2022-2023學(xué)年湖南省長沙市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1．已知集合，則=A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．【詳解】由題意得，，則．故選C．【點(diǎn)睛】不能領(lǐng)會交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】兩邊同乘以的共軛復(fù)數(shù)，然后化簡運(yùn)算求得，進(jìn)而得解.【詳解】,∴，∴，故選：A3．在中，“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可?！驹斀狻坑?，則或，所以能推出，但推不出，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.4．某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.故選：D.5．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，函數(shù)為奇函數(shù)，但在定義域上函數(shù)不單調(diào)，故A不符合；對于B，的定義域?yàn)?，，則為偶函數(shù)，故B不符合；對于C，的定義域?yàn)?，，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上均為增函數(shù)，故在上為增函數(shù)，故C不符合；對于D，的定義域?yàn)椋?，則為奇函數(shù)，又函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故在上為減函數(shù)，故D符合.故選：D.6．已知平面向量，，且，則（

）A．1 B．14 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的模長公式以及數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所?故選：B7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用湊角，同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的余弦公式轉(zhuǎn)化計算.【詳解】，故選：B8．把邊長為的正方形沿對角線折成直二面角，則三棱錐的外接球的球心到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圖形的幾何性質(zhì)得球心位置，利用等體積轉(zhuǎn)化求點(diǎn)面距離即可.【詳解】由圖所示，易知三棱錐D-ABC的外接球球心為AC的中點(diǎn)O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面OBC，計算可得BC=CD=BD=，設(shè)球心到平面的距離為，則.故選：A二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差【答案】BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因?yàn)闆]有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)槭亲钚≈担亲畲笾?，則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯誤；對于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：BD.10．如圖，在長方體中，，，，以直線，，分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為，5，B．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，8，C．點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，5，D．點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，5，【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)圖示分析即可；對B，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，再根據(jù)為的中點(diǎn)列式求解即可；對C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對D，根據(jù)平面求解即可【詳解】對A，由圖可得，的坐標(biāo)為，5，，故A正確；對B，由圖，，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為則，解得，故，故B錯誤；對C，在長方體中，所以四邊形為正方形，與垂直且平分，即點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，選項(xiàng)C正確；對D，因?yàn)槠矫妫庶c(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)為，即，選項(xiàng)D正確；故選：ACD.11．已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則至少有一條與直線垂直D．若，則【答案】BCD【分析】根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系進(jìn)行判斷A，由線面、面面垂直的判定寫性質(zhì)判斷BCD．【詳解】若，可能平行也可能異面，A錯；，則，又，則，B正確；若，假設(shè)與不垂直，過直線任一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，因?yàn)?，所以，又，則，又，是平面內(nèi)兩相交直線，因此，而，所以，即直線中如果有一條不與垂直，則另一條必定與直線垂直，C正確；若，如圖，設(shè)，，過直線上一點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，則，同理過在平面內(nèi)作直線，則，因?yàn)檫^一點(diǎn)有且只有一條直線與一個平面垂直，所以重合，即重合為平面和的交線，所以，D正確．故選：BCD．12．已知是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B．當(dāng)時，的零點(diǎn)有6個C．D．若，則【答案】ACD【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和偶函數(shù)的性質(zhì)列關(guān)系式，結(jié)合對稱性的定義，周期函數(shù)的定義判斷AC，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)判斷B，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值的和判斷D.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以為奇函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，由代換為可得，對，由已知，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故正確；對，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質(zhì)可得，所以為函數(shù)的一個零點(diǎn)，設(shè)為函數(shù)的一個正零點(diǎn)，則，所以，即也為函數(shù)的一個零點(diǎn)，所以在上的零點(diǎn)個數(shù)為奇數(shù)，故B錯誤；對，因?yàn)?，，所以，所以，故C正確；對，由選項(xiàng)可得是周期為4的函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題13．已知隨機(jī)事件A，B，事件A和事件B是互斥事件，且，，則．【答案】/【分析】利用互斥事件概率公式即可求得的值.【詳解】事件A和事件B是互斥事件，且，，則故答案為：14．如圖所示，在平行六面體中，，若，則.【答案】2【分析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.15．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為.【答案】2【分析】先計算圓錐的底面周長，即為側(cè)面展開圖的弧長，進(jìn)而求得側(cè)面展開圖的半徑，即為圓錐的母線長.【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開圖的弧長為，又∵側(cè)面展開圖是半圓，∴側(cè)面展開圖的半徑為2，即圓錐的母線長為2，故答案為2.16．已知（）滿足，，且在上單調(diào)，則的最大值為.【答案】【分析】由，得到，再由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求出的取值范圍，即可求出的取值集合，從而求出的最大值；【詳解】滿足，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時最大，最大值為故答案為：四、解答題17．已知函數(shù)，求：(1)的最小正周期；(2)取最大值時自變量x的集合.【答案】(1)最小正周期為(2)【分析】（1）根據(jù)周期的計算公式即可求解，（2）根據(jù)整體法即可求解.【詳解】（1）由，得的最小正周期為.（2）由，解得.故取最大值時自變量的集合為.18．如圖，已知在三棱錐中，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，且平面平面.

(1)求證：平面；(2)求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）要證平面，只需證明；（2）要證，只需利用面面垂直的性質(zhì)證明平面.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以.又平面平面，所以平面.（2）因?yàn)?，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?又平面，所以.19．某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實(shí)行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過的部分按0.5元收費(fèi)，超過但不超過的部分按0.8元收費(fèi)，超過的部分按1.0元收費(fèi).（1）求某戶居民用電費(fèi)用（單位：元）關(guān)于月用電量（單位：）的函數(shù)解析式（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的月用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率直方圖.若這100戶居民中，今年1月份電費(fèi)不超過260元的占80%，求，的值；（3）在（2）的條件下，計算月用電量的75%分位數(shù).【答案】（1）；（2），；（3）375千瓦時.【分析】（1）根據(jù)題意以及分段函數(shù)的知識，求得與之間的函數(shù)解析式.（2）先求得用電量低于400千瓦時的占80%，利用頻率之和列方程組，解方程組求得的值.（3）根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，計算出分位數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以與之間的函數(shù)解析式為（2）由（1）可知，當(dāng)時，，即用電量低于400千瓦時的占80%，結(jié)合頻率分布直方圖可知解得，.（3）設(shè)75%分位數(shù)為，因?yàn)橛秒娏康陀?00千瓦時的所占比例為，用電量低于400千瓦時的占80%，所以75%分位數(shù)在內(nèi)，所以，解得，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時.20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD上的中點(diǎn).

(1)求證：PB平面AEC；(2)設(shè)PA=AB=1，求平面AEC與平面AED夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）根據(jù)線線平行即可得線面平行，（2）利用線面垂直得線線垂直，進(jìn)而得平面夾角的平面角，即可利用邊角關(guān)系求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角即可求解.【詳解】（1）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，又平面平面，平面.

（2）方法一：由于,PA⊥平面ABCD，平面ABCD,所以,平面,所以平面,平面,所以,由于為中點(diǎn)，所以,因此即為平面AEC與平面AED所成角的平面角或其補(bǔ)角，由于,所以,故平面AEC與平面AED所成角的余弦值為.解法二：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，.(1)求B及a，c；(2)若線段MN長為3，其端點(diǎn)分別落在邊AB和AC上，求△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題得，再結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可得到答案；（2）設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式得，代入數(shù)據(jù)有，再利用余弦定理和基本不等式即可求出最值.【詳解】（1）由，得，又，解得,，或由余弦定理，得，當(dāng)時，，又，所以，，當(dāng)時，，矛盾所以，，（2）設(shè)△內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，由（1）知：△ABC為等邊三角形，則，從而（其中指的周長），，，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，.即內(nèi)切圓半徑的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)切圓半徑公式，再結(jié)合余弦定理和基本不等式求出的最大值.22．某校舉行圍棋比賽，甲?乙?丙三人通過初賽，進(jìn)入決賽.決賽比賽規(guī)則如下：首先通過抽簽的形式確定甲?乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，直到一人累計獲勝三局，則此人獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽雙方獲勝的概率均為，且每局比賽相互獨(dú)立.(1)求丙每局都獲勝的概率(2)求甲獲得比賽勝利的概率.【答案】(1)(2)【分析】列舉各問中的可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解.【詳解】（1）丙每局都獲勝有以下兩種情況：第一局甲獲勝，