線性代數(shù)-非齊次線性方程組省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

第二節(jié)(非)齊次線性方程組Ch3矩陣秩與線性方程組第1頁對于m個方程n個未知數(shù)線性方程組b=0,齊次線性方程組b≠0,非齊次線性方程組第2頁一、非齊次線性方程組有解判定條件定理1第3頁不妨設r(A)=r,利用初等行變換把增廣矩陣化為行階梯形

證實：第4頁必要性:若（*）有解，則dr+1=0,即得r(A)=r(A|b)

充分性:若r(A)=r(A|b)

，即dr+1=0,則（*）有解。并令個自由未知量任意取值，rn-即可得方程組一個解．

其余個作為自由未知量,

把這

行第一個非零元所對應未知量作為非自由未知量,第5頁推論解.可逆時,方程組有唯一，即AnAr=)()1(時，方程組無解或無窮多解.）（nAr<)(2定理1’此乃第三章精華所在(Cramer法則)第6頁例1求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣進行初等變換，故方程組無解．第7頁為求解非齊次線性方程組，只需將增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，再將行階梯形矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解。第8頁二、線性方程組解法例2求解非齊次方程組通解解對增廣矩陣進行初等變換第9頁第10頁為何選為非自由未知量？選行最簡形矩陣中非零行首非零元1所在列！第11頁所以方程組通解為第12頁第13頁例3

證方程組增廣矩陣為對增廣矩陣進行初等變換，第14頁第15頁由此得通解：第16頁定理1’而且通解中有n-r(A)個任意常數(shù).結論：兩方程組同解，則系數(shù)矩陣秩相同第17頁例4設有線性方程組解一第18頁第19頁且其通解為第20頁這時又分兩種情形：第21頁第22頁第23頁對非齊次線性方程組下面我們來看齊次線性方程組解情況第24頁定理2

對于n元齊次線性方程組nAr<?)(2有非零解））方程組有沒有窮解（即（推論2

當m<n時，齊次線性方程組必有非零解.推論1

m=n時，對方程組第25頁

為求齊次線性方程組解，只需將系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解。第26頁齊次線性方程組解法例1

求解齊次方程組通解解對系數(shù)矩陣A進行初等變換第27頁故方程組有非零解，且有為何選為非自由未知量？選行最簡形矩陣中非零行首非零元1所在列！第28頁得方程組通解為第29頁解法一因為系數(shù)矩陣為含參數(shù)方陣，故可考慮使用“行列式”法，而例2當取何值時，下述齊次線性方程組有非零解，而且求出它通解．第30頁第31頁通解為第32頁第33頁第34頁解法二用“初等行變換”（法）把系數(shù)矩陣化為階梯形第35頁第36頁例3已知三階非零矩陣B每一列都為齊次線性方程組求Ax=0解，其中(1)值；(2)(3)一個矩陣B解：(1)由題意可知，Ax=0有非零解，所以即所以，第37頁(2)將A化為行最簡形矩陣對應線性方程組為第38頁所以，通解為所以B任兩列對應成百分比，從而(3)由B列為Ax=0解向量，可得B可取為第39頁本章概要一、矩陣秩二、齊次線性方程組解三、非齊次線性方程組解第40頁一矩陣秩1.

矩陣秩概念2.

矩陣秩結論非零子式最高階數(shù)行階梯形矩陣秩等于非零行行數(shù)．(1)(2)(3)(4)(5)(6)第41頁說明若A為n階可逆矩陣，則1.(非奇異矩陣或非退化矩陣)2.(滿秩陣)3.A標準形是單位陣In.4.第42頁(2)初等變換法3.

矩陣秩計算(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行行數(shù)就是矩陣秩).(即尋找矩陣中非零子式最高階數(shù));第43頁定理二齊次線性方程組解1.解理論2.解法把系數(shù)矩陣化成行階梯形矩陣，由定理1分析齊次線性方程組解情況，若r(A)<n，則將行階梯形矩陣化為行最簡形矩陣，寫出對應齊次線性方程組，然后選取自由未知量，并求出其通解.第44頁三非齊次線性方程組解1.解理論對非齊次線性方程組第45頁把增廣矩陣化成行階梯形矩陣，依據(jù)有解判別定理判斷是