（滬教版2021必修三）上海高二數(shù)學訓練-（提優(yōu)卷）期末滿分沖刺模擬卷三

(提優(yōu)卷)期末滿分沖刺模擬卷三(教師版)

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題(共3()分)

1.(2020?上海財經(jīng)大學附屬中學)某學校10位同學組成的志愿者組織分別由李老師和

張老師負責，每次獻愛心活動均需該組織4位同學參加.假設(shè)李老師和張老師分別將各

自活動通知的信息獨立，隨機地發(fā)給4位同學，且所發(fā)信息都能收到.則甲同學收到李

老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為

2?12C16匹4

A.-B.—C.—D.一

525255

【答案】c

【分析】

甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的對立事件是甲同學既沒收到李老師

的信息也沒收到張老師的信息，李老師的信息與張老師的信息是相互獨立的，由此可計

算概率.

【詳解】

設(shè)甲同學收到李老師的信息為事件A,收到張老師的信息為事件B,A、B相互獨立，

42

P(A)=P(B)=—=-,

則甲同學收到李老師或張老師所發(fā)活動通知的信息的概率為

——3316

l-P(AB)=l-(l-P(A))(l-P(B))=l--x-=—.

故選C.

【點睛】

本題考查相互獨立事件的概率，考查對立事件的概率.在求兩個事件中至少有一個發(fā)生

的概率時一般先求其對立事件的概率，即兩個事件都不發(fā)生的概率.這樣可減少計算,

保證正確.

2.(2021?上海)設(shè)樣本數(shù)據(jù)王,無2,…,而)的均值和方差分別為1和4,若%=苦+"("為

非零常數(shù)，，?=1,2,…,10),則加為，…，卅的均值和方差分別為

A.l+a,4B.l+a,4+(zC.1,4D.1,4+a

【答案】A

【詳解】

試題分析：因為樣本數(shù)據(jù)占，々，…，%的平均數(shù)是1,所以加必，…%)的平均數(shù)是

M+y?+...+,]O_X）+0+"2+a+...+勺+"_辦+々+?“+占0+a=\+a.根據(jù)y.=x,+a

101010,

（a為非零常數(shù)，，=1,2,…,10）,以及數(shù)據(jù)%,再，…，Xo的方差為4可知數(shù)據(jù)3%，…，Mo

的方差為]2*4=4,綜上故選A.

考點：樣本數(shù)據(jù)的方差和平均數(shù).

3.（2021?上海市建平中學高二期末）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該

事件在一段時間沒有發(fā)生在規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超

過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標志的是

A.甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4B.乙地：總體均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3D.丁地：總體均值為2,總體方差為3

【答案】D

【詳解】

試題分析：由于甲地總體均值為獸，中位數(shù)為白，即中間兩個數(shù)（第由溫大）人數(shù)的平

均數(shù)為碼，因此后面的人數(shù)可以大于爺，故甲地不符合.乙地中總體均值為[因此這:B

天的感染人數(shù)總數(shù)為1御，又由于方差大于期，故這口感天中不可能每天都是"可以有

一天大于爭，故乙地不符合，丙地中中位數(shù)為翳，眾數(shù)為獸，圈出現(xiàn)的最多，并且可以

出現(xiàn)國，故丙地不符合，故丁地符合.

考點：眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差

4.（2021?上海市松江二中高二月考）已知直線a,5及平面有下列命題：①

\aVb^\aYb\a//b\a//b

1,.naHa；②1〃na_La；③{,〃=>a//a；.n。，。.則其中正確

[bLa[b//a[b//a[bYa

命題的個數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.4個

【答案】B

【分析】

根據(jù)空間中點，線，面的位置關(guān)系及有關(guān)的判定定理，性質(zhì)定理即可判斷出正確命題.

【詳解】

①若W則可能出/a或者aua；

\bla

②若Uz'則可能aua,a〃a或者直線"與平面a相交;

③若I:’則可能a〃a或者"u"；

[b//a

_\allb

④若，，，則由線面垂直的性質(zhì)定理可得

[bla

故選：B.

5.（2017?上海市楊浦高級中學）已知直線/，平面a,直線機u平面夕，給出下列命題，

其中正確的是

①a//B=lLm；②a_L〃=>/〃a；③///〃?na_LQ；④/-Lmna〃尸

A.①④B.②③④C.①③D.①②③

【答案】C

【分析】

由線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)一一判斷即可得出答案.

【詳解】

由。///，直線/L平面a,可得直線/L平面夕，因為直線〃?u平面夕，所以/，加，

故①正確；由aJ?戶，直線/，平面a,可得直線/u平面/或直線/||平面夕兩種情況，

因為直線mu平面夕，得直線/和直線"?可能平行、相交或異面，即位置不確定，故②

不正確；由直線/_L平面”，/〃機可得直線，“，平面a,又因直線機u平面夕，所以可

得。_L/,故③正確；由直線/J_平面a,/_Lm可得〃|?「平面a或mu平面a,又因直

線mu平面夕，所以平面a與平面。的位置不確定，故④不正確，綜上可得①③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查了線線、線面、面面的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于綜合性的基礎(chǔ)題.

6.（2021?上海閔行中學高二月考）已知異面直線a、所成角為80。，尸為空間一定點，

則過P點且與a、b所成角都是50。的直線有且僅有（）條.

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】

在空間取?點尸，經(jīng)過點P分別作〃〃","/〃，分析直線PM滿足它的射影PQ在"萬

所成角的平分線上時的情況可得出答案.

【詳解】

在空間取一點P,經(jīng)過點P分別作a//a',b//b',

設(shè)直線"'2'確定平面a,

當直線PM滿足它的射影產(chǎn)。在心"所成角的平分線上時，PM與a'所成的角等于PM

與6'所成的角，

因為直線。、6所成角為80?！昧?所成銳角為80。,

所以當直線PA/的射影PQ在。'力'所成銳角的平分線上時，PM與所成角的范圍是

[40°,90°）,

這種情況下,過尸點有2條直線與a、6所成角都是50。；

當直線PM的射影PQ在。'，少所成鈍角的平分線上時，PM與力'所成角的范圍是

[50°,90°）,

這種情況下，過P點有且僅有I條直線（即PMua時）與〃、〃所成角都是50。；

綜上所述，過尸點且與。、6所成角都是50。的直線有3條.

7.（2018?徐匯?上海中學高三月考）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

24?

A.-B.-C.2D.；

333

【答案】A

【教師】

由給定的三視圖可知，該幾何體表示一個底面為一個直角三角形，

且兩直角邊分別為1和2,所以底面面積為5=；小2=1

1]?

高為人=2的三棱錐，所以三棱錐的體積為V=3S/Z=3X1X2=H，故選A.

8.（2020?上海高三專題練習）平面a與球。相交于周長為2乃的O。，4,8為0。，上

兩點，若NAOB=J,且A,8的球面距離為變乃，則O。'的長度為（）.

44

A.1B.V2C.乃D.2

【答案】A

【分析】

首先根據(jù)題意，畫出對應(yīng)的圖形，根據(jù)題中的條件，求得OB=R=6,O'B=l,根據(jù)

球的截面圓性質(zhì)，勾股定理求得結(jié)果.

【詳解】

因為。為球心，ZAOB=-,

4

所以設(shè)球半徑可得A,B的球面距離為工R二立），

44

所以O(shè)B=R=血,

又因為。。的周長為2萬，

所以24。8'=24=>0'8=1,

根據(jù)球的截面圓性質(zhì)，可得及AB。。'中，。。'々。加―O'y=1，

故選：A.

【點睛】

該題考查的是有關(guān)球的問題，涉及到的知識點有球面距離，球的截面圓的性質(zhì)，屬于簡

單題目.

9.（2021?上海浦東新?華師大二附中）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均

相等，P是棱以上的點（不含端點），記直線心與直線AC所成的角為a,直線戶8與

平面ABC所成的角為夕，二面角P-AC-3的平面角是7則三個角a,p,7中最小

的角是（）

A.aB.PC./D.不能確定

【答案】B

【分析】

根據(jù)異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做P8與AC,

P2與平面A8C,平面以C與平面ABC的夾角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)比較幾個角的

大小.

【詳解】

如圖，取BC的中點Q,作如，平面ABC于點O,

由題意知點。在上，且A0=20D

作PE〃AC,PE交VC于點E,作PR!A。于點F,連接BF,則尸F(xiàn)_L平面4BC

取AC的中點M,連接8例，VM,VM交PE于點H,

連接8”，易知BHLPE,

作于點G,連接FG,

由尸G_LAC,PFLAC,PG^\PF=P,

由線面垂直判定定理可得AC,平面PGF,又FGu平面PGF

：.FGLAC,

作FNLBM于點N.

'：PG//VM,PF//VN

：.平面PG尸〃平面WWB,又PH//FN、

四邊形PFN”為平行四邊形，

所以PH=FN

因此，直線P8與直線AC所成的角。=N8P￡,

直線PB與平面ABC所成的角〃=NPBF,

二面角P-AC-B的平面角y=NPGF,

又82=里=里<也=C°S0

PBPBPB

jr

又外萬￡。5],

a>/3

因為

PFPF

tan/--->---=tanP

GFBF

冗

分八（。,萬）

Y>P

綜上所述，中最小角為夕，故選B.

【點睛】

(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：

①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成：

②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解.

(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂

線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得

二面角的平面角.

10.(2020?寶山?上海交大附中高二期末)如圖為某水晶工藝品示意圖，該工藝品由一個

半徑為R的大球放置在底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)，球與圓柱下底面相切為增加觀賞

效果，設(shè)計師想在圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實心小球，且滿足小球恰好與

圓柱底面、圓柱側(cè)面及大球都相切，則該工藝品最多可放入()個小球.

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】

圓柱與球的空隙處放入若干大小相等的實心小球，且滿足小球恰好與圓柱底面、圓柱側(cè)

面及大球都相切，過球心與圓柱體底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，利用幾何關(guān)系

計算即可.

【詳解】

如圖，過球心與圓柱體底面圓心的平面截得該圖形的平面圖，設(shè)球的半徑為R,實心小

球的半徑為『，由題意可得：丘r+r+R=?，解得：R=（3+2丘）r,

R+r

因為小球球心在以E為圓心，EF為半徑的圓匕EF=-^,周長為2萬EF,

所以2"7?2萬所，即

）R+r

正江=」：=缶（"「）=Z［（3+2&+「］66

2r2r2r2r'/

故該工藝品最多可放入15個小球.

故選：B.

【點睛】

本題考查空間幾何體與球接、切問題的求解方法.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，

一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用

平面兒何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解.

二、填空題（共24分）

11.（2020?上海市金山中學高二期末）如圖，四邊ABCQ為矩形，平面ABCZ）,

AF//ED,A8=4,BC=3,Z)E=3AF=6,貝!J多面體A8CDE/的體積等于

【答案】28

【分析】

將多面體體積分割為兩個部分，即VM陽=VB-ADEF+VB-CDE，利用棱錐體積的求解方法

分別求出三棱錐和四棱錐體積，加和可得結(jié)果.

【詳解】

連接BD，則VABCDEF=^R-ADEF+^B-COE

???EDI,平面ABC。，AB\平面A8CD,:.ED±AB,

又四邊形ABC。為矩形，.'AB_L4),又EDcAD=D,AZ)u平面A￡)￡F,

A8_L平面

...SA”EF=g(AF+°E>A￡>=；x(2+6)x3=12,AB=4,，V8To仃=：*12乂4=16；

又VB-CDE=%-BC"=gS?>.E。=；xJx4x3x6=12,

?■^ABCDEF=16+12=28.

故答案為：28.

12.(2021?上海高二月考)已知空間四邊形ABC。，AB=CD=2,且AB與CD所成的

角為之,設(shè)￡、尸分別是BC、的中點，則E尸的長度為.

【答案】1或6

【分析】

連接3D，取8。的中點。，連接OE、OF,分NEOF=2或NE0F=與進行討論，結(jié)

合余弦定理可求得EF的長.

【詳解】

連接BO,取B。的中點0,連接OE、OF,如下圖所示：

A

■：O.E分別為8。、8c的中點，則OE〃C。且OE=1C￡>=1,

2

同理可知。F//A8且。尸=1/18=1,

2

TTIT24

因為AB與C。所成的角為5,則NEOF='或ZEOF=y.

■rr

①若NEOF=§,則ZXEOF為等邊三角形，故防=?！?1；

②若NEOF=—,由余弦定理可得EF=,OE2+OF2-2OE-OFcos—=43.

3V3

綜上所述，EF=1或乖）.

故答案為：1或右.

13.（2021?上海市進才中學高二期中）如圖，長方體4BCD-ASGA中，

AD=],DD、=2,AB=g,E,F,G分別為4B,BC,CQ中點，點尸在平面A6CZ）內(nèi),

若直線RP〃平面EFG,則線段。7長度的最小值是.

【答案】叵

2

【分析】

首先找出過點。且與平面"G平行的平面，然后在所作的平面內(nèi)找線段?！洪L度的最

小值即可.

【詳解】

連接￡>[A,￡)C，4c,

因為E,F,G分別為AB,BC,CQ中點,

所以AC7/EF,又因為所0面ACQ,ACu面AC",所以斯〃面4c。，

同理EG//面ACR,

又因為EG^EF=E,所以面EFGH面ACD,,

因為直線〃平面EFG,所以點尸在直線AC上，且當RP，AC時，線段。/的長度

最小，

在△ACA中，ADt=y/5,AC=2,CD、=后,

所以cosNZ）［AC=^^,sinZD.AC=,

110110

所以SAc。=—X2X>/5X^^=^^,

△AC幼2JQ2

在△AC"中，設(shè)4c邊上的高為〃，

則Le=L2x〃=?,所以〃=叵，即線段RP長度的最小值為典.

△AC必2222

故答案為：亞.

2

14.（2021?上海市新場中學高二期中）如圖，邊長為2的正方體A8CZ）外有一點P,且

PA垂直于平面ABCD,PA=3,則PC與平面ABCD所成角的大小是（結(jié)果

用反三角函數(shù)值表示）.

【分析】

根據(jù)題意可知，NPC4即為PC與平面48c0所成角，結(jié)合已知條件求出tan/PC4,

即可得到PC與平面ABCD所成角的大小.

【詳解】

連接AC,由PA_L平面ABC。，可知R4_LAC,

故PC與平面ABCD所成角即為NPC4.

P

因為正方體ABC。邊長為2,所以AC=2忘,

PA3372

故tanZ.PCA=

AC~2A/2-4

因此PC與平面ABCD所成角的大小為tan*也.

4

故答案為:,斗.

15.（2019?上海浦東新?華師大二附中高二期末）已知某市A社區(qū)35歲至45歲的居民

有450人，46歲至55歲的居民有750人，56歲至65歲的居民有900人.為了解該社

區(qū)35歲至65歲居民的身體健康狀況,社區(qū)負責人采用分層抽樣技術(shù)抽取若干人進行體

檢調(diào)查，若從46歲至55歲的居民中隨機抽取了50人，試問這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)

是人.

【答案】140

【教師】

根據(jù)題意可得抽樣比為券=看，則這次抽樣調(diào)查抽取的人數(shù)是

-^（450+750+900）=^x2100=140,

即答案為140.

16.（2020?上海市金山中學高二期末）已知6個正整數(shù)，它們中的最小數(shù)是1,平均數(shù)

是5,中位數(shù)是4,唯一的眾數(shù)是3,若這6個數(shù)的方差最小，則6個數(shù)中的最大數(shù)為

【答案】10

【分析】

分析可知，將這6個正整數(shù)由小到大排列分別為1、3、3、5、b,由已知條件得

出a+6=18,求得6eN*且9Vb<13,利用方差公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得

$2的最小值及其對?應(yīng)的6的值，即為所求.

【詳解】

將這6個正整數(shù)由小到大排列可知，6個正整數(shù)中有2個3,

由于該組數(shù)的中位數(shù)為4,可設(shè)該組數(shù)由小到大排列為1、3、3、5、a、b,

因為該組的平均數(shù)為5,則吐3±3：5比〃=5,可得4+3=18,故。=18-6,

因為5vavb,即5V18—bvb,因為bcN；可得9vZ?vl3,

這6個正整數(shù)的方差為S2Tl6+4+4+0+03叫2+修-5)[=；[0-9)2+28],

因為〃wN*且故當6=10時，取最小值.

故答案為：10.

17.(2016?上海高三月考(理))從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿

者服務(wù)，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.

7

【答案】

【分析】

先求事件的總數(shù)，再求選出的2名同學中至少有1名女同學的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概

型的概率計算公式得出答案.

【詳解】

從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿服務(wù)，共有C；=10種情況.

若選出的2名學生恰有1名女生，有C；C；=6種情況,

若選出的2名學生都是女生，有C；=l種情況，

所以所求的概率為需

【點睛】

計數(shù)原理是高考考查的重點內(nèi)容，考查的形式有兩種，一是獨立考查，二是與古典概型

結(jié)合考查，由于古典概型概率的計算比較明確，所以，計算正確基本事件總數(shù)是解題的

重要一環(huán).在處理問題的過程中，應(yīng)注意審清題意，明確“分類”"分步”，根據(jù)順序有無,

明確“排列”“組合”.

18.（2021?上海高二專題練習）已知兩個不同平面a,。和三條不重合的直線a,b,c,

則下列命題：

（1）若alia,a[\p=b,貝1ja//6

（2）若a,5在平面a內(nèi)，且c」a,c±h,貝!|c_La

（3）若a,“分別經(jīng)過兩異面直線a,b,且cc/?=c,則c必與a或方相交

（4）若a,h,c是兩兩互相異面的直線，則存在無數(shù)條直線與a,dc都相交

其中正確的命題是.（請寫上正確命題的序號）

【答案】⑶（4）

【分析】

簡單的反例可以否定（1）（2）,利用反證法，借助平行公理可以確認（3）,通過較為復

雜的構(gòu)造與證明，可以確認（4）

【詳解】

（1）。在保持與平面a平行的條件下可以在一個與a平行的平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，故a與

定直線匕所成的角是任意的，故（1）錯誤；

（2）當a/平行時，不能保證直線c垂直于平面a,直線c甚至可以在平面a內(nèi)，故（2）

錯誤；

（3）假若c既不與“相交，也不與6相交，由于a,c,都在a內(nèi)，故a,c,平行，同理

平行，

根據(jù)平行公理得到〃力平行，與已知a力為異面直線矛盾，故（3）正確；

（4）如圖所示，a,b,c是異面直線，上下兩個平面a,￡是分別通過a,c中的一條而

與另一條平行的平面，

直線b與這兩個平面都相交，交點48都不在直線上.

在直線方上任取一點不同于AB的點P,由于〃力異面，...PCa,則直線a與點尸確定

一個平面，

可知這平面與直線c相交，設(shè)交點為。，連接PQ的直線與直線。必然相交（否則，這條

線必在平面”內(nèi)），

由于P點的任意性，可知這樣可以做出無數(shù)條直線與。力,c都相交，故（4）正確.

R

【點睛】

本題考查線面的平行相交，異面直線等關(guān)系，關(guān)鍵難點在于（4）的構(gòu)造性證明.

三、解答題（共46分）

19.（本題8分）（2021?全國高三專題練習（理））某品牌餐飲公司準備在1（）個規(guī)模相當

的地區(qū)開設(shè)加盟店，為合理安排各地區(qū)加盟店的個數(shù)，先在其中5個地區(qū)試點，得到試

點地區(qū)加盟店個數(shù)分別為1,2,3,4,5時，單店日平均營業(yè)額y（萬元）的數(shù)據(jù)如

下:

加盟店個數(shù)X（個）12345

單店日平均營業(yè)額y（萬

10.910.297.87.1

元）

（參考數(shù)據(jù)及公式：￡>*=125,￡X：=55,線性回歸方程y=hx+a,其中

1=1?=1

6工），》一〃句a=y-bx.)

E>2--2

（1）求單店日平均營業(yè)額》（萬元）與所在地區(qū)加盟店個數(shù)工（個）的線性回歸方

程；

（2）根據(jù)試點調(diào)研結(jié)果，為保證規(guī)模和效益，在其他5個地區(qū)，該公司要求同一地區(qū)

所有加盟店的日平均營業(yè)額預計值總和不低于35萬元,求一個地區(qū)開設(shè)加盟店個數(shù)m

的所有可能取值；

（3）小趙與小王都準備加入該公司的加盟店，根據(jù)公司規(guī)定，他們只能分別從其他五

個地區(qū)（加盟店都不少于2個）中隨機選一個地區(qū)加入，求他們選取的地區(qū)相同的概率.

【答案】（1）y=~x+\2-（2）5,6,7；（3）

【分析】

（1）先求得T=3,y=9,進而得到％,a求解;

（2）根據(jù)題意，由）（12-加）235求解;

（3）利用古典概型的概率求解.

【詳解】

（1）由題可得，x=3,7=9,設(shè)所求線性回歸方程為y=bx+a,

125-135_

則1

V5X,2-5X255-45

將x=3,7=9代入g=r+%得a=9-(-3)=12,

故所求線性回歸方程為y=-x+12.

（2）根據(jù)題意，，"（12-m）N35,解得：5<m<l,

又,所以in的所有可能取值為5,6,7.

（3）設(shè)其他5個地區(qū)分別為A,B,C,D,E，他們選擇結(jié)果共有25種，具體如下：A4,

AB.AC,AD,AE.BA,BB,BC,BD,BE,

CA,CB,CC,CD,CE,DA,DB,DC,DD,DE,EA,

EB,EC,ED,EE,

其中他們在同一個地區(qū)的有5種，

所以他們選取的地區(qū)相同的概率P==1.

255

20.（本題8分）（2022?全國高三專題練習）北京冬季奧運會將于2022年2月4日至2022

年2月20日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.這是中國歷史上第一

次舉辦冬季奧運會，北京、張家口同為主辦城市，也是中國繼北京奧運會、南京青奧會

之后第三次舉辦奧運賽事.北京冬奧組委對報名參加北京冬奧會志愿者的人員開展冬奧

會志愿者的培訓活動，并在培訓結(jié)束后進行了一次考核.為了解本次培訓活動的效果，

從中隨機抽取80名志愿者的考核成績，根據(jù)這80名志愿者的考核成績，得到的統(tǒng)計圖

表如下所示.

男志愿者考核成績頻率分布直方圖

女志愿者考核成績頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[75,80)20.050

[80,85)130.325

[85,90)120.3

[90,95)am

[95,100]b0.075

若參加這次考核的志愿者考核成績在［90,100］內(nèi).則考核等級為優(yōu)秀.

（1）分別求這次培訓考核等級為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù);

（2）補全下面的2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認為考核等級是否是優(yōu)秀與性

別有關(guān).

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

男志愿者

女志愿者

合計

參考公式："瑞許，其中—

參考數(shù)據(jù):

亦滔）0.100.050.0100.001

K。2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）男志愿者人數(shù)為5,女志愿者人數(shù)為13；（2）列聯(lián)表見教師，有.

【分析】

（1）由頻率分布表可求得機，“，％,從而得培訓考核等級為優(yōu)秀的女志愿者的人數(shù),

由頻率分布直方圖可得培訓考核等級為優(yōu)秀的男志愿者的人數(shù).

（2）補全列聯(lián)表，計算《2,與表中數(shù)據(jù)比較大小可得結(jié)論.

【詳解】

解：（1）由頻率分布直方圖可得，培訓考核等級為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為

（0.015+0.01）x5x40=5,

由頻率分布表可得，=1-0.05-0.325-0.3-0.075=0.25,々=40x0.25=10,

0=40x0.075=3,

培訓考核等級為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為10+3=13.

有95%的把握認為考核等級是否是優(yōu)秀與性別有關(guān).

21.（本題10分）（2021?上海高二專題練習）設(shè)一正方形紙片ABC。邊長為4厘米，切

去陰影部分所示的四個全等的等腰三角形，剩余為一正方形紙片和四個全等的等腰三角

形，沿虛線折起，恰好能做成一個正四棱錐（粘接損耗不計），圖中。為正

四棱錐底面中心.，

?A

c

(1)若正四棱錐的棱長都相等，請求出它的棱長并畫出它的直觀圖示意圖;

(2)設(shè)等腰三角形APQ的底角為X,試把正四棱錐的側(cè)面積表示為.V的函數(shù)，并求S范

圍.

C_____________

【答案】(1)246-242,畫圖見教師；(2)一，上1―，(°，4).

tanx+------+2'/

tanx

【分析】

(1)本題根據(jù)題意先求M=3。，再根據(jù)題意建立方程求棱長；最后根據(jù)棱長畫出

2

它的直觀圖即可；

⑵先設(shè)PH=b,接著建立方程用x表示出“=上也一，再表示出S,最后根據(jù)tanx

tanx+1

的范圍求S范圍即可解題.

【詳解】

(1)由題意，設(shè)正四棱錐的棱長為則

2

tanx+2。=4A/2，可得。=?也

tanx+1

從而S=4S△…欄山”-a2點詈g,其中tan—,

,/=-----件——w(0,4)

tanx+---+2

tanx

【點睛】

本題考查畫幾何體的直觀圖、根據(jù)幾何體的邊角關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系并求范圍，是中檔題.

22.(本題10分)(2021?上海市第三女子中學)如圖，在多面體ABC-A內(nèi)G中，

AA，Bq,CG均垂直于平面ABC,M=4,CC,=3,BB】=AB=AC=BC=2.

(1)求點A到平面ABC的距離；

(2)求平面A8C與平面ABC所成銳二面角的大??；

(3)求這個多面體ABC-ABC的體積.

【答案】(1)2正；⑵⑶3百.

4

【分析】

(1)延長4片、AB交于。，延長AC、AC交于E,連接C|E、B\D、CE、BD、DE,

利用等體積法有匕一WE=^-EAD，即可求A到平面的距離；

(2)由(1)易得AQ1OE、ADA.DE,根據(jù)線面垂直的判定有OEJ?面AA。，進而

可知ZA.DA為平面ABC與平面A4G所成銳二面角，即可求角的大??；

(3)將幾何體補全為直棱柱AFG-ABC,則有匕?廝,利用棱

柱、棱錐的體積公式即可求幾何體的體積.

【詳解】

(1)延長A4、A8交于D,延長AG、AC交于E,連接GE、4。、CE、BD、DE,

：AA，84，CG均垂直于平面ABC,M=4,CG=3,BBt=AB=AC=BC=2,

BD_ICE_CC}_3

而一麗AE-A4^-4解得5D=2,CE=6,

???在△AZ)￡中，AD=4>AE-8,ZEAD——,則4P=Qx4x8xsin§=8*\/5,

,??AE=4底4。=4血，DE2=AD2+AE2-2ADAE-cos1=48,

222

AA.D+DE=A.Ef即4。1￡)￡,故凡人加=;x4&x4G=8",

,?>^A-\DE=以一EAD，若A到平面AB。的距離為人,

二那O￡=g-你-S曲o,故h=2丘.

(2)由(1)知：^。，。后且4^+力爐:凡^,即ADJ_￡)E,

???AtDC\AD=D,

OE,面AA。，則平面48c與平面ABC所成銳二面角為NAQA,

又sin/41DA=q^=#，故么94=(.

(3)將幾何體補全為如下圖示的直棱柱AFG-ABC,

I冗

=

?*?匕8C-A4G=^\FG-ABC-%)-"4G,而^FG-ABCM-S^