第九周 逆矩陣

線性代數(shù)

LinearAlgebra數(shù)信學(xué)院史冊(cè)

矩陣的概念

矩陣的運(yùn)算

逆矩陣

分塊矩陣矩陣的初等變換

矩陣的秩第二章矩陣

教學(xué)基本要求掌握：矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法熟悉：用伴隨矩陣求逆矩陣?yán)斫猓壕仃嚨母拍?，逆矩陣的概念，伴隨矩陣的概念，矩陣的秩的概念。了解：?jiǎn)挝痪仃嚒?shù)量矩陣、對(duì)角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)，方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)，矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念

教學(xué)基本要求重點(diǎn)：矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法，用伴隨矩陣求逆矩陣。難點(diǎn)：逆矩陣的性質(zhì)，用伴隨矩陣求逆矩陣，用初等變換求矩陣的逆矩陣，矩陣的秩。第三節(jié)

逆矩陣一、逆矩陣的概念和性質(zhì)二、逆矩陣的求法三、小結(jié)矩陣與復(fù)數(shù)相仿，有加、減、乘三種運(yùn)算.矩陣的乘法是否也和復(fù)數(shù)一樣有逆運(yùn)算呢？這就是本節(jié)所要討論的問題.這一節(jié)所討論的矩陣，如不特別說明，所指的都是n階方陣.對(duì)于n階單位矩陣E以及同階的方陣A，都有

從乘法的角度來看，n階單位矩陣E在同階方陣中的地位類似于1在復(fù)數(shù)中的地位．一個(gè)復(fù)數(shù)a

≠0的倒數(shù)a－1可以用等式aa－1

=1來刻劃.類似地，我們引入一.逆矩陣的概念和性質(zhì)

定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)例：?jiǎn)挝痪仃囁訣是可逆矩陣，其逆矩陣為其本身例：對(duì)任何方陣，都有所以零矩陣不是可逆矩陣注：若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的定義：如果矩陣B滿足上述等式，那么B就稱為A的逆矩陣， 記作A－1.注：定義中矩陣A,B的地位是平等的，即B是A的逆矩陣，那么A也是B的逆矩陣，記作例

設(shè)求A－1

并非所有的n階方陣都是可逆的。例：對(duì)一個(gè)n階方陣來說，逆矩陣可能存在，也可能不存在。12二、伴隨矩陣及其與逆矩陣的關(guān)系定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣的伴隨矩陣.(2)當(dāng)時(shí)，下面要解決的問題是：在什么條件下，方陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A－1

？方陣A是可逆的,有定義知存在方陣B使得AB=BA=E，兩邊去行列式得,則反之呢？即能否得到方陣A可逆矩陣可逆判定定理

矩陣可逆的充要條件是，且

證明必要性若可逆，充分性按逆矩陣的定義得證畢注：1）此定理適用于低階（2或3）矩陣的求逆2）此定理在理論推導(dǎo)中非常有用

3）階數(shù)較高的矩陣尋求別的方法（初等變換法）

4）該定理不僅給出判別逆矩陣的充要條件，而且還給出了求解方法-----伴隨矩陣法奇異矩陣與非奇異矩陣的定義例

設(shè)，試問：a,b,c,d滿足什么條件時(shí)，方陣A可逆？當(dāng)A可逆時(shí)，求解：當(dāng)時(shí)，A可逆，這時(shí)上個(gè)式子可以作為求二階方陣的逆矩陣的一般公式.二階矩陣的逆矩陣的口訣：一除(行列式)，二調(diào)(主對(duì)角線元素)，三變號(hào)(次對(duì)角線變號(hào))例

設(shè)，試問：方陣A是否可逆？當(dāng)A可逆時(shí)，求二階矩陣的逆矩陣的口訣：一除(行列式)，二調(diào)(主對(duì)角線元素)，三變號(hào)(次對(duì)角線變號(hào))例求方陣的

逆矩陣.

解求得|A|=1