運(yùn)動路徑參考答案

第第#頁(共12頁).\O2P=O2B=^2,當(dāng)P［與D重合，則P^=2,則APE=8,.??0FE=4.~2,ODP上.~2,.??H□□歸BO歸.瓦?.O2OD=4~2E=3.瓦故答案為：3.瓦點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識,根據(jù)已知得出G點(diǎn)移動的路線是解題關(guān)鍵.5.(2014D義烏市)等邊三角形ABC的邊長為6,在AC,BC邊上各取一點(diǎn)E,F,連接AF,BE相交于點(diǎn)P.若AE=CF；求證：AF=BE,并求ZAPB的度數(shù)；若AE=2，試求APDAF的值；若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題：證明題；壓軸題；動點(diǎn)型.分析：(1)①證明△ABE^^CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求彳理的比值，即可以AF得到答案.當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中

點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應(yīng)的圓心角的度數(shù)，求得答案.點(diǎn)F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）證明：?「△ABC為等邊三角形，.??AB=AC,ZC=ZCAB=60°,又?.?AE=CF,在厶ABE和厶CAF中，rAB=AC\ZBAE^ZACF，（AE二CF.?.△ABE9ACAF（SAS），AAF=BE，ZABE=ZCAF.又VZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP，???ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°..??ZAPB=180°-ZAPE=120°.VZC=ZAPE=60°，ZPAE=ZCAF,.?.AAPEsAaCF,...聖里，即聖，所以apAF=12ACAF6AF（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF兩種情況.當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)△ABP為等腰三角形，且ZABP=ZBAP=30°,.??ZAOB=120°,又VAB=6,OA=2.3,ISO■180—3"點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)ISO■180—3"點(diǎn)P的路徑就是過點(diǎn)C向AB作的垂線段的長度；因?yàn)榈冗吶切萎?dāng)AE=BF時(shí)，ABC的邊長為6,所以點(diǎn)P的路徑為：二3.去點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用.6.（2014連云港）某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)問題進(jìn)行探究，已知AB=8.

問題思考：如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形APDC、BPEF.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.分別連接AD、DF、AF,AF交DP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，在厶APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請說明理由.問題拓展：如圖2,以AB為邊作正方形ABCD，動點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動，且PQ=8.若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動過程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長.如圖3，在問題思考中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且AM=BN=1,點(diǎn)G、H分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動過程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值.考點(diǎn)：四邊形綜合題.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)設(shè)AP=x,則PB=8-x,根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解.根據(jù)PE〃BF求得PK=，進(jìn)而求得DK=PD-PK=a-8汨(只一丹)2=，然后根據(jù)面積公式即可求得.88本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90。的圓弧，如答圖3所示；本問涉及點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.GH中點(diǎn)O的運(yùn)動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖4-1所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖4-2所示.解答：解:(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值.設(shè)AP=x,貝9PB=8-x,根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32.(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是△APK與厶DFK.

依題意畫出圖形，如答圖2所示.依題意畫出圖形，如答圖2所示.答圖2設(shè)AP=a,則PB=BF=8-a.?.?PE〃BF,?FK」P即PK二已.a(8-a).??PK—8???DK=PD_PK=a「上,88???S"pk=*PKpa冷???S"pk=*PKpa冷a(8-a)a2(8_aa—，dfk氣DKEF十首（8a、a2(8-a)_a)=16APK=?DFK（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABCD的線路，向點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)Q在DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)Q在點(diǎn)D,此時(shí)PQ的中點(diǎn)O即為DA邊的中點(diǎn)；若點(diǎn)Q在DA邊上，且不在點(diǎn)D，則點(diǎn)P在AB上，且不在點(diǎn)A.此時(shí)在RtAAPQ中，O為PQ的中點(diǎn)，所以A0#jPQ=4.■￡j所以點(diǎn)O在以A為圓心，半徑為4,圓心角為90°的圓弧上.PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4,圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：所以PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑的長為：魚x24=6.點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長為3,OM+OB的最小值為：亍叵.如答圖4-1,分別過點(diǎn)G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點(diǎn)R、S、T,則四邊形GRTH為梯形.AMRPSTNBAMRPSTNB答g4-l???點(diǎn)O為中點(diǎn)，.?.OS」(GR+HT)=-(AP+PB)=4,即OS為定值.22???點(diǎn)O的運(yùn)動路徑在與AB距離為4的平行線上.???MN=6，點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動，且點(diǎn)O為GH中點(diǎn)，???點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為線段XY,XY」MN=3,XY〃AB且平行線之間距離為4,點(diǎn)X2與點(diǎn)A、點(diǎn)Y與點(diǎn)B之間的水平距離均為2.5.如答圖4-2,作點(diǎn)M關(guān)于直線XY的對稱點(diǎn)M,連接BM,與XY交于點(diǎn)O.t-答圏4-2答圏4-2由軸對稱性質(zhì)可知，此時(shí)OM+OB=BM最小.在RtABMM中，MM=2x4=8,BM=7,由勾股定理得