(完整版)探尋神奇的幻方

探尋神奇的幻方淄博第五中學(xué)雷建環(huán)魯教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)六年級上冊綜合實踐課背景分析

如果將抽象、枯燥的數(shù)字，按一定規(guī)律擺成一個整齊的數(shù)字方陣，則會出現(xiàn)奇特的現(xiàn)象，使人絞盡腦汁，而又感到妙趣橫生，其樂無窮。你可知道這圖充滿了許許多多的數(shù)學(xué)學(xué)問，并且有著廣泛的應(yīng)用。這就是數(shù)學(xué)中的一個珍品——幻方。本節(jié)課從最簡單的三階幻方入手，感受數(shù)學(xué)的神奇與魅力，開發(fā)學(xué)生的計算能力，提高學(xué)生的思維推理能力，使枯燥無味的數(shù)學(xué)變得有味。幻方人人都懂，但是研究起來困難重重。因此，我對幻方這節(jié)的內(nèi)容進行了如下處理，把兩個“議一議”的內(nèi)容整合，再完成“想一想”的內(nèi)容。通過設(shè)計一系列由易到難的問題串，引導(dǎo)學(xué)生在輕松愉悅的氛圍中積極主動的投入到本節(jié)綜合實踐活動課中來。1、綜合運用有理數(shù)混合運算，字母表示數(shù)及其一元一次方程，探索三階幻方的本質(zhì)特征。2、經(jīng)歷觀察、猜想、歸納、類比等活動，初步積累構(gòu)造廣義的

三階幻方的經(jīng)驗。3、通過對蘊含在具體事物中的規(guī)律性結(jié)論進行感受、分析和解釋，初步獲得“由特殊到一般”探究問題的方法和經(jīng)驗。4、進一步體驗合作交流、自主探究的學(xué)習(xí)方式。目標分析難點：構(gòu)造符合要求的廣義的三階幻方。重點難點重點：難點：重點：探索三階幻方的本質(zhì)特征。教學(xué)過程合作探究展示交流情景引入能力挑戰(zhàn)總結(jié)提升布置作業(yè)情景引入洛書（九宮格）三階幻方什么是幻方？

n階幻方是指由1～n2這n2個自然數(shù)組成的一個n行n列的正方形方陣,其各行、各列及兩條對角線所含的n個數(shù)的和都相等。合作探究(1)

在三階幻方中，（1）你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的關(guān)系？橫行、豎行、斜對角的三個數(shù)之和分別是多少？（2）如果把和相等的每一組數(shù)分別連線，這些連線段會構(gòu)成一個怎樣的圖形？描述你得到的圖形有什么特點？（3）你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們?nèi)匀粷M足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關(guān)系?（4）在你構(gòu)造的幻方中，最核心位置是什么？有沒有“成對”的數(shù)？（5）三階幻方中心方格中的數(shù)5與每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)之和之間有什么關(guān)系？（6）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？

在三階幻方中，（1）你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的關(guān)系？橫行、豎行、對角線的三個數(shù)之和分別是多少？（2）如果把和相等的每一組數(shù)分別連線，這些連線段會構(gòu)成一個怎樣的圖形？描述你得到的圖形有什么特點？每個數(shù)字與其對稱位置上的數(shù)字之和均為10圖形均衡對稱，和諧美麗展示交流每個橫行、豎行、對角線的三個數(shù)之和均為15（3）你能否改變上述幻方中數(shù)字的位置，使它們?nèi)匀粷M足你發(fā)現(xiàn)的那些相等關(guān)系?將每個數(shù)字與其對稱位置上的數(shù)字互換或者將幻方旋轉(zhuǎn)，此時仍然滿足那些相等關(guān)系展示交流834159672618753294276951438816357492672159834294753618438951276（4）在你構(gòu)造的幻方中，最核心方格中的數(shù)是什么？有沒有“成對”的數(shù)？展示交流最核心方格中的數(shù)是5，對稱位置上的數(shù)字是成對的。4+6=10,2+8=10,3+7=10,9+1=10最中心方格中的數(shù)字為什么是5？

從奇偶性方面考慮。9個數(shù)的和是45，所以每一行、每一列、每條對角線上的和就是45÷3=15是奇數(shù)，又由于9個數(shù)中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)，如果中間的數(shù)字為偶數(shù)，則還剩下3個奇數(shù)和5個偶數(shù)無法構(gòu)成成對的數(shù)。所以中間的數(shù)一定是奇數(shù)，只有奇數(shù)5不是成對的。所以中間這個奇數(shù)是5。

151515x2×15+3x=3×15x=5x151515153×15+3x=4×15x=5中心方格上的數(shù)字為什么是5？中心方格上的數(shù)字為什么是5？等于15的8個算式分別是：

4+9+2=153+5+7=158+1+6=154+3+8=15

9+5+1=152+7+6=154+5+6=152+5+8=15使用了數(shù)字5的式子有4個

3+5+7=159+5+1=154+5+6=152+5+8=15而中心位置上的數(shù)字使用4次，所以5放在中心位置。（5）三階幻方中心方格中的數(shù)5與每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)之和之間有什么關(guān)系？

中心方格中的數(shù)是每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)之和（幻和）的1/3.也可以說是另兩個數(shù)的1/2.展示交流展示交流492357816奇偶奇偶5偶奇偶奇奇奇偶偶5偶偶奇奇偶奇偶奇5奇偶奇偶結(jié)論：中心位置是5，四個角均為偶數(shù)，另外四個格均為奇數(shù)。

15是奇數(shù)，每一行，每一列，每個對角線的和就為奇數(shù)。相對的數(shù)的情況為要么都是偶數(shù)，要么都是奇數(shù)，所以三階幻方有下列3種排法。（6）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？（6）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？不在一行也不在一列還不在一條對角線上的三個數(shù)中，角上的數(shù)是另兩個數(shù)的和的1/2。展示交流設(shè)中心方格中的數(shù)是x。3x–c-(2x-b)=3x–a-(2x-c),得到（6）你還有什么新的發(fā)現(xiàn)？把每列數(shù)字看成一個三位數(shù)，則這個三位數(shù)之和等于它們的逆轉(zhuǎn)數(shù)之和（276+951+438=672+159+834=1665）把中間一行、中間一列、每條對角線上的數(shù)字看成一個三位數(shù)，則每個三位數(shù)與它的逆轉(zhuǎn)數(shù)之和都等于1110（357+753=951+159=258+852=456+654=1110）展示交流總結(jié)歸納1、中心方格中的數(shù)是每行、每列和每條對角線上的三個數(shù)之和

的1/3，或者是另兩個數(shù)的和的1/2。每行、每列、每條對角

線的三個

數(shù)的和是中心方格中的數(shù)的3倍。2、不在一行也不在一列還不在一條對角線上的三個數(shù)中，角上

的數(shù)是另兩個數(shù)的和的1/2.3、在和相等的8個算式中，中心方格上的數(shù)使用了4次，四個角

上的數(shù)使用了3次，正方形邊上的方格上的數(shù)使用了2次。將9個數(shù)填在3×3（三行三列）的方格中，如果滿足每個橫行、每個豎行和每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，這樣的圖為廣義的三階幻方。合作探究(2)你能用-4，-3，-2，-1，0，1,2,3,4這九個數(shù)構(gòu)造一個廣義的三階幻方嗎？

合作探究(2)你能用-4，-3，-2，-1，0，1,2,3,4這九個數(shù)構(gòu)造一個廣義的三階幻方嗎？(1)在這九個數(shù)中，三個不同的數(shù)相加，和等于0的算式有哪些？（經(jīng)過運用加法交換律后相同的式子視為同一個算式）（2）中心方格中的數(shù)在計算每行、每列及每條對角線上的三個數(shù)相加時使用幾次？由此你認為中心方格中的數(shù)應(yīng)填幾？（3）四個角上的數(shù)在計算每行、每列及每條對角線上的三個數(shù)相加時使用幾次？滿足這一條件的數(shù)有哪些？填這幾個數(shù)時應(yīng)注意什么？合作探究(2)你能用-4，-3，-2，-1，0，1,2,3,4這九個數(shù)構(gòu)造一個廣義的三階幻方嗎？等于0的8個算式分別是：-4+0+4=0-3+0+3=0-2+0+2=0-1+0+1=0-4+3+1=0-3+2+1=0

4-3-1=03-1-2=0加數(shù)中使用了0這個數(shù)字的式子有4個-4+0+4=0-3+0+3=0

-2+0+2=0

-1+0+1=00-331-14-42-21、在下圖所示的廣義的三階幻方中分別給出了3個數(shù)，你能將其余的六個數(shù)都填上嗎？34-1

-6-5

-11

能力挑戰(zhàn)2、將2,3,4,5,6,7,8,9,10填入到3×3的方格中，使得每行、每列、斜對角的三個數(shù)之和相等?（1）從對數(shù)量關(guān)系的感知到將其進行符號化的過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的方法。（2）從研究數(shù)據(jù)存在的變化和規(guī)律，來體會從特殊到一般的內(nèi)在規(guī)律，起到借助數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科思維的核心目的?？偨Y(jié)提升1.閱讀教材《