分式運(yùn)算的幾種技巧專題復(fù)習(xí)

jz*jz*.分式運(yùn)算的幾種技巧分式運(yùn)算的一般方法就是按分式運(yùn)算法那么和運(yùn)算順序進(jìn)展運(yùn)算。但對(duì)某些較復(fù)雜的題目，使用一般方法有時(shí)計(jì)算量太大，導(dǎo)致出錯(cuò)，有時(shí)甚至算不出來(lái)，下面列舉幾例介紹分式運(yùn)算的幾點(diǎn)技巧。一、整體通分法TOC\o"1-5"\h\z.一a2 -例1計(jì)算： a-1a—1【分析】此題是一個(gè)分式與整式的加減運(yùn)算.如能把〔31〕看作一個(gè)整體，并提取“，后在通分會(huì)使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便.通常我們把整式看作分母是1的分式.a2 1a2 a2 (a+l)(a-l)a?-(a+1)(a—1) 1解】 a-1= (a+1)= = = a—1 a—1 a—1a—1 a—1 a—1二、先約分后通分法x+1 x2-2x例2計(jì)算儲(chǔ)+3日2十x2-4分析：直接通分，極其繁瑣，不過(guò)，各個(gè)分式并非最簡(jiǎn)分式，有化簡(jiǎn)的余地，顯然，化簡(jiǎn)后再通分計(jì)算會(huì)方便許多。TOC\o"1-5"\h\zx+1 x(x2) 1x x+1解：原式二(x+1)(x+2)+(x—2)(x+2)=x+2+x+2=x+2三、分組加減法1 2 2 1例3計(jì)算a―2+a+i-a―1-a+2分析：此題項(xiàng)數(shù)較多，分母不一樣.因此，在進(jìn)展加減時(shí)，可考慮分組.分組的原那么是使各組運(yùn)算后的結(jié)果能出現(xiàn)分子為常數(shù)、一樣或倍數(shù)關(guān)系，這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)便。1 1 2 2解：原式二〔a—2-a+2〕+〔a+1-a—1〕4 —4 12=a2—4+a2—1=(a2—4)(a2—1)四、別離整數(shù)法x+2x+3x—5x—4例4計(jì)算 + x+1x+2x—4x—3方法：當(dāng)算式中各分式的分子次數(shù)與分母次數(shù)一樣次數(shù)時(shí)，一般要先利用分裂整數(shù)法對(duì)分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整數(shù)法。衲后*(x+1)+1(x+2)+1(x-4)-1(x-3)-1解：原式二 - + x+1x+2x—4x—3=(1+--)-(1+——)+(1———)一(1———)x+1 x+2x-4x-31 1 1 1=—1———1———1—+—1-x+1x+2x-4x-3

五、逐項(xiàng)通分法例5計(jì)算：1 1例5計(jì)算：a-xa+xa2+x2a4-x4分析：假設(shè)一次通分，計(jì)算量太大，注意到相鄰分母之間，依次通分構(gòu)成平方差公式，采用分段分步法，那么可使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。同類方法練習(xí)題：計(jì)算-L---1--二一--^-——8—x—1x+1x2+1x4+1x8+1六、裂項(xiàng)相消法例6計(jì)算：_1_+ + J +...+ 1 a(a+1)(a+1)(a+2)(a+2)(a+3) (a+9)(a+10)分析：此題的10個(gè)分式相加，無(wú)法通分，而式子的特點(diǎn)是：每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積〔假設(shè)a是整數(shù)〕，聯(lián)想到一1—=---!—，這樣可抵消一些項(xiàng).a(a+1)aa+1解：原式二(—解：原式二(—一——)+(——一——)+(―aa+1a+1a+2a)+-??+(1a+10_1 1_ 10aa+10a(a+10)七、整體代入法11 2x—5xy+2y例7._+_=5求 <——二的值xyx+2xy+y解法1：,「一+—=5」.xy豐0,.所以2x—5xy+2y_

x+2xy+y2 2 11——5+— 2(—+一)—511—+2+—

yxxy1+1+2xy2x5—5_55+2-71 1x+y解法2:由一+—=5彳得， =5,x+y=5xy2x—5xy+2y 2(x+y)—5xyx+2xy+y (x+y)+2xy 5xy+2xy5xy57xy-711 3x+5xy—3y練習(xí)：假設(shè)一一—二5,求 的值.xy x—3xy—y八、公式變形法例8.a2-5a+1=0,計(jì)算a4+」-a4解：由條件可得aW0,：a+-=5.a4+—=(a2+—)2-2=[(a+-)2-2]2-2=(52-2)2-2=527練習(xí)：〔1〕X2+3x+1=0,求X2+——的值.X2九、設(shè)中間參數(shù)法b+ca+ca+b例9. 二 二 abc“b+c ab+ca+ca+b例9. 二 二 abc“b+c a+c解：設(shè) = =ab，計(jì)算:(a+b)(b+c)(c+a)

abc那么b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把這3個(gè)等式相加得2(a+b+c尸(a+b+c)k假設(shè)a+b+c=0,a+b=-c,那么k=-1假設(shè)a+b+cW0,那么k=2(a+b)(b+c)(c+a)ak?bk?ck = =k3abc abc當(dāng)k=-1時(shí)，原式二-1當(dāng)k=2時(shí)，原式二8練習(xí)：〔1〕實(shí)數(shù)區(qū)、丫滿足區(qū):丫=1:2,那么3x二！=x+yxyz2x-3y+4z〔2〕—="=—，那么 工 =。456 3z十、先取倒數(shù)后拆項(xiàng)法〔尤其分子單項(xiàng)，分母多項(xiàng)〕例10.a a2 =7,求 的值a2一a+1 a4+a2+1解：由條件知aW0,「.a2一a+11 18=7和a+a=7a4+a2+1 1 1 15 =a2+——+1=(a+—)2-1=a2 a2 a 49a2 _49a4+a2+115練習(xí)：a+—=5.那么十一、特殊值法(選填題)abc例11.abc=1,那么 + + ab+a+1bc+b+1 ca+c+1分析：由條件無(wú)法求出a、b、c的值，可根據(jù)條件取字母的一組特殊值，然后代入求值.解：令a=1,b=1,c=1,那么原式二1x1+1+11x1+1+11x1+1+1333原式二說(shuō)明：在條件的取值圍取一些特殊值代入求值，可準(zhǔn)確、迅速地求出結(jié)果.練習(xí):y+zx+zx+y練習(xí):〔1〕：xyz豐0不+丫+2=0,計(jì)算 + + 十二、xyz⑵-=|=-，那么456主元法2x—3y+4z_3z例12.X2+y2+z2xyz中0,且3x——4y——z=0,2x+y—8z=0,例12.xy+yz+2zx解：將z看作數(shù)，把3x—4y—z=0與2x+y—8z=0聯(lián)立，3x一4y—z=0,2x+y—8z=0.解得x=3z,解得y—2z.所以，原式二(3z)2+(2z)2+z2_14z2 -1.(3z)-(2z)+(2z)?z+2z?(3z) 14z2ab+bc+acab+bc+ac混合運(yùn)算練習(xí)題X+3y X+2y 2x—3ya2—1a—1a⑷口2xy(5)——+X2—y2(6) 2x+6Xy(8)(a2—4)- a(9)X2—2x+1八(10) .(1x—3、+ )x+1(11)(12)(a2+b2+2)+a2―b2ab(13)(14)().X2—16x+2x—1 4—x(15)計(jì)算：( )+ ,并求當(dāng)％=-3時(shí)原式的值.x2-2xx2-4x+4x【錯(cuò)題警示】一、錯(cuò)用分式的根本性質(zhì)一ATV例1化簡(jiǎn)2夕.”3=1 _五—3yTOC\o"1-5"\h\z(—工+ 2= -錯(cuò)解：原式2 x+2y分析：分式的根本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以〔或除以〕同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變〃，而此題分子乘以3,分母乘以2,違反了分式的根本性質(zhì).1 、二(-z-jv)-66- 正解：原式2 加+二、錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序例2計(jì)算1一口 3-a——?—?(1一口)=1錯(cuò)解：原式1—以分析：乘除是同一級(jí)運(yùn)算，除在前應(yīng)先做除，上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序，致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤._111正解：原式1—以3一口 (3-dt)3三、錯(cuò)在約分例1當(dāng)芯為何值時(shí)，分式1—3元十2有意義？_^-1_1錯(cuò)解］原式E一口(工一2)注一2.由五一2w0得k羊？..,.尤w2時(shí)，分式f一3工十2有意義.

［解析］上述解法錯(cuò)在約分這一步，由于約去了分子、分母的公因式（月-1）,擴(kuò)大了未知數(shù)的取值圍，而導(dǎo)致錯(cuò)誤.［正解］由爐一無(wú)+2#0得xh1且無(wú)羊2.A-1當(dāng)先m1且無(wú)w2,分式『一31十2有意義.］1--］1--,

分式 兀十1有意義?得—1.例2K為何值時(shí)，［錯(cuò)解］當(dāng)冗+1羊0,當(dāng)羌H—1,原分式有意義.,1,［解析］上述解法中只考慮工十1的分母，沒(méi)有注意整個(gè)分母五十1,犯了以偏概全的錯(cuò)誤.［正解］元+1W口，得冗=—1,1-—^0由工十1，得五當(dāng)先H0且無(wú)工一1時(shí)，原分式有意義.五、錯(cuò)在計(jì)算去分母例3計(jì)算q+1.［錯(cuò)解］原式二（口一1）（討+1）-后=a2-1-a2=-1.［解析］上述解法把分式通分與解方程混淆了，分式計(jì)算是等值代換，不能去分母，.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"_S-D0十D M［正解］原式 以+1 口+11厘十1 口+1.六、錯(cuò)在只考慮分子沒(méi)有顧及分母-2例4當(dāng)犬為何值時(shí)，分式/+工-6的值為零.［錯(cuò)解］由卜卜?二0，得先二±2.當(dāng)走二2或無(wú)二—2時(shí)）原分式的值為零.［解析］當(dāng)王二2時(shí)，分式的分母爐十x-6=0,分式無(wú)意義，談不上有值存在，出錯(cuò)的原因是無(wú)視了分母不能為零的條件.［正解］由同一2二0,得界=±2.由爐十五一6H0,得冗工一3且冗工2.:當(dāng)忑=—2時(shí)，原分式的值為零.七、錯(cuò)在“且〃與“或〃的用法［例7x為何值時(shí)，分式F-丈―2有意義錯(cuò)解：要使分式有意義，x須滿足爐—x—2,0,即（工-1）（國(guó)+2）￥口.由冗一1m0得?；蛴稍?2m口得元m—2./,當(dāng)界Hi或界H-2時(shí)原分式有意義.分析：上述解法由（元H口得忑一1羊0或木+2h0是錯(cuò)誤的.因?yàn)椋▁—。與兄+2不0中的一個(gè)式子成立并不能保證（元一D5+2）m0一定成立，只有界一1羊0與忑+2w0同時(shí)成立，才能保證（IXa-2）#Q一定成立.故此題的正確答案是冗注1且兀m-2.八、錯(cuò)在無(wú)視特殊情