蘭大《線性代數(shù)》五

線性代數(shù)五一、單項(xiàng)選擇題（每題4分,共20分）1.下列矩陣中是正定矩陣的為（C）A．[2V341B．(3V2416)C．(O1O02-301-35)D．(?1111200I2)2．設(shè)A為2階矩陣，若∣3A=3,則∣2Al=（C）A．1/2B．1C．4/3D．23.設(shè)矩陣A的秩為r,則A中（C）A.所有r-1階子式都不為0B．所有r-1階子式全為0C至少有一個(gè)r階子式不等于0D．所有r階子式都不為04.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1,。2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（AA?njn2是AX=O的一個(gè)解B．1η+1η是Ax=b的一個(gè)解2 12 2Cηι-η2是Ax=0的一個(gè)解D．2ηι-η2是Ax=b的一個(gè)解5.設(shè)n階方陣A不可逆,則必有（A）A.秩(A)<nB．秩(A)=n-1C．A=0D．方程組Ax=0只有零解、填空題（每題4分,共20分）(3-2\(65-31"A=O1,B=V24)21-10-10,貝UAB二002.設(shè)A為3階方陣，且|A|=3,V4-2-2)則|3A-1|=93.實(shí)對(duì)稱矩陣A=(-2-0VO101―,1所對(duì)應(yīng)的二次型￡1）(x,x,x)= f=2x2-2xx+2xx+x21, 2, 3 _ 1 12 23 34.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1(II23

LJ,α=

22且r(A)=2,則Ax=b的通解是3VJJ(2)(1、(2)(-1、k0+2或k0+210J13J10JI3J5.設(shè)α=(II23

LJ（k為任意實(shí)數(shù)），則A=ααT的非零特征值是14三、計(jì)算題（每題15分，共45分）1.試計(jì)算行列式31—12—513—4201—11—53—31.解3—521110—5—13132—4—1—35—11

0

—5110—5—13131—1005—11—511—51—102.給定向量組α二2、10I3J11

—324)’3、021-1J0]—149)試判斷α4是否為α的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。1，1J，αα23，α3，α42.解一(—21301(0—53—211—30—1 V1—30—10224>0112V34—19JV013—112J>>'100<0'100<001000100所以α=2α

4318-1400102、110>5、28-147>'100<0010031105、21oj-a3,組合系數(shù)為(2,1,1).解二??α=xια÷x2α2+x3α3,即-2x1+x2+3x3=0XI_3x2=.]2x2+2x3=43X1+4x2-X3=9.方程組有唯一解（2,1,1）τ,組合系數(shù)為（2,1,1）.，03.設(shè)矩陣A=-2U-2-342、4的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,使~3√T-ιAT=D.3.解A的屬于特征值人二1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為1=⑵—1，°）,，0,1)T.經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得nι=λ2√5∕5λ

-J5/5

、OJλ2√5∕15λ

4√5∕15

、石/3J?=-8的一個(gè)特征向量為3T2,經(jīng)單位化得nk-2√3'1/3、2/3

1-2/3,,2√∣∕5所求正交矩陣為T=-√5∕5

I。2√15∕15

4√5∕15

45/31/3、2/3-2/3,…什［10 0〕對(duì)角矩陣D=O1OIOO-8,(145/5（也可取T=O［亞152√15∕151/3-、',5∕3 2/3.)-4√5∕15-213)四、證明題（15分）設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E