第三章 矩陣的秩與線性方程組

第三章矩陣的秩與線性方程組矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要工具。矩陣的應(yīng)用已經(jīng)滲透到了包括自然科學(xué)、人文科學(xué)、社會(huì)科學(xué)在內(nèi)的各個(gè)領(lǐng)域。在矩陣?yán)碚撝?，矩陣的運(yùn)算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運(yùn)算的一些基本規(guī)則與技巧。1§3.2

線性方程組解的判定§3.1

矩陣的秩§3.3

分塊矩陣的初等變換及其應(yīng)用(*)§3.4

應(yīng)用舉例2第一節(jié)矩陣的秩定義1：在m×n階矩陣A中，任取k行與l列(k≤m，l≤n)，位于這些行列交叉點(diǎn)處的k×l個(gè)元素按照原來(lái)相對(duì)順序所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的k×l

子矩陣，當(dāng)k和l相等時(shí),此子矩陣為k階方陣，其行列式稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。

中取1，2，3行和1，2，4列交叉處的元構(gòu)成的三階子式為：3

m×n階矩陣A中的k階子式共有個(gè)。定義2:如果在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r＋1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣的秩。記作R(A)。同時(shí)規(guī)定，零矩陣的秩等于0。由定義可得：（1）若矩陣A有一個(gè)r階子式不等于零，則R(A)r（2）若矩陣A的所有r+1階子式全為零，則R(A)r

(3)對(duì)任意m×n矩陣A,必有R(A)=R(AT)（4）矩陣A的秩既不會(huì)超過(guò)它的行數(shù)，又不會(huì)超過(guò)它的

列數(shù)，即R(Am×n)minm,n}(5)若矩陣B是矩陣A的子矩陣,則R(B)R(A)（6）對(duì)n階方陣A=(aij),若aij0，則R(A)=n，稱A為

滿秩矩陣(可逆矩陣)，若aij=0,則R(A)<n,稱A為降秩矩陣(不可逆矩陣)。4

由行列式性質(zhì)可知，在A中當(dāng)所有r＋1階子式全等于零時(shí)，所有高于r＋1階的子式也全等于零，因此A的秩R(A)就是A中不等于零的子式的最高階數(shù)(根據(jù)按行、按列展開即可證明）

行階梯形矩陣的秩等于其非零行的行數(shù)。定理：初等變換不改變矩陣的秩。證明：設(shè)R(A)=r，且A的某個(gè)r階子式Dr

0.而所有的r+1階子式Dr+1=0,若A經(jīng)過(guò)一次行的初等變換變?yōu)锽

1、則B的子式與A的相應(yīng)子式或相等或只差一個(gè)符號(hào)，故有R(A)=R(B);2、矩陣B的子式或者是A的相應(yīng)子式的k倍，或是相等，固有R(A)=R(B);5其中M1就是矩陣A的一個(gè)r+1階子式，故M1=0，M2是矩陣A的一個(gè)含第j行元的r+1階子式經(jīng)與若干行對(duì)換后得到的行列式，故M2=0，所以Dr+1=0.無(wú)論是以上何種情形，矩陣B的r+1階子式都等于0，所以有R(B)≤r=R(A)6以上證明了A經(jīng)過(guò)一次行初等變換變?yōu)锽時(shí)，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過(guò)一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。推論:設(shè)A是任一m×n矩陣,P,Q分別是m階,n階可逆(滿秩)矩陣,則必有R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)上面的定理給出了求矩陣的秩的一種常用辦法。即就是對(duì)待求秩的矩陣進(jìn)行行的初等變換化為行階梯矩陣，那么非零行的行數(shù)就是矩陣的秩。7以上證明了A經(jīng)過(guò)一次行初等變換變?yōu)锽時(shí)，有R(B)≤R(A).由于B也可經(jīng)過(guò)一次行初等變換變?yōu)锳，那么同樣有R(B)≥R(A).所以有R(A)＝R(B).經(jīng)一次行初等變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次行的初等變換矩陣的秩也不變。89101112矩陣秩的性質(zhì):(1)0

R(Am×n)min{m,n};(2)R(A)=R(AT);(3)設(shè)k是不為零的數(shù),則R(kA)=R(A);(4)若矩陣P,Q可逆,則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ);(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);(6)R(A+B)R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則

R(AB)min{R(A),R(B)};(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R(A)+R(B)-n;(9)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,且AB=0,則R(A)+R(B)n;13

(5)max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)+R(B);

證明:因?yàn)锳或B的最高階非零子式總是矩陣(A,B)的非零子式,所以

max{R(A),R(B)}R(A,B)設(shè)R(A)=r,R(B)=s,由第1章中的定理1.5可知,存在可逆矩陣P1,P2,使得AT=P1U1,BT=P2U2,其中U1,U2分別是矩陣AT與BT的行最簡(jiǎn)形,且R(A)=R(AT)=R(U1)=U1的非零行數(shù)為r,R(B)=R(BT)=R(U2)=U2的非零行數(shù)為s,于是14

(6)R(A+B)R(A)+R(B);

證明:將矩陣A,B按列分塊為A=(

1,

2,…n),B=(1,2,…n),從而即矩陣(A+B,B)與矩陣(A,B)等價(jià).由定理得R(A+B,B)=R(A,B),因此

R(A+B)R(A+B,B)=R(A,B)

R(A)+R(B);(7)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)min{R(A),R(B)};

證明:因?yàn)橛尚再|(zhì)(2)及上式又可得,15(8)設(shè)A,B分別是m×n矩陣與n×s矩陣,則R(AB)R(A)+R(B)-n;

證明:設(shè)R(B)=r,由第一章定理可知,存在m階可逆矩陣P和s階可逆矩陣Q,使得由性質(zhì)1,4,5有記AP=(P1,P2),其中P1為m×r矩陣,它是矩陣(AP)的前r列,P2為m×(n-r)矩陣,它是矩陣(AP)的后(n-r)列,則該不等式稱為西爾維斯特不等式16第二節(jié)線性方程組解的判定問(wèn)題1:線性方程組有解的充要條件問(wèn)題2：如何求解？（無(wú)窮解，唯一解以及無(wú)解）設(shè)有線性方程組：它的系數(shù)矩陣記作A=(aij)m×n，增廣矩陣記作?。剑ˋ:b),設(shè)R(A)=r,由前面的知識(shí)可知，r≤R(ā)≤r+1,且ā總可經(jīng)過(guò)初等行變換化為最簡(jiǎn)梯矩陣17于是線性方程組可以化為：由上述方程組可知：1、當(dāng)dr+10即R(A)R(ā)時(shí),原方程組無(wú)解；2、當(dāng)dr+1＝0即R(A)＝R(ā)時(shí),原方程組有解。（1）若r=n，則方程組的解為

（2）若r<n，則方程組變?yōu)椋哼@說(shuō)明，任意給定xr+1,…,xn,就唯一地確定一組x1,x2,…,xr的值，也就是給出了方程組的一組解。這樣的一組表達(dá)式，通常稱為方程組的一般解或通解，而xr+1,…,xn稱為自由變量。18定理3：n元線性方程組有解的情況如下：（1）有解的充分必要條件是R(A)=R(ā).(2)有唯一解的充要條件是R(A)=R(ā)=n.(3)有無(wú)窮多解的充要條件是R(A)=R(ā)<n定理4：n元奇次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩R(A)<n.19推論：n個(gè)方程的n元