2022-2023學(xué)年湖北省武漢市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.2．若虛數(shù)z使得z2+z是實(shí)數(shù)，則z滿足（

）A．實(shí)部是 B．實(shí)部是 C．虛部是0 D．虛部是【答案】A【分析】設(shè)（且），計(jì)算，由其為實(shí)數(shù)求得后可得．【詳解】設(shè)（且），，是實(shí)數(shù)，因此，（舍去），或．故選：A．3．古希臘的數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約前417-前369）通過(guò)如圖來(lái)構(gòu)造無(wú)理數(shù)，記，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用直角三角形中的邊角關(guān)系，兩角和余弦公式，求得的值，即可求解.【詳解】由題意知，，所以.故選：B.4．已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為【答案】B【分析】首先利用余弦的倍角公式，對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，將解析式化簡(jiǎn)為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)化簡(jiǎn)三角函數(shù)解析式，并且通過(guò)余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過(guò)程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡(jiǎn)結(jié)果.5．在中，為邊上的中線，，若，則（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出三角形，結(jié)合向量加減法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】

因?yàn)?所以，即，所以.故選：D6．在中，角對(duì)邊為，且，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】先根據(jù)二倍角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)得到即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，即，所以，在中，由余弦定理：，代入得，，即，所?所以直角三角形.故選：B7．若函數(shù)在區(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，則ω的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，再求出，結(jié)合對(duì)稱軸條數(shù)得到不等式，求出答案.【詳解】，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閰^(qū)間上恰有唯一對(duì)稱軸，故，解得.故選：D8．《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，計(jì)算出，分析可知當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C.二、多選題9．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．z的虛部為－1 C．為純虛數(shù) D．【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算和判斷即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，z的虛部為1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為純虛數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：CD10．已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．C．存在，使得 D．當(dāng)時(shí)，在上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】ABD【分析】對(duì)于A，通過(guò)向量平行的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算即可；對(duì)于B，先得到，再計(jì)算向量的模即可；對(duì)于C，通過(guò)向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算公式計(jì)算得到從而判斷；對(duì)于D，通過(guò)投影向量相關(guān)知識(shí)直接計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，得，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，，在時(shí)無(wú)解，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，在上的投影向量的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD11．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若是銳角三角形，恒成立C．若，，，則符合條件的只有一個(gè)D．若為非直角三角形，則【答案】AD【分析】由正弦定理可以判斷A；借助誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷B；作出示意圖判斷C；根據(jù)兩角和的正切公式可以判斷D.【詳解】對(duì)A，由正弦定理可知，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B，因?yàn)槿切螢殇J角三角形，所以，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C，如示意圖，點(diǎn)A在射線上，，易得，

則，即符合條件的三角形有2個(gè)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)闉榉侵苯侨切?，所以，整理可得，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.12．在數(shù)學(xué)史上，為了三角計(jì)算的簡(jiǎn)便并且更加追求計(jì)算的精確性，曾經(jīng)出現(xiàn)過(guò)下列兩種三角函數(shù)：定義為角的正矢，記作，定義為角的余矢，記作，則（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．若，則C．若，則的最小值為0D．若，則的最小值為【答案】BCD【分析】直接利用定義性函數(shù)和三角函數(shù)關(guān)系式的變換逐項(xiàng)判斷．【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；，令，則，所以，所以，故C正確；因?yàn)椋?，故D正確.故選：BCD三、填空題13．若，其中、都是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，則．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法以及復(fù)數(shù)相等可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得出的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得，因此，.故答案為：.14．已知，若記，則．【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算，求解的值.【詳解】，∴，則有，∴.故答案為：15．銳角滿足，則.【答案】【分析】利用二倍角公式和誘導(dǎo)公式實(shí)現(xiàn)角之間的轉(zhuǎn)化，代入數(shù)值即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，又，且為銳角，所以，即.故答案為：16．筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保．明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）．假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖2，將筒車抽象為一個(gè)半徑為的圓，設(shè)筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，當(dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，經(jīng)過(guò)t秒后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)滿足，則當(dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，可求出，由時(shí)，求出和，從而可求出的關(guān)系式，進(jìn)而可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)【詳解】因?yàn)橥曹嚢茨鏁r(shí)針?lè)较蛎啃D(zhuǎn)一周用時(shí)120秒，所以，得，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，盛水筒M位于點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，得，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以?dāng)筒車旋轉(zhuǎn)100秒時(shí)，盛水筒M對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，故答案為：四、解答題17．已知，，且．(1)求和的值；(2)求與的夾角的余弦值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算法則直接計(jì)算得到，運(yùn)用轉(zhuǎn)化法求得的值；（2）通過(guò)向量夾角的公式直接計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，化?jiǎn)得，；.（2）記與的夾角為，.所以與的夾角的余弦值為.18．已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示．

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圖像求出，得到，進(jìn)而由圖像得到函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)圖像變化求出解析式，再用代入法求值域即可.【詳解】（1）根據(jù)函數(shù)的部分圖像，得，，所以．根據(jù)圖像可得，，所以，又因?yàn)?，所以，所?（2）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，可得的圖像，再將得到的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．由，可得，所以，所以.所以函數(shù)在的值域?yàn)?19．某自然保護(hù)區(qū)為研究動(dòng)物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個(gè)相距的觀測(cè)站A和B，觀測(cè)人員分別在A，B處觀測(cè)該動(dòng)物種群．如圖，某一時(shí)刻，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)C處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，該動(dòng)物種群出現(xiàn)在點(diǎn)D處，觀測(cè)人員從兩個(gè)觀測(cè)站分別測(cè)得，．（注：點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)）(1)求的面積；(2)求點(diǎn)之間的距離．【答案】(1);(2)．【分析】（1）由正弦定理求得的長(zhǎng)，利用三角形面積公式，即可求得答案；（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以,，所以的面積為．（2）由，，得，且,．在中由余弦定理，得,所以．即點(diǎn)C，D之間的距離為．20．△ABC的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長(zhǎng).【答案】(1)(2).【詳解】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計(jì)算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長(zhǎng)為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長(zhǎng)為.點(diǎn)睛:在處理解三角形問(wèn)題時(shí)，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時(shí)需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問(wèn)題常見(jiàn)的一種考題是“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，求面積或周長(zhǎng)的取值范圍”或者“已知一條邊的長(zhǎng)度和它所對(duì)的角，再有另外一個(gè)條件，求面積或周長(zhǎng)的值”，這類問(wèn)題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21．如圖，在中，已知，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn).

(1)求；(2)求的余弦值.【答案】(1)(2)的余弦值為【分析】(1)由條件可得，兩邊平方結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)可求，(2)與的夾角相等，根據(jù)向量夾角公式可求其大小.【詳解】（1）又已知為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，又，，，所以，所以，（2）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以,所以，，所以，又與的夾角相等，所以，所以的余弦值為.22．對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．記向量的相伴函數(shù)為．(1)當(dāng)且時(shí)，求的值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先通過(guò)已知條件求得，進(jìn)而求得，通過(guò)配角的方法并結(jié)合正弦差角公式