第二章生命表

第二章生命表第1頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月本章的主要問題生命表的概念生命表函數(shù)生命表的編制第2頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月本章重點生命表函數(shù)生存函數(shù)剩余壽命死亡效力生命表的構(gòu)造有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型生命表的起源生命表的構(gòu)造選擇與終極生命表有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的三種假定第3頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月本章中英文單詞對照死亡年齡生命表剩余壽命整數(shù)剩余壽命死亡效力極限年齡選擇與終極生命表Age-at-deathLifetableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForceofmortalityLimitingateSelect-and-ultimatetables第4頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)生命表函數(shù)第5頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1生命表的概念生命表的定義:生命表一般要包括兩個基本要素：年齡及相應(yīng)的死亡率。它是以一類、一群、一個整體的人為研究對象、研究他們的平均年齡、最高年齡、最低年齡、平均壽命等方面的特征，從而得到一張反映人的生存和死亡規(guī)律納統(tǒng)計表。生命表在壽險中處于極為重要的地位，壽險保費的厘定和責(zé)任準(zhǔn)備金的計算都是以適當(dāng)?shù)囊延械纳頌榛A(chǔ)。第6頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表的概念生命表的種類一類是以全社會或某地區(qū)為統(tǒng)計對象，按人口普查資料來編制的國民生命表；另一類是以壽險公司經(jīng)驗體而允予承保的人為調(diào)查對象制成的經(jīng)驗生命表。根據(jù)使用的要求不同．又可將經(jīng)驗生命表分成多種類型。如、按應(yīng)用范圍不同可分為壽險生命表和年金生命表、按性別不同可分為男性及女性生命表，按統(tǒng)計范圍的不同可分為檢選生命表、終極生命表和綜合生命表。第7頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月幾種常見生命表壽險生命表與年金生命表男性生命表和女性生命表檢選生命表和終極生命表第8頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個與生命有關(guān)的隨機(jī)變量和分布函數(shù)1．生存函數(shù)S(x)

假設(shè)X是0歲的人在死亡時的年齡．顯然這是一個連續(xù)型隨機(jī)變量。F(x)是它的分布函數(shù)．那么F(x)＝P（X＜x）(x＞o)。意思0歲的人在x歲前死亡的概率。第9頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命函數(shù)的基本性質(zhì)S(x)具有下面幾個基本性質(zhì)：(1)S(0)＝1．即0歲的人必然能活到0歲；S()＝0，即0歲的入永遠(yuǎn)不死是不可能事件。(2)S(x)是關(guān)于x的遞減函數(shù)。(3)一般S(x)還是一個關(guān)于x的連續(xù)函數(shù)。第10頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個與生命有關(guān)的隨機(jī)變量和分布函數(shù)

2．連續(xù)型生存時間變量T(X)T(x)表示年齡x歲的人未來能生存的時間，通常簡寫為T。令G(t)是T的分布函數(shù)，則G(t)＝P(T＜t)．表示x歲的人在年內(nèi)死亡的概率。第11頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個與生命有關(guān)的隨機(jī)變量和分布函數(shù)

3．離散型生存時間變量K(x)K(x)表示x歲的人活到死亡時已生存的整數(shù)年齡，通常簡寫為K。顯然K(x)是T(x)取整而得到的，即K(x)＝L[T(x)]．第12頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表中所示的基本函數(shù)及其關(guān)系

(1)0歲者活到x歲的生存人數(shù)。即

(2)0歲者在x歲與(x十1)歲之間死亡的人數(shù)。即(3)X歲的人在年內(nèi)生存的概率。(4)X歲的人在年內(nèi)死亡的概率。第13頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般的情況在歲死亡的人數(shù)。公式：歲的人在歲死亡的概率。公式：歲的人在歲存活的概率。公式：第14頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般的情況歲的人在歲生存的人年數(shù)。公式：歲的人群未來累積生存人年數(shù)。公式：歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。公式：第15頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月更一般的情況運用生命表函數(shù)可以定義和表述壽險精算中常用的死亡概率：如：（1）（2）第16頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例125歲到75歲之間死亡的人群中，其中30%在50歲之前死亡。25歲的人在50歲之前死亡的概率為0.2，計算解：由已知

(a)(b)由(b)得：代入(a)得：結(jié)果：第17頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例2已知，計算和。解：（1）（2）第18頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生存函數(shù)定義意義：新生兒能活到歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：第19頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月剩余壽命定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。分布函數(shù)：第20頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月剩余壽命剩余壽命的生存函數(shù)：特別：第21頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月剩余壽命：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率第22頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月整值剩余壽命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記概率函數(shù)第23頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月剩余壽命的期望與方差期望剩余壽命：剩余壽命的期望值(均值),簡記剩余壽命的方差第24頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月整值剩余壽命的期望與方差期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡記整值剩余壽命的方差第25頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月死亡力定義：的瞬時死亡率，簡記死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系第26頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月死亡力死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)第27頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)生命表的構(gòu)造第28頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)第29頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)第30頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。第31頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表起源生命表的定義根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發(fā)展歷史1662年,JoneGraunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的特點構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）第32頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表的構(gòu)造原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率）常用符號新生生命組個體數(shù)：年齡：極限年齡：第33頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表的構(gòu)造個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)：

個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)：特別：n=1時，記作第34頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表的構(gòu)造個新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數(shù)：第35頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月生命表實例（美國全體人口生命表）年齡區(qū)間死亡比例期初生存數(shù)期間死亡數(shù)在年齡區(qū)間共存活年數(shù)剩余壽命總數(shù)期初存活者平均剩余壽命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89第36頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1：已知計算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。第37頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.1答案第38頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月選擇-終極生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用第39頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月選擇-終極表實例[x]選擇表終極表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482第40頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)

第41頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)

使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定，估計分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調(diào)和插值)第42頁，課件共48頁，創(chuàng)作于2023年2月三種假定均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾