夾角的余弦值為.故選：D5．已知是三條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若是異面直線，，則與不一定平行【答案】C【分析】根據(jù)三棱柱中即可找反例判斷AB,由線面垂直的性質(zhì)可判斷C，由線面平行的性質(zhì)，結(jié)合直線反證法即可判斷D.【詳解】如圖，在直三棱柱中，是銳角三角形，

對(duì)于，分別為，直線為直線，滿足，而與不垂直，不正確；對(duì)于，平面與平面分別為，平面為平面，滿足，而平面與不垂直，不正確；對(duì)于，由線面垂直的性質(zhì)“垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行”可知正確；對(duì)于，假若與不平行，則存在直線，使得，由于，同理可得，由平行線的傳遞性可知，這與是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立，故，D不正確.故選：C.6．已知直四棱柱的高為2，其底面四邊形水平放置的斜二測(cè)直觀圖為矩形，如圖所示，若，則該直四棱柱的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出四邊形各邊的長，即可求出該直四棱柱的體積.【詳解】由題意，在斜二測(cè)直觀圖為矩形中，，∴，∴四邊形中，在四邊形中，，∴平行四邊形的面積為：，∴該直四棱柱的體積為：.故選：B.7．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化，算出，然后根據(jù)正弦定理算出.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得：，由，則，得到，即，又，則，因?yàn)?，根?jù)正弦定理，.故選：B8．在三棱錐中，底面，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用線面垂直的判定定理推得與平面所成角為，再利用余弦定理與勾股定理依次求得，從而得解.【詳解】作于，連接，如圖，

因?yàn)榈酌?，底面，故，又，平面，故平面，所以與平面所成角為，在中，，由余弦定理得，故，則，又，即，解得，因?yàn)榈酌?，底面，故，在中，，所?故選：D.二、多選題9．過所在平面外一點(diǎn)，作，垂足為，連接，則正確的選項(xiàng)為（

）A．若，則是邊的中點(diǎn)B．若到三邊的距離相等，則是的內(nèi)心C．若，則是的垂心D．若，則是的外心【答案】ABC【分析】應(yīng)用直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，平面幾何中三角形的內(nèi)心、垂心和外心的知識(shí)即可求解．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以O(shè)為的外心，又因?yàn)椋允沁叺闹悬c(diǎn)，故A正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，連接，由A同理可知，，則，所以是的內(nèi)心，故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，面，，所以面，因?yàn)槊妫?，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槊妫?，所以面，因?yàn)槊?，所以，同理，，所以是的垂心，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，面，，所以面，因?yàn)槊?，所以，同理，，所以是的垂心，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC10．內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，則的值可以為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用二倍角公式及正弦定理將角化邊，再結(jié)合已知條件求出，從而求出，再分和兩種情況討論，分別求出.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，又，，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以或，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，則，所以.故選：AB.11．在中，角所對(duì)的邊分別為，下列說法中正確的是（

）A．若，則一定是等邊三角形B．若，則為等腰直角三角形C．若，則是等腰直角三角形D．若，，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則【答案】AB【分析】利用正弦定理邊化角分別對(duì)ABC中的等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)可確定的形狀，得到ABC正誤；根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可確定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由正弦定理得：，即，，，為等邊三角形，A正確；對(duì)于B，由正弦定理得：，，，又，，，為等腰直角三角形，B正確；對(duì)于C，由正弦定理得：，即，，則，，又，，，即，為等腰三角形，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，要使?jié)M足條件的三角形有且僅有兩個(gè)，則，即，，又，，，D錯(cuò)誤.故選：AB.12．已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）軸截面是邊長為4的等邊三角形，則下面選項(xiàng)正確的是（

）A．圓錐的高為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓錐的內(nèi)切球表面積為D．若為的中點(diǎn)，則沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程是【答案】BC【分析】根據(jù)軸截面可得圓錐的母線和底面圓半徑，進(jìn)而可求解圓錐的高，即可求解A，由側(cè)面積公式可求解B，由相切，結(jié)合相似可求解C,由弧長公式以及勾股定理可判斷D.【詳解】對(duì)于，圓錐軸截面是邊長為4的等邊三角形，可得圓錐的底面圓的半徑為，高，所以錯(cuò)誤；對(duì)于中，母線長為，底面圓的半徑為，則圓錐的側(cè)面積為，所以B正確；對(duì)于，設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為，如圖所示，

由與相似，可得，即，解得，即圓錐的內(nèi)切球的表面積為，所以正確；對(duì)于，如圖所示，設(shè)圓錐側(cè)面展開圖圓心角為，由弧長等于底面圓的周長，可得，可得，

在直角中，，可得，即若為的中點(diǎn)，則沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程是，所以不正確.故選：BC.三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則.【答案】【分析】根據(jù)的兩個(gè)方程，消去即可.【詳解】由題意得，所以.故答案為：14．已知，則向量在方向上的投影向量坐標(biāo)為.【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋栽诜较蛏系耐队跋蛄孔鴺?biāo)為，故答案為：15．已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長分別是3，4，以直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體的表面積為.【答案】【分析】由題意可知，所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，由圓錐的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】一個(gè)直角的兩直角邊長分別是，所以，斜邊長為，以這個(gè)直角三角形的斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)圓錐的組合體，如圖所示，

，故旋轉(zhuǎn)體的表面積為故答案為：16．已知經(jīng)過圓錐的頂點(diǎn)與底面圓心的截面是邊長為的等邊三角形，一個(gè)圓柱的下底面在該圓錐的底面上，上底面圓周在該圓錐的側(cè)面上，則該內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為.【答案】/【分析】設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，結(jié)合圓錐軸截面可用表示出內(nèi)接圓柱的高，代入圓柱側(cè)面積公式中，結(jié)合基本不等式可確定最大值，并確定此時(shí)圓柱的高.【詳解】作出圓錐的軸截面，如圖所示，

圓錐軸截面是邊長為的等邊三角形，圓錐的底面圓的半徑，高，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，在中，，，，，內(nèi)接圓柱的側(cè)面積（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），此時(shí)，當(dāng)圓錐的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為.故答案為：.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，其中.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若且是純虛數(shù)，求.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得即可；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)的類型得到方程（不等式）組，求出的值，即可得到，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）復(fù)數(shù)，則，又，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的值是1.（2）復(fù)數(shù)，則，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，于是，解得，因此，又，則，即有，所以.18．在直四棱柱中，分別是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離；(3)是否在平面上，回答是與否，不需要說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)(3)否【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可完成證明；（2）因?yàn)椋玫润w積轉(zhuǎn)化可求得點(diǎn)到平面的距離；（3）利用平面的性質(zhì)即可.【詳解】（1）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，且，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，且平面平面，所以平面.

（2）因?yàn)?，則，所以，所以，因?yàn)椋?，所以平面，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得：，所以點(diǎn)到平面的距離為.（3）若假設(shè)在平面上，即四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面平面,則,但是不平行于，顯然矛盾，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即不在平面上.所以答案為：否.19．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，設(shè).

(1)用向量與表示向量；(2)若，求證：三點(diǎn)共線.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的線性運(yùn)算及向量共線的充要條件即可求解.【詳解】（1）是的中點(diǎn)，；.（2），與平行，又與有公共點(diǎn)，三點(diǎn)共線.20．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)為上一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，平面平面，求證：平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）由面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證明即可.【詳解】（1）連接交于，連接，如圖所示；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，則平面平面，所以平面

（2）在中，，所以，所以，所以；因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?，所以；又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平面；因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?21．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.(1)求；(2)求面積的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出，即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，根?jù)余弦定理可知，所以，又，得，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，，由余弦定理，即，由于，所以，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以時(shí)的面積最大，最大值為.22．如圖1所示，在梯形中，，分別延長兩腰交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2所示.

(1)求證：平面；(2)若，二面角的平面角為