點(diǎn)到直線的距離公式 課件-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第二章直線和圓的方程2.3.3點(diǎn)到直線的距離公式思考？

已知點(diǎn)P0(1，1)和直線l：x+y-4=0，如何求點(diǎn)P到直線l的距離？

xoP0Qly

點(diǎn)P到直線l的距離，是指從點(diǎn)P0到直線l的垂線段P0Q的長度，其中Q是垂足．LL1QP(x0,y0)L:Ax+By+C=0

已知：點(diǎn)P(x0,y0)和直L:Ax+By+C=0，怎樣求點(diǎn)P到直線L的距離呢？過點(diǎn)P作直線L1⊥L于Q,怎么能夠得到線段PQ的長?利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PQ|.則線段PQ的長就是點(diǎn)P到直線L的距離.解題思路：步驟

(3)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(4)由兩點(diǎn)間距離公式d=|PQ|.

反思：這種解法的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？分析思路一：直接法預(yù)備知識：對于直線

l:Ax+B

y+C=0(A≠0,B≠0)方向向量和法向量可表示為：如果向量與直線l垂直，則稱向量為直線l的法向量.如果向量與直線l平行，則稱向量為直線l的方向向量.可表示為：P1P2xy0

我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具。能否用向量方法求點(diǎn)到直線的距離？

分析思路二：向量法

探究教材P76思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發(fā)，把問題轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)間的距離，通過代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運(yùn)算求出結(jié)果，簡化了運(yùn)算，除了上述兩種方法，你還有其他推導(dǎo)方法嗎？xyO面積法求出P0Q求出點(diǎn)R的坐標(biāo)求出點(diǎn)S的坐標(biāo)利用勾股定理求出SR用直角三角形的面積間接求法RSd求出P0R求出P0S分析3：面積法xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd獨(dú)立完成推導(dǎo)過程點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離為：

特別地，當(dāng)A=0，B0時(shí)，直線By+C=0特別地，當(dāng)B=0，A0時(shí)，直線Ax+C=0點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)P(x0，y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離為：

特別地，當(dāng)A=0，B0時(shí)，直線By+C=0特別地，當(dāng)B=0，A0時(shí)，直線Ax+C=0注：

(1)運(yùn)用此公式時(shí)要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應(yīng)先化成一般式再用公式.(2)當(dāng)點(diǎn)P0在直線l上時(shí),點(diǎn)到直線的距離為零,公式仍然適用.例1

求點(diǎn)P0（-1,2）到下列直線的距離（1）2x+

y-10=0；（2）3x=2。典例解析例３．已知點(diǎn)P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________.[0,10]所以a的取值范圍是[0,10].例1：

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,求直線l的方程.即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.解:(方法一)當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當(dāng)過點(diǎn)M(-1,2)的直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點(diǎn)到直線l的距離相等,得備選例題(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點(diǎn).當(dāng)l∥AB時(shí),設(shè)直線AB的斜率為kAB,當(dāng)l過AB的中點(diǎn)(-1,4)時(shí),直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.即x+3y-5=0.注意（易錯點(diǎn)）：用待定系數(shù)法求直線方程時(shí),首先考慮斜率不存在是否滿足題意.備選例２.已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)，若點(diǎn)A(5,0)到直線l的距離為3，則l的方程為________________.

解析法一兩直線交點(diǎn)為(2,1)，當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x－2＝0， 此時(shí)A到直線l的距離為3，符合題意； 當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.x＝2或4x－3y－5＝0綜上知，所求直線方程為x－2＝0或4x－3y－5＝0.法二經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.