隨機(jī)過(guò)程第3章sjgc3

電子科技大學(xué)§3.3

隨機(jī)過(guò)程的均方極限與均方連續(xù)

本節(jié)將二階矩隨機(jī)變量空間中的均方極限概念引入二階矩隨機(jī)過(guò)程中,并引進(jìn)均方連續(xù)的概念.電子科技大學(xué)一、二階矩過(guò)程的均方極限

定義3.3.2

設(shè){X(t),t∈T}是二階矩過(guò)程,X∈H,

如果稱(chēng)X(t)均方收斂于X,記為

注電子科技大學(xué)

隨機(jī)過(guò)程有類(lèi)似隨機(jī)變量序列的均方收斂意義下的性質(zhì).定理3.3.1(洛易夫均方收斂準(zhǔn)則)X(t)在t0

處收斂的充分必要條件是極限存在.二重極限電子科技大學(xué)二、二階矩過(guò)程的均方連續(xù)

定義3.3.3

稱(chēng)二階矩過(guò)程{X(t),t∈T}在t0∈T處均方連續(xù),如果

若X(t)對(duì)都均方連續(xù),稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}

是均方連續(xù)的.電子科技大學(xué)

定理3.3.2

(均方連續(xù)準(zhǔn)則)

二階矩過(guò)程{X(t),t∈T}在t0∈T處連續(xù)的充分必要條件是{X(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)R(s,t)在(t0,t0)處連續(xù).證

由均方收斂準(zhǔn)則知

定理3.2.5及均方連續(xù)定義電子科技大學(xué)定理3.3.3二階矩過(guò)程的均方連續(xù)相關(guān)函數(shù)R(s,t)在對(duì)角線(xiàn)上連續(xù).均方連續(xù)準(zhǔn)則的重要性:

二階矩過(guò)程的均方連續(xù)可由其相關(guān)函數(shù)的普通意義下的連續(xù)性來(lái)確定.

推論1

二階矩過(guò)程{X(t),t∈T}的相關(guān)函數(shù)R(s,t)對(duì)

在點(diǎn)(t,t)處連續(xù),則它在T×T

上連續(xù).均方連續(xù)的重要結(jié)論：電子科技大學(xué)0TTtsR(s,t)在整個(gè)區(qū)域T×T上連續(xù)，等價(jià)于在對(duì)角線(xiàn)上連續(xù).定理3.3.2{X(t),t∈T}在T上均方連續(xù)

電子科技大學(xué)定理3.2.5之1)由s0,t0

的任意性知R(s,t)在T×T上連續(xù).

EX.2{N(t),t≥0}為參數(shù)為λ的Poisson過(guò)程,在(t,t)處連續(xù),故{N(t),t≥0}是均方連續(xù)過(guò)程.電子科技大學(xué)N(t)Poisson過(guò)程的每一條樣本函數(shù)都是躍度為1的階梯函數(shù)均方連續(xù)過(guò)程的樣本函數(shù)可能不連續(xù)..

EX.3

設(shè){W(t),t≥0}是參數(shù)為σ2的維納過(guò)程,其自相關(guān)函數(shù)RW(s,t)=σ2min(s,t)電子科技大學(xué)對(duì)任意t≥0在(t,t)處連續(xù)，維納過(guò)程均方連續(xù).設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=W2(t),t≥0，其均值函數(shù)為E[X(t)]=σ2t.自相關(guān)函數(shù)為電子科技大學(xué)

推論2

若二階矩隨機(jī)過(guò)程{X(t),t∈T}均方連續(xù)，則其均值函數(shù)、方差函數(shù)也在T上連續(xù).由定理3.2.5可