專題25同解方程（含解析）

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專題25同解方程

1．在一元一次方程中，如果兩個(gè)方程的解相同，則稱這兩個(gè)方程為同解方程；

（1）若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝4與mx＝m+1是同解方程，求m的值；

（2）若關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2是同解方程，求a的值；

（3）若關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝﹣（m+1）是同解方程，求此時(shí)符合要求的正整數(shù)m，n的值．

2．我們把解相同的兩個(gè)方程稱為同解方程.例如：方程：與方程的解都為，所以它們?yōu)橥夥匠?

(1)若方程與關(guān)于的方程是同解方程，求的值；

(2)若關(guān)于的方程和是同解方程，求的值；

(3)若關(guān)于的方程和是同解方程，求的值.

3．如果關(guān)于的方程和的解相同，那么．

4．若關(guān)于x的方程與的解相同，則．

5．方程的解與關(guān)于的方程的解相同，則．

6．若方程2x+1＝﹣3和的解相同，則a的值是．

7．若關(guān)于x的方程x+2=a和2x﹣4=4有相同的解，則a=．

8．當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式x﹣1和3x+7的值互為相反數(shù)．

9．方程與方程的解一樣，則________.

10．已知關(guān)于的方程與方程的解相同，求k的值．

11．如果方程的解與關(guān)于的方程的解相同，試求的值．

12．已知關(guān)于x的方程：與有相同的解，求關(guān)于y的方程的解．

13．若關(guān)于的一元一次方程與的解相同，求k的值．

14．已知關(guān)于x的方程3x－2m＋1＝0與2－m＝2x的解互為相反數(shù)，試求這兩個(gè)方程的解及m的值．

15．a(chǎn)為何值時(shí)，方程3(5x－6)＝3－20x的解也是方程a－x＝2a＋10x的解？

16．如果方程的解與方程4x﹣（3a+1）=6x+2a﹣1的解相同，求式子的值．

17．已知關(guān)于的方程和有相同的解，求的值和這個(gè)解是什么？

18．如果方程的解與關(guān)于的方程的解相同，試求的值．

參考答案：

1．（1）m＝1；（2）a＝﹣7；（3）m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．

【分析】（1）根據(jù)題意解方程再把方程的解代入到mx＝m+1求出m即可；

（2）把a(bǔ)當(dāng)做有理數(shù)解方程，用含a的表達(dá)式表示x，再根據(jù)兩方程同解列方程求a即可；

（3）把m，n當(dāng)成有理數(shù)，用含m，n的表達(dá)式表示x，再根據(jù)兩方程同解列方程求m，n即可；

【詳解】（1）解方程2x＝4得x＝2，

把x＝2代入mx＝m+1得2m＝m+1，

解得m＝1；

（2）關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2得x＝，x＝，

∵關(guān)于x的兩個(gè)方程2x＝a+1與3x﹣a＝﹣2是同解方程，

∴，

解得a＝﹣7；

（3）解關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝（m+1）得x＝，x＝，

∵關(guān)于x的兩個(gè)方程5x+（m+1）＝mn與2x﹣mn＝（m+1）是同解方程，

∴＝，

∴mn﹣3m﹣3＝0，

mn＝3（m+1），

∵m，n是正整數(shù)，

∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6．

【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的參數(shù)．

2．（1）=11；（2）；(3)6.

【分析】（1）分別將兩個(gè)關(guān)于x的方程解出來，根據(jù)同解方程的定義，列出等式，建立一個(gè)關(guān)于m的方程，然后解答；

（2）分別將兩個(gè)關(guān)于x的方程解出來，得到兩個(gè)用含a的代數(shù)式表示的解，根據(jù)同解方程的定義，列出等式，建立一個(gè)關(guān)于a的方程，然后解答；

（3）分別求出兩個(gè)關(guān)于x的方程的解，根據(jù)同解方程的定義，列出關(guān)于a,b的等式，然后整體代入求值．

【詳解】解：（1）解方程得x=7，

把x=7代入得28+5=，

解得=11；

（2）解關(guān)于x的方程得x=，

解關(guān)于x的方程得x=，

∵方程和是同解方程，

∴，

解得；

(3)解關(guān)于的方程得，

解關(guān)于的方程得，

∵和是同解方程，

∴，

∴，

∴==6.

【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程及一元一次方程的解法，正確理解同解方程的定義是解題的關(guān)鍵．

3．##0.5

【分析】先解方程，求出x=3，再將x=3代入方程求解即可．

【詳解】解：解方程，得x=3，

∵關(guān)于的方程和的解相同，

∴將x=3代入方程，得12-2m=11，

解得m=，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查解一元一次方程，正確掌握解一元一次方程的步驟及同解方程的定義是解題的關(guān)鍵．

4．

【分析】求方程的解，代入中解方程即可．

【詳解】解：，

x-a=3，

x=3+a，

∵方程與的解相同，

∴將x=3+a代入，

得，

∴6+5a-12=0，

解得a=，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查同解方程，正確解方程是解題的關(guān)鍵．

5．-1

【分析】先求方程的解，再代入，求得k的值．

【詳解】解方程，

得x＝，

把x＝代入，

得，

解得k＝1．

故答案為：-1．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元一次方程解的定義．解答此題的關(guān)鍵是熟知方程組有公共解的含義，考查了學(xué)生對(duì)題意的理解能力．

6．4

【分析】先求已知方程的解，再利用解相同，確定含字母系數(shù)方程的解，把解代入方程，可求字母系數(shù)．

【詳解】2x+1＝﹣3，

解得：x＝﹣2，

將x＝﹣2代入，得，

解得：a＝4．

故答案為：4．

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，關(guān)鍵是正確解一元一次方程，理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

7．6

【詳解】試題解析：解方程

解得：

方程與方程同解，把代入方程得：

故答案為

8．

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義作答即可．

【詳解】根據(jù)題意得，x﹣1+3x+7=0，解得x=．

故答案是．

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟記相反數(shù)的和為0．

9．-21

【分析】根據(jù)一元一次方程的解法解出方程，根據(jù)同解方程的定義代入計(jì)算即可．

【詳解】解方程得，

因?yàn)榉匠膛c方程的解一樣，

所以把代入方程得：

化簡(jiǎn)整理后可得m=-21

故答案為-21．

【點(diǎn)睛】本題考查的是同解方程的定義：如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程．

10．1

【分析】先解方程，得，因?yàn)檫@個(gè)解也是方程的解，根據(jù)方程的解的定義，把代入方程中求出的值．

【詳解】【方法1】

．

由題意，得方程的解也是．

代入方程，得

．

【方法2】由方法1，可知的解為，

且易知方程的解為．

由題意，得

．

【點(diǎn)睛】在解含字母系數(shù)的方程時(shí)應(yīng)該盡量避免繁雜的運(yùn)算，方法1避免了直接解含字母系數(shù)的方程，而利用方程解的含義將字母系數(shù)方程轉(zhuǎn)化成只含有數(shù)字系數(shù)的一元一次方程，因此方法1是比較簡(jiǎn)捷的方法．

11．．

【分析】分別解出兩方程的解，然后讓它們的解相等，即可求得a的值．

【詳解】解：，

去分母得，

去括號(hào)，

移項(xiàng)合并得5x=50，

解得得x=10，

解，

移項(xiàng)合并得：，

解得x=，

由題意得：，

解得．

【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本題的關(guān)鍵．

12．

【分析】先求出方程的解，將解代入求出m，將m的值代入求得方程的解.

【詳解】解方程：，得x=1，

∵方程與有相同的解，

∴將x=1代入，得3（1+m）=m-1，

解得m=-2，

將m=-2代入，

得

2（3+2y）=3（-2-3y）

解得.

【點(diǎn)睛】此題考查同解方程，解一元一次方程，正確掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵.

13．

【分析】根據(jù)題意，分別求出兩個(gè)方程的解，然后根據(jù)解相同，即可求出答案．

【詳解】解：根據(jù)題意，則

解方程：

；

解方程：

∵兩個(gè)方程的解相同，

∴，

解得：．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的方法和步驟，正確的求出方程的解．

14．兩個(gè)方程的解分別為－3，3.

【分析】分別表示出兩方程的解，根據(jù)兩解互為相反數(shù)即可求出m的值，以及兩方程的解．

【詳解】3x-2m+1=0，

解得：x=，

2-m=2x，

解得：x=，

根據(jù)題意得：+=0，

去分母得：4m-2+6-3m=0，

解得：m=-4，

兩方程的解分別為-3，3．

【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

15．－8.

【詳解】試題分析：由兩個(gè)方程的解相同，求出第五個(gè)方程的解x，代入到第二個(gè)方程即可求出a的值．

試題解析：解方程3(5x－6)＝3－20x得x＝.

將x＝代入a－x＝2a＋10x，得a－2＝2a＋6.

解得a＝－8.

16．-20．

【分析】先求第一個(gè)方程的解，再代入第二個(gè)方程求得a的值，最后求式子a-的值．

【詳解】解方程，

2（x-4）-48=-3（x+2），

2x-8-48=-3x-6，

5x=50，

得：x=10．

把x=10代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1，

得：4×10-（3a+1）=6×10+2a-1，

解得：a=-4，

∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了同解方程，解題的關(guān)鍵是正確的計(jì)算．

17．，

【詳解】試題分析：先分別解兩個(gè)方程，用a表示出x得和，然后根據(jù)解相同得出關(guān)于a的方程，解方程即可．

試題解