重難點專題02函數(shù)值域與最值十四大題型匯總

重難點專題02函數(shù)值域與最值十四大題型匯總題型1冪函數(shù)值域問題 1題型2指數(shù)函數(shù)值域問題 8◆類型1值域相關問題 8◆類型3由函數(shù)奇偶性求解析式 15題型3對數(shù)函數(shù)值域問題 17◆類型1值域相關問題 17◆類型2定義域與值域為R問題 22◆類型3新定義相關問題 25題型4分式型函數(shù)值域問題 28題型5對鉤與雙刀函數(shù)值域問題 34題型6分段函數(shù)值域問題 38題型7絕對值函數(shù)值域問題 44題型8高斯函數(shù)值域問題 50題型9“倍縮”函數(shù)值域問題 56題型10“類周期函數(shù)”值域問題 62題型11抽象函數(shù)值域問題 69題型12復合函數(shù)值域問題 72題型13三角函數(shù)值域問題 75題型14函數(shù)中的兩邊逼近思想 85題型1冪函數(shù)值域問題冪函數(shù)主要考察一元二次函數(shù)二次函數(shù)在進行討論的時候要首先考慮二次項系數(shù)為0的情況，然后根據(jù)題意，去討論開口或者討論△【例題1】（2022·全國·高三專題練習）對于函數(shù)f(x)=ax2+bx,其中【答案】-4【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域與值域相同，可以求出參數(shù)表示的函數(shù)的定義域與值域，由兩者相同，比較二區(qū)間的端點得出參數(shù)滿足的方程，解方程求參數(shù)即可.【詳解】函數(shù)f(x)=ax若a>0，由于ax2+bx≥0∴對于正數(shù)b，fx的定義域為:D=但fx的值域A?0,+∞，故若a<0，對于正數(shù)b，fx的定義域為D由于此時[f(x)]max=f-由題意，有-ba=b2故答案為：﹣4【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域和值域，意在考查學生的計算能力.【變式1-1】1.（2023·全國·高三對口高考）若函數(shù)f(x)=x2-6x-16的定義域為[0,m]【答案】[3,6]【分析】確定函數(shù)圖象的開口和對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由題意可得函數(shù)f(x)=x2-6x-16當x=3時，f(x)令f(x)=-16，解得x=0或x=6，因為函數(shù)f(x)=x2-6x-16的定義域為[0,m]故m∈[3,6]，故答案為：[3,6]【變式1-1】2．（2017春·貴州貴陽·高三階段練習）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R）的定義域和值域分別為集合A,B【答案】5【分析】由已知，結(jié)合二次函數(shù)及根式型復合函數(shù)的性質(zhì)可得a<0,b2-4ac>0【詳解】由題設知，a<0,b2-4ac>0，則A=[因為{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面區(qū)域是邊長為1的正方形，所以b2-4ac-a=4ac-b2所以b+c=-b216故答案為：5【變式1-1】3．（2022·全國·高三專題練習）定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)=-x2+2x.另一個函數(shù)y=g(x)的定義域為[a，b]，值域為[1b,1a]，其中a≠b，a，b≠0.在x∈[a【答案】（1）a=1b=1+5【分析】（1）先求出y=fx的解析式并作出圖象，根據(jù)題意得到ab>0，進而可知y=gx,x∈a,b的圖象在第一或第三象限內(nèi)，然后分a,b>0和【詳解】容易求出奇函數(shù)y=fx的解析式為：f(x)=-x2+2x,x≥0,x2+2x,x<0.函數(shù)gx的定義域為a,b，值域為1根據(jù)y=fx的圖象可知，函數(shù)y=g由圖中看出，當a,b>0時，考慮以下三種情況：0<a<b≤1，0<a<1<b,1≤a<b<2.如果0<a<b≤1，0<a<1<b,那么1a>1.但是x∈(0,1]時，這與gx的值域1b,1a1≤a<b<2，由圖看出gx是減函數(shù)，可見當a,b<0時，考慮以下三種情況：-1≤a<b<0，-2<a<-1<b<0,-2<a<b≤-1，若-1≤a<b<0或-2<a<-1<b<0，則1b<-1.但是x∈[-1,0)時，若-2<a<b≤-1，由圖可知gx是減函數(shù)，可見1b=g情況下通過值域條件得出a=-1-綜上：a=1b=1+5【變式1-1】4.b，c∈R，二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c在(0,1)上與【答案】0<c【分析】求出f0【詳解】設二次函數(shù)fx=x2+bx+c則f0=c=xf0而x1=x【變式1-1】5．（多選）（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校校考模擬預測）已知函數(shù)fxA．函數(shù)fxB．當f1a=1C．若函數(shù)fx有且僅有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為D．若函數(shù)fx在區(qū)間-1,1上的值域為-1,1，則實數(shù)a的取值范圍為【答案】ABD【分析】利用奇函數(shù)的定義即可判斷選項A；解方程即可判斷選項B；根據(jù)參數(shù)a是否為零，分別討論即可判斷選項C；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知條件列出不等式組即可判斷選項D.【詳解】對于選項A，由f-x=-fx，可知函數(shù)f對于選項B，由f1a=1a對于選項C，由fx=0，有xax2+(1-a)=0，當a=0時，函數(shù)fx僅有一個零點0，當對于選項D，由f1當0<x<1時，-1≤fx≤1，有ax所以x+1ax2-ax+1≥0則a≤1x-x2a≥-1xx-x2=-故選：ABD.【變式1-1】6．（2023·全國·高三專題練習）定義：區(qū)間x1,x2的長度為x2-x1.已知函數(shù)y=x2+1的定義域為a,bA．1 B．2 C．0 D．3【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)y=x2+1的定義域和值域結(jié)合新定義，求出m,n【詳解】由已知可得1≤x2+1≤2區(qū)間a,b的最大長度為m=1--1=2，最小長度為所以gx當x<ln2時，g'x<0所以gx在-∞,所以g(x)min=g故選：C.【變式1-1】7．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知f(x)=x3-3x，函數(shù)y=f(x)的定義域為a,bA．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個【答案】A【分析】求導得到單調(diào)區(qū)間，計算極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)則fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0，fb≤b，解得b≤-2或0≤b≤2，得到【詳解】f(x)=x3-3x當x∈-∞,-1和x∈當x∈-1,1時，ff1=-2為函數(shù)的極小值，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：fx的值域為a,b則fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0；fb≤b，解得a<b，故-2≤a≤0且0≤b≤2，a,b∈Z，a∈-2,-1,0，當b=2，fxmax=fb=2當b=1，fxmin=f1=-2當b=0，fx綜上所述：b=2，a=-2故選：A【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中利用fa≥a，fb≤b得到題型2指數(shù)函數(shù)值域問題指數(shù)函數(shù)畫圖規(guī)律：1、底數(shù)討論單增單減討論.2、“一點一線”伴隨.◆類型1值域相關問題【例題2-1】（2023·全國·高三專題練習）若2x2+1A．18,2C．-∞,【答案】B【分析】首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出x的取值范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為14x-2=12由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得x2解得-3≤x≤1，所以2-3≤2x≤故選：B【變式2-1】1．（多選）（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)=22x-2x+1A．M?(-∞,1] B．M?[-2,1] C．1∈M【答案】ACD【分析】先研究值域為1,2時函數(shù)的定義域，再研究使得值域為1,2得函數(shù)的最小值的自變量的取值集合，研究函數(shù)值取1，2時對應的自變量的取值，由此可判斷各個選項.【詳解】由于f(x)=2∴(2x-1)2∈0,1即函數(shù)f(x)=22x當函數(shù)的最小值為1時，僅有x=0滿足，所以0∈M，故D正確；當函數(shù)的最大值為2時，僅有x=1滿足，所以1∈M，故C正確；即當M=0,1時，函數(shù)的值域為1,2，故M?-∞故選：ACD【點睛】關鍵點睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關鍵是通過函數(shù)的值域求出函數(shù)的定義域，再利用元素與集合關系的判斷，集合的包含關系判斷，考查了學生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎題.【變式2-1】2．（2023·全國·模擬預測）使函數(shù)f(x)=ex-a的值域為[0,+【答案】1（答案不唯一）【分析】由指數(shù)函數(shù)值域性質(zhì)求解【詳解】令f(x)=ex-a，由題意得f又y=ex的值域為0,+∞，所以-a<0所以a的取值范圍為(0,+∞故答案為：1.(答案不唯一)【變式2-1】3．（多選）（2023·全國·高三專題練習）對任意實數(shù)a>1，函數(shù)y=a-1x-1+1的圖象必過定點Am,n，A．m=1，n=2 B．gxC．gx的值域為[2，6] D．g【答案】ABC【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖像恒過定點求出m，n的值，根據(jù)fx的定義域求gx的定義域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，求出【詳解】令x-1=0，得x=1，此時y=a-1所以函數(shù)y=a-1x-1+1的圖象過定點A1,2，即因為m=1，n=2，所以fx=n所以gx由0≤2x≤2,0≤x≤2,得0≤x≤1所以gx易知gx所以當x=0時，gx取得最小值2，當x=1時，g所以gx故選:ABC．【變式2-1】4．（2020·全國·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=axax+1，(a>0且a≠1)，m表示A．0,1,2 B．-1，0 C．-1,0,1【答案】D【分析】先化簡f(x)-12和【詳解】因為f(x)=axaf(-x)+1因為ax+1>1,所以當0<1ax+1<此時12-1ax當1ax+1當12<1ax此時12-1ax故選D.【點睛】本題主要考查指數(shù)型函數(shù)值域的求解，先化簡解析式是求解的前提，然后結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求，側(cè)重考查數(shù)學運算和邏輯推理的核心素養(yǎng).◆類型2定義域與值域為[ma,na]型對于單調(diào)函數(shù)定義域值域都已知可轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)相交問題【例題2-2】（2023秋·山東濟南·高三濟南市歷城第二中學?？奸_學考試）給出定義：如果函數(shù)y=f(x)的定義域為[a?，?b]，值域也是①f(x)=2x，x∈[0,2]②f(x)=x2+x-1③f(x)=43?④f(x)=e2-1【答案】①③④【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值分析值域，結(jié)合“保域函數(shù)”的定義判斷即可.【詳解】①f(x)=2x在[0,2]上單調(diào)遞增，代入可得值域為[0,2]②f(x)=x2+x-1=x+122-5③f(x)=43?2x-5④f(x)=e2-12ln故答案為：①③④【變式2-2】1.（2020春·江蘇南京·高三南京市第二十九中學?？奸_學考試）若函數(shù)y=ax(a>1)的定義域和值域均為m,n【答案】(1,【詳解】試題分析：函數(shù)y=ax(a>1)的定義域和值域均為[m,n]，則y=ax(a>1)與y=x的圖象必有兩個不同的交點，這兩個交點的坐標就分別為(m,m),(n,n).設f(x)=a由題意得f(x因為ax0=又因為x0lna=所以lna<1e考點：1、指數(shù)函數(shù)；2、指數(shù)與對數(shù)運算；3、不等式.【變式2-2】2．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是．【答案】(1，e2【解析】f(x)=ax在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等價轉(zhuǎn)化為f(x)=ax與y=x2的圖像在(1，+∞)上恰有兩個交點，考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知：f(x)=ax與y=x2的圖像在(1，+∞)上恰有兩個交點考查臨界情形：y=ax0與y=x2切于x0，ax0=x02a故答案為：(1，e2e【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，把已知條件進行等價轉(zhuǎn)化是求解的關鍵，側(cè)重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【變式2-2】3．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知f(x)=x3-3x，函數(shù)y=f(x)的定義域為a,bA．1 B．2 C．3 D．無數(shù)個【答案】A【分析】求導得到單調(diào)區(qū)間，計算極值，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)則fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0，fb≤b，解得b≤-2或0≤b≤2，得到【詳解】f(x)=x3-3x當x∈-∞,-1和x∈當x∈-1,1時，ff1=-2為函數(shù)的極小值，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：fx的值域為a,b則fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0；fb≤b，解得a<b，故-2≤a≤0且0≤b≤2，a,b∈Z，a∈-2,-1,0，當b=2，fxmax=fb=2當b=1，fxmin=f1=-2當b=0，fx綜上所述：b=2，a=-2故選：A【點睛】關鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應用能力，其中利用fa≥a，fb≤b得到【變式2-2】4．（2023·全國·高三專題練習）對于區(qū)間a,ba<b，若函數(shù)y=fx同時滿足：①fx在a,b上是單調(diào)函數(shù)；②函數(shù)y=fx,x∈a,b的值域是a,b，則稱區(qū)間a,b【答案】[-1,-【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可得fx=x2+mm≠0的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞【詳解】因為函數(shù)fx=x2+m所以當a,b?(0,+則有a2+m=ab所以1-4m>0m>0，解得0<m<當a,b?(-則有a2則a+b=-1，a2即方程x2所以1-4(m+1)>0m+1>0，解得-1<m<-當a=0時，此時f(0)=0，則m=0，與題設矛盾；當b=0時，則f(a)=a即m2+m=0，解得m=-1或綜上所述：實數(shù)m的取值范圍為：[-1,-3故答案為：[-1,-【點睛】關鍵點晴：對于新概念題，理解概念的定義是關鍵，本題的關鍵是從題意中得出a,b?(0,+∞)◆類型3由函數(shù)奇偶性求解析式【例題2-3】（2023·四川綿陽·綿陽南山中學實驗學校校考三模）已知fx，gx分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且fx+gxA．158,+∞ B．0,+∞【答案】D【分析】由奇偶性求得f(x),g(x)的解析式，化簡不等式，并用分離參數(shù)法變形為a≤4(ex+e【詳解】因為fx，gx分別為R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以f-x+g-x聯(lián)立①②可解得fx=e所以不等式2fx-ag因為x∈0,ln3，則e設ex+e-x=t因為t=ex+e-x故t=ex+e-x又因為y=t-4t在t∈2,103因為a≤4(ex+e所以正實數(shù)a的取值范圍是0,15故選：D．【變式2-3】（2022春·海南·高三海南中學?？茧A段練習）已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)滿足：f(x)+g(x)=2x．若存在實數(shù)a，使得關于x的不等式(nf(x)-a)(g(x)-a)≤0在區(qū)間A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)奇偶性列方程組求得f(x)=2x-1+2-x-1，g(x)=2x-1-【詳解】由題設，f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2-x，又聯(lián)立可得：f(x)=2x-1+又f(x)≥22x-1?2-x-1=1當且僅當x=0時等號成立，即所以，在[1,2]上f(x)∈[5而g(x)=2x-1-2-x-1若{f(x)≥ang(x)≤a，則若{f(x)≤an綜上，正整數(shù)n的最小值為2.故選：B【點睛】關鍵點點睛：利用奇偶性列方程組求f(x)、g(x)解析式，并根據(jù)單調(diào)性求閉區(qū)間上的值域，最后由不等式恒成立求參數(shù)a的范圍，即可得n的范圍.題型3對數(shù)函數(shù)值域問題對數(shù)函數(shù)畫圖規(guī)律：1.對數(shù)函數(shù)中要注意f（b）=f（c）時.bc=1這個特征，.2.對數(shù)函數(shù)源于指數(shù)函數(shù)，所以和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).◆類型1值域相關問題【例題3-1】（2023秋·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）定義域為R的函數(shù)fx滿足：當x∈0,1時，fx=2x-xA．-32 B．32 C．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件求得fa,f2a【詳解】1=log22<4=log所以a=log23∈(1,2)3a=3log所以a-1=log23-1=log2又對任意的實數(shù)x，均有f(x)+f(x+1)=1，所以f(x+1)+f(x+2)=1，則有f(x)=f(x+2)，所以f(a)=1-f(a-1)=1-flogf(2a)=1-f(2a-3)=1-flogf(3a)=f(3a-4)=flogf(a)+f(2a)+f(3a)=17故選:C【點睛】由于本題的fx已知的解析式對應的定義域是0,1，所以本題解題關鍵點在于，利用對數(shù)的運算、抽象函數(shù)運算，將fa,f【變式3-1】1．（2021秋·湖南益陽·高三益陽市箴言中學?？茧A段練習）設函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1)的定義域為[m,n]（m<n)【答案】32或【分析】根據(jù)題意f(x)=logax，利用函數(shù)圖像的變換，作出f(x)=loga【詳解】如圖所示，做出f(x)=若0<a<1，當n=1時，logam=1時，若a>1時，當n=1時，logam=-1，綜上所述，a=32或【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖像以及性質(zhì)，在畫對數(shù)函數(shù)圖像時要注意強化討論意識，對底數(shù)是a>1還是0<a<1進行討．作y=f(x)的圖像，應先作出y=f(x)的圖像，x軸上方的圖像保留，x【變式3-1】2．（2019秋·陜西榆林·高三?？茧A段練習）已知y=log2(x2-2x+17)的值域為[m,+∞)，當正數(shù)A．94 B．1 C．5+22【答案】A【分析】根據(jù)值域計算m=4，變換7a+4b=1【詳解】y=log2(x2-2x+17)=log即23a+b+=1當2a+2b3a+b=23a+b故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)值域，均值不等式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.【變式3-1】3．（2019秋·江蘇鹽城·高三?？茧A段練習）已知fx=lnx+82-x定義域為D，對于任意x1，【答案】2【分析】先求出函數(shù)fx=lnx+82-x的定義域-8,2,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)設x1<x2，因x1-【詳解】解：由題意，由x+82-x>0，即x+8x-2∴函數(shù)fx定義域為-8,2，不妨設x∵x∴x2=x∴f=ln∵x1∈-8,0，則x∴l(xiāng)n1-20x根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，當x12+8x1∴fx故答案為:2【點睛】本題考查對數(shù)運算以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷,屬于中檔題.【變式3-1】4．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)fx=logax-3x+3的定義域為α,β，值域為【答案】0,【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得出底數(shù)a的范圍，根據(jù)值域列出關于α，β的方程，再轉(zhuǎn)化為對應二次方程有兩個不同的根，由根的分布列出關于【詳解】由題意有x-3x+3>0，得x>3或由aα-1>0且a>0，則又∵已知函數(shù)fx=logax-3fx為α,β上的嚴格減函數(shù)，函數(shù)t=x-3x+3則函數(shù)y=logat函數(shù)fx的定義域為α,β，值域為log則有l(wèi)ogaα-3α+3說明α，β是方程x-3x+3即方程ax設hx則有Δ=2a-12又因為0<a<1，綜上可得：0<a<2-34◆類型2定義域與值域為R問題【例題3-2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)＝log3mx【答案】m=n=5【詳解】試題分析：由f(x)=log3mx∵x∈R,∴Δ=64-4(3y由0≤y≤2，得1≤3y≤9，由根與系數(shù)的關系得考點：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復合函數(shù)．【點睛】點評：已知函數(shù)定義域、值域，求參數(shù)問題，往往從求值域方法入手．【變式3-2】1．（2019·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=1g[(m2-3m+2)(1)若函數(shù)f(x)的定義域為R求實數(shù)m的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域為R求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)mm?1或【分析】（1）若函數(shù)的定義域為R，即對任意的x，(m（2）若函數(shù)f(x)的值域為R，則對數(shù)的真數(shù)(m2【詳解】解：(1)若函數(shù)的定義域為R，即對任意的x，(m令g(x)=(m1°，當m2-3m+2=0時，解得m=2經(jīng)驗證，當m=2時，g(x)=2x+5，不滿足題意，舍去；當m=1時，g(x)=5，滿足題意．2°，當mg(x)為二次函數(shù)，只需m解得m<1或m>9綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為mm?1(2)若函數(shù)f(x)的值域為R，則對數(shù)的真數(shù)(m令h(x)=(m1°當m2-3m+2=0時，解得m=2或m=1不合題意舍去，當m=2時滿足題意．2°當m由二次函數(shù)知識知m解得2<m?9綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為2?m?9【點睛】本題考查了函數(shù)的定義域與值域為R的問題，解決問題的方法是將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進行研究，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想．【變式3-2】2．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)fx【答案】[0,【分析】將問題轉(zhuǎn)化為kx2+2k-1x+【詳解】∵函數(shù)fx∴gx①當k=0時，gx②當k≠0時，要使gx則需滿足k>0△=2k-12-k=4k綜上可得0≤k≤14或∴實數(shù)k的取值范圍為0,1【點睛】解答本題的關鍵是深刻理解題意，解題中容易出現(xiàn)的錯誤是將“函數(shù)fx=log【變式3-2】3．（2020·全國·高三專題練習）設函數(shù)y=logA．M?N B．M∪N=R C．M∩N=? D．M=N【答案】C【詳解】由題意得a>0,a≠1,由函數(shù)y=logaax2由函數(shù)y=logaax2+x+a的值域是R得u=ax◆類型3新定義相關問題【例題3-3】（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)fx的定義域為I，若存在a,b?I，使得fx在區(qū)間a,b上的值域為ka,kbk∈N*，則稱fxA．0,239 B．-2【答案】A【解析】問題轉(zhuǎn)化為33x-3x+m=0有兩個不等的實數(shù)根，設t=3x【詳解】解：由函數(shù)fx=log33x-m∴33x-則問題轉(zhuǎn)化為關于t的方程t3記gt=t令g't<0∴當t>0時，gt故可畫出函數(shù)y=gt與y=-m由圖可知，-m∈-23即33x故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的值域，涉及導數(shù)的應用，考查轉(zhuǎn)化的思想以及新定義，屬于難題.【變式3-3】1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)的定義域為D，若滿足：（1）f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）存在m2,n2?D，使得f(x)在m2,n2【答案】-【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性關系先判斷函數(shù)f(x)為單調(diào)增函數(shù)，再根據(jù)值域關系建立方程，然后轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的個數(shù)問題求解．【詳解】依題意，函數(shù)f(x)=log（1）設y=loga當a>1時，U(x)=ax+t為增函數(shù)，y=當0<a<1時，U(x)=ax+t為減函數(shù)，y=綜上，函數(shù)f(x)=logaax+t（2）∵f(x)在D內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，若f(x)為“夢想函數(shù)”設存在m2,n2?D，使得f(x)則有fm2∴?m,?設y=ax2，則y>0則有Δ=1+4t>0y1y2=-t>0故答案為：-1【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查對數(shù)的基本運算，準確把握“夢想函數(shù)”的概念，合理運用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和一元二次方程根的判別式是解決本題的關鍵，考查學生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，運算求解能力，屬于中檔題.【變式3-3】2．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)定義域為D，若滿足①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a,b]?D使f(x)在[a,b]上的值域為[na,nb](n∈N+,n>1)，那么就稱y=f(x)為“域n倍函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=【答案】-【分析】根據(jù)“域n倍函數(shù)”的定義列方程組，轉(zhuǎn)化為方程u2-u-t=0u>0【詳解】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)為增函數(shù)，由“域n倍函數(shù)”的定義可知fa=2afb=2b，即方程故答案為-1【點睛】本小題主要考查新定義函數(shù)的理解和運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查一元二次方程有兩個不同正實根的條件，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.題型4分式型函數(shù)值域問題分式型函數(shù)值域問題：1.分離常數(shù)，通過“左加右減上加下減”可求得分式函數(shù)的對稱中心.2.特殊的，形如(內(nèi)反表對稱可以證明)3.注意“水平漸近線和豎直漸近線”4.分式型函數(shù)值域的方法：分離常數(shù)法，換元法，判別式法【例題4】（2023秋·河南洛陽·高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fxA．fx在0,6上單調(diào)遞減 B．fx的圖象關于點C．曲線y=fx與x軸相切 D．fx【答案】BCD【分析】求導，利用導函數(shù)的性質(zhì)判斷ACD，利用對稱中心的概念判斷B即可.【詳解】由題意可得f'x=令f'x<0，解得0<x<3或3<x<6，令f'x所以fx在0,3，3,6上單調(diào)遞減，在-∞,0因為f3-x+f3+x=12，所以因為f0=0，f'0=0，所以曲線y=fx在x=0處的切線方程為由單調(diào)性可得fx

又f0=0，f6=12，所以故選：BCD【變式4-1】1．（多選）（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=1-4xx2+4的定義域是a,b（aA．-2,0 B．-1,1C．0,2 D．-1,2【答案】ACD【分析】由fx【詳解】顯然fx要使值域為0,1，且a，b∈Z,則a=-2，b=0,1,2；a=-1，b=2；a=0，b=2.故選：ACD.【變式4-1】2．（多選）（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)fxA．fx的定義域為B．fx在-1,0上的值域為C．若fx在-∞D(zhuǎn)．若a>1，則fx【答案】AC【分析】求得fx的定義域判斷選項A；求得fx在-1,0上的值域判斷選項B；求得a的取值范圍判斷選項C；求得a>1時【詳解】選項A：由x+2≠0得x≠-2，則fx的定義域為-選項B：fx由x∈-1,0，可得x+2∈1,2，則當a=1時，fx=a，則fx在-1,0當a<1時，2-2ax+2∈1-a,2-2a即fx在-1,0上的值域為1,2-a當a>1時，2-2ax+2∈2-2a,1-a即fx在-1,0上的值域為2-a,1綜上，當a=1時，fx在-1,0上的值域為1當a<1時，fx在-1,0上的值域為1,2-a當a>1時，fx在-1,0上的值域為2-a,1選項C：fx若fx在-∞,-2上單調(diào)遞減，則2-2a>0選項D：fx則a>1時，fx在-∞,-2故選：AC【變式4-1】3．（2022·全國·高三專題練習）定義區(qū)間x1,x2長度x2-x1x【答案】3【分析】先分析函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性結(jié)合值域列方程，轉(zhuǎn)化為對應一元二次方程根的情況，再根據(jù)求根公式求m,n長度，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值，即得a的值.【詳解】因為fx=a2+ax-1a2x=因為值域是m,n，所以m=即m，n為方程所以Δ=(am,n長度為Δ所以當1a=1故答案為：3【點睛】本題考查函數(shù)新定義、函數(shù)單調(diào)性以及利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.【變式4-1】4．（2023秋·湖南長沙·高三?？茧A段練習）設x∈R，用x表示不超過x的最大整數(shù)，則y=x稱取整函數(shù)，例如：[-3.7]=-4，[2.3]=2.已知f(x)=3A．-12,1 B．-1【答案】D【分析】分離常數(shù)得f(x)=1-33x【詳解】f(x)=∵3x+2>2，∴0<13x+2<12當-當0≤f(x)<1時故選:D【變式4-1】5．（2020·全國·高三對口高考）已知函數(shù)gx=ax2【答案】函數(shù)fx的定義域為R，值域是3【分析】先將函數(shù)gx變形，利用判別式法可得y2-a+by+ab-16≤0，再與y【詳解】gx的定義域為R，令y=gx，有y-ax2-8x+y-b=0，由Δ≥0，得64-4y-a由此得fx根據(jù)5x2+8x+5>0，解得x∈R，又5x【變式4-1】6.已知a,b,c為非零實數(shù)，f(x)=ax+bcx+d,x∈R，且f(2)=2,f(3)=3.若當x≠-d【答案】5解：試題分析：因為當x≠-dc時，對于任意實數(shù)x，均有ffx=x，所以a×ax+bcx+d+bc×ax+bcx+d+d=x，即a+dcx2+d2-a2x-ba+d=0，因為a+dcx2+d2-a2x-ba+d=0對【變式4-1】7.（多選）（2023·廣東深圳·紅嶺中學?？寄M預測）已知函數(shù)fxA．函數(shù)fxB．曲線y=fx關于0C．函數(shù)fx的值域為D．曲線y=fx有且僅有兩條斜率為1【答案】AB【分析】由fx=2x2x+1=1-12x+1可得fx是增函數(shù)，且對于任意x∈R，滿足f-x+fx=1，所以y=fx關于0【詳解】根據(jù)題意可得fx=2所以fx由題意可得f-x=2即對于任意x∈R，滿足f-x+fx=1由指數(shù)函數(shù)值域可得2x+1∈1,+∞，所以所以函數(shù)fx的值域為0易知f'x=2x令2x=t∈0,+易知Δ=5ln2-22所以5ln2<4，即0<5ln即關于t的一元二次方程t2所以2x2-5ln故選：AB題型5對鉤與雙刀函數(shù)值域問題1.對勾函數(shù)圖像的特征：(1)漸近線；（2）拐點.2.雙刀函數(shù)，可用或者簡單判斷，要注意“漸近線”.【例題5】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=x+kx具有以下性質(zhì)：如果常數(shù)k>0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,k)上單調(diào)遞減，在區(qū)間[k【答案】(-【分析】當a≤1判斷單調(diào)性，進而確定最值即可求范圍，當a>1再討論a-1,1的大小關系，結(jié)合f(x)=x+kx【詳解】1、當a-1≤0時，y=x+a-1x在[1,+∞2、當a-1>0，即a>1，若a-1≥1，即a≥2時，函數(shù)在[1,a-1)上遞減，在(a-1,+若a-1<1，即1<a<2時，函數(shù)在[1,+∞)綜上，a∈(-∞故答案為：(-∞【點睛】關鍵點點睛：應用分類討論，并根據(jù)f(x)=x+k【變式5-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx【答案】0,3-2【分析】將解析式變形為f(x)=1【詳解】因為fx因為x>1，所以x-1>0，則有(x-1)+2當且僅當x-1=2x-1，即所以fx因為x>1，所以f(x)>0，則函數(shù)的值域為0,3-22故答案為：0,3-22【變式5-1】2.（2023·全國·高三專題練習）對于定義在R上的奇函數(shù)y=fx，當x>0時，f【答案】-【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求得f0=0，再結(jié)合基本不等式求x>0時其y=fx【詳解】因為y=fx為R所以f-x=-fx又當x>0時，2x所以fx當且僅當x=1時等號成立，即當x>0時，fx因為y=fx為R所以函數(shù)y=fx所以x<0時，fx所以函數(shù)y=fx的值域為-故答案為：-∞【變式5-1】3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開學考試）下列函數(shù)f1x=A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用對勾函數(shù)的性質(zhì)，求各函數(shù)的值域，比較即可，【詳解】對勾函數(shù)y=x+1x，y'=1-1x2=x2-1所以對勾函數(shù)y=x+1x在0,1上單調(diào)遞減，在x=1時，函數(shù)有最小值2，x趨近于0時，函數(shù)值趨近于+∞函數(shù)fx=x+1當x=1時fx=x+1函數(shù)f1x=當sin2x=1時f1x=f3x=ex+1ex，有ef2x=x+1x，當x<0時，ff4x=lnx+1lnx，當所以f1x=故選：B【變式5-1】4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx【答案】0,【分析】當x=0時，f(0)=0，當x=1時，f(1)=0，當0<x<1時，將f(x)化為1(1x-x)2+3+161x-x，再換元，令【詳解】當x=0時，f(0)=0，當x=1時，f(1)=0，當0<x<1時，f(x)=x2=1x=1令t=1x-x，因為t=1x設g(t)=t2+則g'當0<t<2時，g'(t)<0，當t>2時，所以g(t)在(0,2)上遞減，在(2,+∞)上遞增，所以當t=2時，g(t)取得最小值，最小值為g(2)=2所以g(t)∈[15,+∞)，所以(1所以當x∈(0,1)時，f(x)∈(0,1綜上所述：當x∈[0,1]時，f(x)∈[0,1故答案為：0,【點睛】關鍵點點睛：將函數(shù)f(x)化為1(【變式5-1】5.函數(shù)f(x)=4A．[5,+∞) B．[4,+∞)【答案】B【分析】把2x【詳解】由已知f(x)=(2x+1)2當且僅當2x+1=4所以f(x)的值域是[4,+∞故選：B．題型6分段函數(shù)值域問題分段函數(shù)的值域等于各段函數(shù)值域的并集，同時要注意兩段交接處，函數(shù)的變化【例題6】（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3,x≤26+logax,A．22,1C．1,2 D．【答案】B【分析】首先求出fx在-∞,2上的取值范圍，依題意需當x>2時，6+loga【詳解】當x≤2時，fx=-x在1,2上單調(diào)遞減，所以fx≤f1若函數(shù)f(x)的值域是-∞,4，則需當x>2時，當a>1時，f(x)=6+logax此時fx當0<a<1時，f(x)=6+logax此時fx<f2=6+log所以a-2≤2，顯然a>0，解得a≥22，又綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是22故選：B【變式6-1】1.（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)y=fx由關系式xx+yA．gx為增函數(shù) B．gC．gx值域為[-1,+∞)【答案】D【分析】化簡已知函數(shù)并作出圖像，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，在函數(shù)y=fx中，x可知fxy2-x2=1(x<0,y>0)這些曲線合并組成fx圖象，是兩段以y=-x因為gx=-fx,x≥0,得到曲線C1，再作C1關于坐標原點對稱，去掉點0，1得到曲線C2，C由gx圖象可知，gx不是奇函數(shù)，gx當x>0時，f-x圖象與gx圖象沒有公共點，從而函數(shù)故選：D.【變式6-1】2.（2023·北京·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域是R；②?a>1，方程f(x)=a恰有3個實數(shù)根；③?x0∈【答案】②③④【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對四個結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)f(x)=ln對于①，由圖可知，函數(shù)f(x)的值域不是R，故①不正確；對于②，由圖可知，?a>1，方程f(x)=a恰有3個實數(shù)根，故②正確；對于③，當?x0∈R+時，使得有f(-對于④，不妨設互不相等的實數(shù)x1,x2,由圖可知x1+xlnx3=所以x1+x而y=1x-x在x∈所以x1則x1+x故答案為：②③④.【變式6-1】3.（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知函數(shù)sgn(x)=-1,x<00,x=0①fx在π2，③fx的值域為-1，1；

④fx其中所有真命題的序號是.【答案】②③④【分析】根據(jù)函數(shù)的概念求出f(x)=sgn【詳解】依題意可得f(x)=sgn(x-π)sinx=-sinx,x<π0,x=πsinx,x>π，作出fx故答案為：②③④.【變式6-1】4.（2023·北京·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=e-x,x<0x,x≥0，f(x)的值域是，設g(x)=f(x)-a(x-1)【答案】[0,+∞)【分析】求x<0時的值域及x≥0的值域，最后求并集即可（或者利用圖象法觀察）值域；數(shù)形結(jié)合即可求出參數(shù)a的范圍【詳解】當x<0時，f(x)=e-x∈1,+∞所以函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞作出函數(shù)圖象從圖象上可以看出函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞因為g(x)=f(x)-a(x-1)恰有兩個零點，則方程f(x)=a(x-1)恰有兩個解，從而函數(shù)f(x)=e-x,x<0x,x≥0如圖當a≥0時，函數(shù)f(x)=e-x,x<0x,x≥0函數(shù)f(x)=e-x,x<0x,x≥0與y=a(x-1)有一個交點，又當x<0所以f'(0)=-1，故在點(0,1)處的切線為y-1=-1(x-0)，即故當a=-1時，函數(shù)f(x)=e-x,x<0所以要使函數(shù)f(x)=e-x,x<0x,x≥0與y=a(x-1)有兩個交點，則a<-1，即故答案為：[0,+∞)；題型7絕對值函數(shù)值域問題絕對值函數(shù)，主要是分類討論.1.一元一次函數(shù)加絕對值，是折線2.一元二次函數(shù)加絕對值，要注意與軸的交點3.指數(shù)函數(shù)上下平移后加絕對值，要注意“一點一線”的位置【例題7】（2022秋·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習）設0<a<b，若函數(shù)y=log2x-1,x∈a,b【答案】3,6【分析】根據(jù)函數(shù)圖像，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目中函數(shù)的值域為0,1，分析特殊點的橫坐標，分類討論即可得解.【詳解】作出函數(shù)圖像，根據(jù)題意y=f(x)=log得x=2，令y=f(x)=log解得x=1或x=4，所以結(jié)合0<a<b①若a>2，則不合題意，舍去，②若a=2，則b=4，此時a+b=6；③若1<a<2，則b=4，此時5<a+b<6；④若a=1，則2≤b≤4，3≤a+b≤5綜上所述，3≤a+b≤6，故答案為：3,6【變式7-1】1.（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=2x-1的定義域和值域都是[a,b]，則a+b=【答案】1【分析】先通過函數(shù)的值域求出a、b的范圍，再根據(jù)函數(shù)f(x)在[0,+∞【詳解】解：因為f(x)=|2x-1|所以b>a≥0，而函數(shù)f(x)=|2x-1|即f(x)=2x-1因為函數(shù)f(x)=|2x-1|所以f(a)=2令gx=2x-1-x，x∈[0,+∞)，則g'x所以gx在0,log2又g0=2所以a=0b=1，所以有a+b=1故答案為：1【變式7-1】2.（2022秋·上海嘉定·高三?？计谥校┮阎猣(x)=(x-a)?(x-3a)，若函數(shù)y=f(x),x∈[0,1]的值域為[0,f(1)]【答案】0,【分析】分a<0，a=0，a>0討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)即可得解.【詳解】因為fx當a<0時，x∈[0,1]，fx若a=0時，則fx=x當a>0，f0=3a2≥ffx在0,1上的最大值為f1，則解得a≤1綜上，a∈0,故答案為：0,1【變式7-1】3.（2022·全國·高三專題練習）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx+1=2fx-1.若當x∈0,1時，fx=1-2x-1，則fx【答案】[-2,2]5【分析】第一空先求出函數(shù)fx在0,1上的解析式，結(jié)合奇函數(shù)畫出-1,1的圖像，再由fx+1進而得到函數(shù)在-1,3上的圖像，即可求得值域；第二空畫出將零點轉(zhuǎn)化為y=f(x),y=45x【詳解】由當x∈0,1時，fx=1-2x-1，可得當x∈0,12又fxx∈0,1時，fx+1=2f即函數(shù)右移兩個單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，由此可得函數(shù)在-1,3上的圖像如圖所示：結(jié)合圖像可知fx在區(qū)間-1,3上的值域為[-2,2]；gx=fx-畫出y=45x的圖像，由圖像可知4個交點的橫坐標依次為x1,0,故x1故答案為：[-2,2]；52【變式7-1】4.（2020秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)fx＝-13x3A．(-∞,3) B．C．(0,+∞) D．【答案】C【分析】利用導數(shù)求出函數(shù)f(x)的極值，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)和y=k±1的圖象有2個交點的問題，結(jié)合圖形列出不等式組，求得k2【詳解】由f(x)=-13x令f'(x)>0，得-2<x<2；令f'(x)<0，得所以函數(shù)f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞增，在(-∞,-2)和則函數(shù)f(x)的極大值為f(2)=163，極小值為因為函數(shù)g(x)=f(x)-k所以方程f(x)-k-1=0有2個根，即方程f(x)=k±1作出函數(shù)y=f(x)和y=k±1的圖象，如圖，又k+1>k-1，由函數(shù)圖象可得k-1<-163k+1<-163解得k<-193或k>193，所以因為h(k)=lg(9k故函數(shù)h(k)的值域為(0,+∞故選：C【變式7-1】5.（2023·北京·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.給出下列四個結(jié)論：①函數(shù)f(x)的值域是R；②?a>1，方程f(x)=a恰有3個實數(shù)根；③?x0∈R+【答案】②③④【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對四個結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)f(x)=ln對于①，由圖可知，函數(shù)f(x)的值域不是R，故①不正確；對于②，由圖可知，?a>1，方程f(x)=a恰有3個實數(shù)根，故②正確；對于③，當?x0∈R+時，使得有f(-x0對于④，不妨設互不相等的實數(shù)x1,x2,由圖可知x1+xlnx3=所以x1+x而y=1x-x在x∈所以x1則x1+x2x故答案為：②③④.題型8高斯函數(shù)值域問題取整函數(shù)（高斯函數(shù)）1.具有“周期性”2.一端是“空心頭”，一端是“實心頭”3.還可以引入“四舍五入”函數(shù)作對比因為它具有“類周期性”，所以考查函數(shù)值域多與數(shù)列關聯(lián)..【例題8】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)f(x)=ex-e-xex+e-x，g(x)=[f(x)]（[x]表示不超過A．f(x)是R上的增函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)C．g(x)是非奇非偶函數(shù) D．g(x)的值域是{-1,0,1}【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可判斷選項B，C，再通過求導判斷選項A，通過f(x)的值域求得g(x)的值域.【詳解】由f(x)=ex-e-xexf(-x)=e-x-由題意f(1)=1-2e2+1∈(0,1)，f(-1)=-1+2e又f(x)=ex-e-xex故選：D.【變式8-1】1.（2023·全國·高三對口高考）給定集合A=a1,a2,①若A=0,1,2,3，則L②定義函數(shù)fx=x?x其中x表示不超過x的最大整數(shù)，如1.5=1，-1.3=-2，當x∈n,n+1【答案】51008【分析】①根據(jù)LA的定義計算即可；②根據(jù)高斯函數(shù)的定義，得到n2≤x[x]<n2【詳解】空1：0+1=1,0+2=2,0+3=3,1+2=3,1+3=4,2+3=5,其中不同值的個數(shù)為5，故LA空2：n≤x<n+1，則[x]=n，所以n2則fx的值域為=任取兩個元素相加，不同的結(jié)果有(n-1)+(n-2)=2n-3（個），則2n-3=2013，解得n=1008.故答案為：5；1008.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是對LA的定義以及高斯函數(shù)的定義理解通徹，從而得到關于n【變式8-1】2.（2023春·四川綿陽·高三綿陽中學?？茧A段練習）已知x∈R，符號x表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)fx①函數(shù)fx的值域為0,1②函數(shù)fx③函數(shù)fx是(0,+④方程fx=a有且僅有3個根時，其中正確的序號為．【答案】④【分析】對于①②，通過分析x∈(0,1)，x∈[1,2)，x∈[2,3)等區(qū)間依次分析fx的解析式與值域，從而得以判斷；對于③，利用特殊值排除即可；對于④，作出f【詳解】對于①②，因為符號x表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)fx所以當x∈(0,1)時，x=0，則f(x)=0當x∈[1,2)時，x=1，則f(x)=當x∈[2,3)時，x=2，則f(x)=當x∈[3,4)時，x=3，則f(x)=依此類推，可知函數(shù)fx=xxx>0對于③，因為f32=所以函數(shù)fx=x對于④，結(jié)合選項AB中的分析，作出f(x)=[x]x(x>0)因為方程fx=a有且僅有3個根，等價于fx與y=a結(jié)合圖像可知，當34<a≤45時，fx與y=a故答案為：④..【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵點在于理解符號x的意義，從而分區(qū)間討論fx【變式8-1】3.（2022秋·江西贛州·高三贛州市贛縣第三中學?？奸_學考試）定義函數(shù)f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，當x∈[0,n)時，f(x)的值域為An，記集合An中元素的個數(shù)為an，則1【答案】4040【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷f(x)在x∈[0,n)上值域中元素的個數(shù)an，進而可得1【詳解】由題設，x[x]={0,0≤x<1所以f(x)在各區(qū)間上值域中元素個數(shù)為1、1、2、…、n-1，所以an=1+1+2+3+...所以1a故答案為：40402021【點睛】關鍵點點睛：利用[x]的定義判斷f(x)在[n-1,n)上值域元素的個數(shù)，再應用分組、等差數(shù)列前n項和公式求an【變式8-1】4.（多選）（2022·全國·高三專題練習）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．下列命題是真命題的是（

）A．?x∈R，B．?x,y∈R，[x]+[y]?[x+y]C．函數(shù)y=x-[x](x∈R)D．若?t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[【答案】BCD【分析】利用取整函數(shù)的定義判定選項A錯誤；構(gòu)造x=[x]+a，利用取整函數(shù)的定義判定選項B正確；利用取整函數(shù)的定義求y=x-[x](x∈R【詳解】對于A:因為[x]是整數(shù)，若x?[x]+1，[x]+1是整數(shù)，所以[x]?[x]+1，矛盾，即選項A錯誤；對于B：?x,y∈R，設x=[x]+a，y=[y]+b，a,b∈[0,1)，所以x+y=[x]+a+[y]+b，[x+y]=[x]+[y]+[a+b]，所以[x]+[y]?[x+y]，即選項B正確；對于C：由定義，得x-1<[x]?x，所以0?x-[x]<1，所以函數(shù)f(x)=x-[x]的值域為[0,1)，即選項C正確；對于D：若?t∈R，使得[t3]=1，[t則1?t<32，42?t<43，53因為64若n?6，則不存在t滿足1?t<32，所以只有n?5時，存在t∈[5即選項D正確．故選：BCD．題型9“倍縮”函數(shù)值域問題當函數(shù)的定義域與值域成倍數(shù)時，可以將問題轉(zhuǎn)化為圖像有兩個交點的問題.【例題9】（2023春·浙江寧波·高三寧波市北侖中學校考期中）已知函數(shù)fx=x+1+m，若存在區(qū)間a,b(b>a≥-1)，使得函數(shù)fx在A．m>-178C．m≤-2 D．-【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，建立方程組，等價轉(zhuǎn)化為二次方程求根，建立不等式組，可得答案.【詳解】由函數(shù)fx=x+1由函數(shù)fx在a,b上的值域為2a,2b，則f等價于4x2-4m+1x+m2-1=0存在兩個不相等且大于等于解得-17故選：D.【變式9-1】1.（2023·全國·高三專題練習）對于函數(shù)y=f(x)，若存在區(qū)間[a,b]，當x∈[a,b]時，f(x)的值域為[ka,kb]，則稱y=f(x)為kf(x)=ex是k倍值函數(shù)，則A．(0,1e) B．(1,e) C．【答案】C【分析】可看出y=f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，可得出a,b是方程ex=kx的兩個不同根，從而得出k=exx【詳解】解：y=f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，∴f(a)=ka,f(b)=kb，即ea即a,b是方程ex∴k=e設g(x)=e∴當x<0時g'(x)<0,函數(shù)g(x)=e0<x<1時，g'(x)<0；x>1時，∴x=1是g(x)的極小值點，∴g(x)的極小值為：g(1)=e，又x趨向0時，g(x)趨向+∞；x趨向+∞時，g(x)趨向+∞，∴k>e時，y=k和y=g(x)的圖象有兩個交點，方程k=e∴實數(shù)k的取值范圍是(e,+∞)．故選:C．【點睛】方法點睛：用導數(shù)研究函數(shù)的零點，一方面用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；另一方面，也可將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決．【變式9-1】2.(多選)（2023·云南昆明·昆明市第三中學?？寄M預測）函數(shù)f(x)的定義域為D，若存在閉區(qū)間[a,b]?D，使得函數(shù)f(x)同時滿足①f(x)在[a,b]上是單調(diào)函數(shù)；②f(x)在[a,b]上的值域為[ka,kb](k>0)，則稱區(qū)間[a,b]為f(x)的“k倍值區(qū)間”．下列函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”的有（

）A．f(x)=lnxC．f(x)=x2【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合各選項中函數(shù)的單調(diào)性判斷a、b的存在性，即可得答案.【詳解】A：f(x)=ln若f(x)=lnx存在“3倍值區(qū)間”[a,b]，則結(jié)合y=lnx及y=3x的圖象知，方程故f(x)=lnB：f(x)=1若存在“3倍值區(qū)間”[a,b]，則有{f(a)=1a=3bf(b)=1b所以可取a=13，所以f(x)=1C：f(x)=x若f(x)=x2(x≥0)存在“3倍值區(qū)間”[a,b]，則{所以f(x)=xD：當x=0時，f(x)=0；當0<x≤1時，f(x)=1x+1x，從而可得若f(x)=x1+x2存在“3倍值區(qū)間”[a,b]且[a,b]?[0,1]，則有所以f(x)=x故選：BC【變式9-1】3.（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)f(x)=xlnx+2，若存在區(qū)間[a,b]?1e,e，使【答案】1,【分析】根據(jù)導數(shù)判斷f(x)在1e,e【詳解】∵f'∴x?1e,∵a,b?1e,e，∵fx在a,b的值域為ka+1,kb+1即方程fx=kx+1在1即k=fxx+1=x令gx=x∵g'1=0且∴1e?x<1時，g'x<0，gx單調(diào)遞減；又g1∴要使k=fxx+1=xlnx+2故答案為：1,2【點睛】本題關鍵是根據(jù)fa=ka+1fb=kb+1得到方程f【變式9-1】4.（2022秋·江蘇宿遷·高三校考開學考試）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)，滿足f(x+1)為偶函數(shù)，且方程f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根，若存在區(qū)間[m,n]使得f(x)的值域為[3m,3n]【答案】-4【分析】由f(x+1)為偶函數(shù)可以得到函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的對稱軸為x=1，可以結(jié)合題意得到f(x)在[m,n]【詳解】∵f(x+1)為偶函數(shù)

∴f(x)的對稱軸是x=1

∴-又f(x)=x有兩個相等的實數(shù)根，即a∴f(x)=-1∴f(x)∴3n≤∵f(x)在[m,n]上單調(diào)遞增，∴f∴m,n為方程f(x)=3x的兩根-1∴m+n=-故答案為：-4【變式9-1】5.（2022秋·重慶北碚·高三統(tǒng)考階段練習）已知0≤m<n，若函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，則稱f(x)是第k類函數(shù).(1)若f(x)=1-1x是第k類函數(shù)，求(2)若f(x)=4x-x2是第2類函數(shù)，求【答案】(1)0,(2)m=0,n=2【分析】（1）根據(jù)題意，得到1m-1m2（2）由f(x)=-x-22+4，分0≤m<n≤2、0≤m<n≤2【詳解】（1）解：因為f(x)=1-1x在x∈[m,n]是增函數(shù)，且函數(shù)f(x)在x∈[m,n]上的值域是可得1-1m=km所以問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=k與函數(shù)y=-x因為y=-x2+x=-(x-1將x=0代入y=-x2+x將x=12代入y=-x所以函數(shù)y=k與函數(shù)y=-x2+x(x>0)所以k的取值范圍是0,1（2）解：因為f(x)=4x-x當0≤m<n≤2時，f(x)在x∈[m,n]單調(diào)遞增，因為f(x)=4x-x2是第2類函數(shù)，所以fm因為0≤m<n≤2，所以m=0,n=2；當2≤m<n時，f(x)在x∈[m,n]單調(diào)遞減，因為f(x)=4x-x2是第2類函數(shù)，所以則4m-m2-4n-n將m=6-n代入4n-n2=2m因為Δ=36-4×12<0，所以n當0≤m<2<n時，可得當x∈[m,n]，f(x)因為f(x)=4x-x2是第2類函數(shù)，所以2n=4，解得綜上所述，m=0,n=2.題型10“類周期函數(shù)”值域問題“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大.2.放大（縮?。r，要注意是否函數(shù)值有0.3.放大（縮?。r，是否發(fā)生了上下平移.【例題10】（2022·全國·高三專題練習）定義在R上的函數(shù)f(x)，當x∈[-1,1]時，f(x)=x2+x，且對任意x，滿足f(x+3)=2f(x)，則f(x)【答案】[-1,8]【解析】由f(x+3)=2f(x)得f(x)=4f(x-6)，當x∈[5,7]時，x-6∈[-1,1]，代入可得【詳解】∵f(x+3)=2f(x)∴f(x)=2f(x-3)=4f(x-6)當x∈[5,7]時，x-6∈[-1,1]∴f(x)=4f(x-6)=4對稱軸為x=11∴當x=112當x=7時，f∴f(x)在區(qū)間[5,7]上的值域是[-1,8]故答案為：[-1,8].【變式10-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx=1-1-x,0≤x≤2①f92=2②當x∈0,8時，函數(shù)fx值域為0,8③當k∈45,1時方程fxA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題可畫函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可解.【詳解】當x∈0,2時，fx=x,0≤x≤12-x,1<x≤2，2f(x-2)是把f∵f92=2f由題知函數(shù)fx在0,2上函數(shù)fx值域為0,1，在2,4上函數(shù)fx值域為0,2，在4,6上函數(shù)fx值域為0,4，在6,8上函數(shù)fx值域為0,8，故當x∈0,8時，函數(shù)當k=1時有無數(shù)個實數(shù)根，故③錯誤；當a=1-2時，函數(shù)fx的圖象與y=2x2+a的圖象交于(1,1)點，結(jié)合圖象故選：C【變式10-1】2.（多選）（2023春·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)fxA．fB．當x∈2,6時，函數(shù)fxC．當k∈17,D．若fx≥2【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)fx解析式代入即可求解；對于BCD：畫出f【詳解】依題意，根據(jù)分段函數(shù)fx因為f11由題知函數(shù)fx在2,4上的值域為0,4，在4,6上函數(shù)fx值域為故當x∈2,6時，函數(shù)fx值域為當k=25時有5個實數(shù)根，當當a=-1時，函數(shù)fx的圖象與y=2-x結(jié)合圖象20+a≤0，即故選：ABD.【變式10-1】3.（多選）（2022秋·福建廈門·高三廈門外國語學校?？计谥校┮阎瘮?shù)fx的定義域為0,+∞，且滿fx=2A．當λ=-1時，fB．當λ>0時，fx在10,11C．當λ<-1時，fx在0,4nn∈D．當λ>0時，且λ≠1時，若將函數(shù)gx=λx-12與fx的圖象在0,2n【答案】BC【分析】理解函數(shù)fx的性質(zhì)：fx=λfx-2，即fx+2【詳解】不妨令px=2由函數(shù)的性質(zhì)可得：當x≥0時，ffx+2+2+2=λ∴當x∈2n-2,2nn∈N*時，f對于A，當λ＝﹣1，x≥0fx+2=-fx，fx+4=-f由于log25>log24=2，0<對于B，當λ＞0時，10,11?10,12=2×5,2×6

，∴在x∈10,11上，由①知f對于C，由fx=λfx-2得，f因為λ<-1，如圖可知，fx在0,1和4n-1,4n+1在4n-3,4n-1n∈當x∈0,4nfxfx所以fx在0,4nn∈N對D：由圖像可知，gx=λx-12與fx的圖象在0,2nn∈N*有n個交點，且xi=2i-1，y故選：BC．【變式10-1】4.（2023·全國·高三專題練習）設函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x-2)=2f(x)，且當x∈(0,2]時，f(x)=x(2-x).若對任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤3A．72,+C．-∞,-【答案】A【分析】由題設條件畫出函數(shù)的圖象，由圖象分析得出m的取值范圍.【詳解】因為當x∈(0,2]時，f(x)=x(2-x)；f(x-2)=2f(x)，所以f(x)=12f(x-2)，即若f(x)在(0,2]上的點的橫坐標增加2，則對應y值變?yōu)樵瓉淼?當x∈(0,2]時，f(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1故當a<0時，對任意x∈[a,+∞)，當x∈(2,4]時，f(x)=1同理當x∈4,6時，f(x)=-以此類推，當x>4時，必有f(x)≤3函數(shù)fx和函數(shù)y=因為當x∈(2,4]時，f(x)=-1令-12(x-3)2+因為當x∈a,+∞時，f(x)≤3故選：A.【點睛】思路點睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點.【變式10-1】5.（2022秋·廣東深圳·高三北師大南山附屬學校?？茧A段練習）設函數(shù)fx的定義域為R，滿足f(x-2)=2f(x)，且當x∈-2,0時，f(x)=-2x(x+2)．若對任意x∈m,+∞，都有【答案】[【分析】由f(x-2)=2f(x)，判斷函數(shù)值的變化情況，作出函數(shù)f(x)的圖象，再確定m所在的區(qū)間，求出臨界點即可求出結(jié)果．【詳解】當x∈[-2,0)時，函數(shù)f(x)在(-2,-1)上遞增，在(-1,0)上遞減，所以f(x)

由f(x-2)=2f(x)得到12最大值變?yōu)樵瓉淼?2由f(x-2)=2f(x)得到f(x)=2f(x+2)，可得當圖象向左平移2個單位時，最大值變?yōu)樵瓉淼?倍，最大值不斷變大，當x∈[0,2)時，f(x)max=f(1)當x∈[2,4)時，f(x)max=f(3)設x∈[0,2)，x-2∈[-2,0)，f(x-2)=-2x(x-2)=2f(x)，即f(x)=-x(x-2)，由-x(x-2)=34，解得x=1根據(jù)題意，當m≥32時，故答案為：[3題型11抽象函數(shù)值域問題【例題11】（2023·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）已知函數(shù)fx的定義域為R，值域為0,+∞，且fx-yfx+yA．12 B．24 C．42 D．126【答案】D【分析】方法一：采用賦值法及基本不等式可得f02=f方法二：特殊函數(shù)法由題意不妨設fx【詳解】解：方法一令x=0，有f-yfy=f又因為fx所以f0因為fx-y所以fx+y所以2=f所以k=16方法二：抽象出特殊函數(shù)fxk=16故選：D【變式11-1】1.（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx的定義域為R，值域為0,+∞，若fx+1fx-1=4，函數(shù)A．4050 B．4553 C．4556 D．4559【答案】B【分析】推導出函數(shù)fx為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，求出f1、f2、f3、【詳解】由fx+1fx-1=4對任意的x∈R，fx>0，所以，f由①②可得fx+4=fx，所以函數(shù)f因為fx-2為偶函數(shù)，則f因為f2024=f4×506=f0=1，由由fx-2fx因為f-x-2=fx-2，所以，f因為fx+2fx=4，則由f1f3因為2023=4×505+3，所以，n=1=505×2+4+2+1故選：B.【變式11-1】2.（2022秋·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學?？茧A段練習）設定義在R上的函數(shù)fx滿足f0=1，且對任意的x、y∈R，都有2fxy+1=fA．1,+∞ B．C．0,+∞ D．【答案】B【分析】通過特殊法，代值法代入題目中的函數(shù)式即可求得fx=2x+1，從而求出【詳解】令x=y=0，得2f1=f0令y=0，則2f1=fx∵g∴令2x+1=t≥0，則y=所以gx=x-f故選：B.題型12復合函數(shù)值域問題【例題12】（2022·全國·高三專題練習）已知f(x)={-x+1,(x≤1)【答案】-2,1【分析】先求出f(x)的值域，并以此為定義域求函數(shù)F(t)=f(t)-2t的值域.【詳解】由題：f(x)={-x+1x∈(-∞,1],f(x)∈[0,+∞)，x∈(1,+∞),f(x)∈(1,+∞)，所以f(x)的值域[0,+∞)，令t=f(x)∈[0,+∞)，函數(shù)F(x)=f(f(x))-2f(x)的值域即F(t)=f(t)-2t，t∈[0,+∞)的值域，F(xiàn)(t)={-3t+1,0≤t≤1當0≤t≤1時，F(xiàn)(t)∈[-2,1]，當t>1時，F(xiàn)(t)=-1，所以其值域為[-2,1].綜上所述：函數(shù)F(x)=f(f(x))-2f(x)的值域為[-2,1].故答案為：[-2,1]【點睛】此題考查根據(jù)分段函數(shù)求復合函數(shù)值域問題，關鍵在于弄清函數(shù)的復合關系，利用換元法求值域.【變式12-1】1.（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)fx是0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，且ffx-x-A．2,10 B．3,10 C．2,13 D．3,13【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，建立方程，可得答案.【詳解】因為fx是0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，所以存在唯一的t∈0,+則fx因為y=2t+log2t為0,+∞上的增函數(shù)，且所以fx=x+log2x+2．因為fx在故選：D.【變式12-1】2.（2022秋·福建福州·高三福州三中?？茧A段練習）定義在R上的函數(shù)fx的值域為0,π2，且sinA．f1=π2 B．f【答案】D【分析】根據(jù)正余弦的關系可得fx【詳解】由sinfx=因為fx∈令x=1，則2f1=又f2=1，取x=2得f則f3取x=3得f取x=7得f所以f127=f所以選項C錯誤，選項D正確.故選：D【變式12-1】3.（2022秋·天津和平·高三耀華中學?？茧A段練習）（2022秋·上海浦東新·高三上海南匯中學?？计谥校┮阎x在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+x2=0對任意的實數(shù)x都成立，且值域為[0,1].設函數(shù)g(x)=【答案】-【分析】對[f(x)]3-[f(x)]2-x2則對任意的x1∈(-2,12)，存在x2>x1，使得g(x2【詳解】由[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+∵f(x)是偶函數(shù)，且值域為[0,1]，∴fx∵m<1，∴g(x)=x-m畫出兩者圖像如下圖，若對任意的x1∈(-2,12)，存在x2>x1且x∈-∞,12時，gx的圖像要位于fx綜上，實數(shù)m的取值范圍為-1故答案為：-題型13三角函數(shù)值域問題【例題13】（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）函數(shù)fx【答案】[-【分析】化簡得f(x)=cosx-π6-cos3(x-π6)，令t=x-π6，則有g(t)=4cos【詳解】解：因為fx設t=x-π6，因為x∈R則有g(t)=cost-=4(1-cos設m=cos則有h(m)=4m-4m因為h'令h'(m)=0，得所以當-1≤m≤-33或33≤m≤1時，當-33<m<33又因為h(-1)=0，h(-33)=-83所以h(m)的值域為[-8故答案為：[-8【變式13-1】1.（多選）（2022·江蘇常州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)f(x)=|sinA．函數(shù)f(x)的值域為[-B．函數(shù)f(x)是一個偶函數(shù)，也是一個周期函數(shù)C．直線x=3π4是函數(shù)D．方程f(x)=log【答案】ABD【分析】利用函數(shù)f(x)的奇偶性、周期性分析判斷A，B；利用對稱的性質(zhì)驗證判斷C；利用零點存在性定理分析判斷D作答.【詳解】顯然，f(-x)=|sin(-x)|cos又f(x+2π)=|sin(x+2π)|cos(x+2π)=|sin當0≤x≤π時，0≤2x≤2π，f(x)=sinxcosx=即當0≤x≤π時，f(x)的取值集合是[-12,12]，因f(x)是偶函數(shù)，則當因此，當-π≤x≤π時，f(x)的取值集合是[-12,12]，而2π是f(x)的周期，所以因f(π4)=12，f(5π4)=-1因當x>2時，恒有l(wèi)og4x>12成立，而f(x)的值域為[-1又當0<x<1或π2<x<2時，f(x)的值與log4x的值異號，即方程f(x)=log令g(x)=f(x)-log4x=12sin2x-而g(1)=12sin2>0，g(π因此，方程f(x)=log4x在[1,π2]上有唯一實根，則方程f(x)=log所以方程f(x)=log故選：ABD【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)的定義域為D，?x∈D，存在常數(shù)a使得f(x)=f(2a-x)?f(a+x)=f(a-x)，則函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=a對稱.【變式13-1】2.（2022·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)f(x)=sinπ2x，任取t∈R，記函數(shù)f(x)在[t,t+1]上的最大值為Mt，最小值為mA．1-22C．1-22【答案】C【分析】考慮一個周期內(nèi)ht的情況，根據(jù)t的取值，求得h【詳解】因為ht+4=Mt+4-mt+4因為fx的周期T=2ππ2=4，故f故Mt+4=Mt,mt+4=mt，故又fx在-2,-1單調(diào)遞減，-1,1單調(diào)遞增，在1,2故當t∈-2,-32時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為ft當t∈-32,-1時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為f當t∈-1,0時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為ft+1=cosπ2當t∈0,12時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為1，最小值為當t∈12,1時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為1，最小值為當t∈1,2時，fx在區(qū)間t,t+1上的最大值為ft=sinπ2故ht在-2,2數(shù)形結(jié)合可知，ht的值域為1-故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)值域的求解，涉及三角函數(shù)值域的求解；處理問題的關鍵是能夠根據(jù)題意，找到ht的周期，同時要對t進行分類討論求h【變式13-1】3.（2023·北京海淀·高三專題練習）設函數(shù)fx（1）當a=1時，fx（2）若fx=a恰有2個解，則【答案】-2,22【分析】（1）當0≤x≤π2時，利用倍角公式得到fx=-2cos3x，從而得到（2）先分析得當0≤x≤π2時，fx=a無解；再討論當π2【詳解】（1）因為fx=-a所以當0≤x≤π2時，0≤cos所以fx=-cosx1+當π2<x≤π時，-1≤cosx<0所以fx因為y=2m2-m-1所以y=2m2-m-1在-1,0單調(diào)遞減，故y=2綜上：當a=1時，fx的值域為-2,2（2）當a=0時，fx=0,0≤x≤π2當0≤x≤π2時，0≤cosx≤1，由fx故1+cosx1+因為0≤cosx≤1，所以cos3x≥0，故1+2cos當π2<x≤π時，-1≤cosx<0，由f若1+cosx=0，即cosx=-1，此時顯然此時a1+cosx=所以a=cos2x1+cosx，令故a=cos則fx=a恰有2個解轉(zhuǎn)化為y=a與因為t∈0,1，所以對勾函數(shù)y=2t+1t-4在且當t=22時，y=2×22+2-4=2

所以a∈2故答案為：-2,2；22【點睛】關鍵點睛：第2小問的關鍵在于先分析得當0≤x≤π2時，fx=a無解，從而只需分析π2【變式13-1】4.（2023秋·江蘇南通