高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)試題第八章平面解析幾何

第1節(jié)直線的方程考試要求1.在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.1.直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計算公式①經(jīng)過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點式過兩點eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對應(yīng)關(guān)系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.()(4)經(jīng)過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)當直線的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時，α1＞α2，但其對應(yīng)斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.(2)當直線斜率為tan(－45°)時，其傾斜角為135°.(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等.2.(易錯題)直線xtan60°＋y－2＝0的傾斜角為()A.30° B.60° C.120° D.150°答案C解析設(shè)直線傾斜角為α，∵y＝－xtan60°＋2，∴直線的斜率為k＝－tan60°＝－eq\r(3).∵0°≤α＜180°，∴α＝120°.3.(多選)(2022·煙臺調(diào)研)下列說法正確的是()A.有的直線斜率不存在B.若直線l的傾斜角為α，且α≠90°，則它的斜率k＝tanαC.若直線l的斜率為1，則它的傾斜角為eq\f(3π,4)D.截距可以為負值答案ABD4.(2022·沈陽模擬)直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足()A.ab＞0，bc＜0 B.ab＞0，bc＞0C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0答案A解析由于直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、二、四象限，故斜率小于0，在y軸上的截距大于0，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)＜0，,－\f(c,b)＞0，))故ab＞0，bc＜0.5.(易錯題)經(jīng)過點(4，1)，且在兩坐標軸上截距相等的直線l的方程為________________.答案x－4y＝0或x＋y－5＝0解析當直線過原點時，直線方程為y＝eq\f(1,4)x，即x－4y＝0.當直線不過原點時，設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，代入(4，1)，eq\f(4,a)＋eq\f(1,a)＝1，∴a＝5，故直線方程是x＋y－5＝0.6.(2021·上海卷)直線x＝－2與直線eq\r(3)x－y＋1＝0的夾角為________.答案eq\f(π,6)解析由于直線x＝－2的傾斜角為eq\f(π,2)，直線eq\r(3)x－y＋1＝0即直線y＝eq\r(3)x＋1，其傾斜角為eq\f(π,3)，故夾角為eq\f(π,6).考點一直線的傾斜角與斜率例1(1)直線l過點P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，eq\r(3))為端點的線段有公共點，則直線l斜率的取值范圍為________.答案(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞)解析設(shè)PA與PB的傾斜角分別為α，β，直線PA的斜率是kAP＝1，直線PB的斜率是kBP＝－eq\r(3)，當直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時，它的傾斜角由α增至90°，斜率的取值范圍為[1，＋∞).當直線l由PC變化到PB的位置時，它的傾斜角由90°增至β，斜率的變化范圍是(－∞，－eq\r(3)].故斜率的取值范圍是(－∞，－eq\r(3)]∪[1，＋∞).(2)(2022·宿州模擬)若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1＜k2＜k3B.k3＜k1＜k2C.k3＜k2＜k1D.k1＜k3＜k2答案D解析因為直線l2，l3的傾斜角為銳角，且直線l2的傾斜角大于直線l3的傾斜角，所以0＜k3＜k2.直線l1的傾斜角為鈍角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.感悟提升(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性.訓(xùn)練1(1)(2021·青島模擬)已知點A(1，3)，B(－2，－1).若直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，則k的取值范圍是()A.k≥eq\f(1,2) B.k≤－2C.k≥eq\f(1,2)或k≤－2 D.－2≤k≤eq\f(1,2)答案D解析直線l：y＝k(x－2)＋1經(jīng)過定點P(2，1)，∴kPA＝eq\f(3－1,1－2)＝－2，kPB＝eq\f(－1－1,－2－2)＝eq\f(1,2).又直線l：y＝k(x－2)＋1與線段AB相交，∴－2≤k≤eq\f(1,2).(2)已知兩點A(－1，2)，B(m，3)，且m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，則直線AB的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))答案D解析①當m＝－1時，α＝eq\f(π,2)；②當m≠－1時，∵k＝eq\f(1,m＋1)∈(－∞，－eq\r(3)]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))).綜合①②知直線AB的傾斜角α的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))).考點二求直線的方程例2(1)已知一條直線經(jīng)過點A(2，－eq\r(3))，且它的傾斜角等于直線x－eq\r(3)y＝0傾斜角的2倍，則這條直線的方程為____________________.答案eq\r(3)x－y－3eq\r(3)＝0解析由已知得直線x－eq\r(3)y＝0的斜率為eq\f(\r(3),3)，則其傾斜角為30°，故所求直線傾斜角為60°，斜率為eq\r(3)，故所求直線的方程為y－(－eq\r(3))＝eq\r(3)(x－2)，即eq\r(3)x－y－3eq\r(3)＝0.(2)過點(2，1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為______________.答案x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0解析由題意可設(shè)直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝6，,\f(2,a)＋\f(1,b)＝1，))解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.故所求直線方程為x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.(3)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交點，且直線的一個方向向量v＝(－3，2)的直線方程為________.答案2x＋3y－5＝0解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得x＝1，y＝1，∴直線過點(1，1).∵直線的方向向量v＝(－3，2)，∴直線的斜率k＝－eq\f(2,3)，則直線的方程為y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.感悟提升(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件，特別是對于點斜式、截距式方程，使用時要注意分類討論思想的運用.訓(xùn)練2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中點M在y軸上，BC的中點N在x軸上，則直線MN的方程為________________.答案5x－2y－5＝0解析設(shè)C(x0，y0)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0－2,2)))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋7,2)，\f(y0＋3,2))).因為點M在y軸上，所以eq\f(x0＋5,2)＝0，解得x0＝－5.因為點N在x軸上，所以eq\f(y0＋3,2)＝0，解得y0＝－3.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))，N(1，0)，所以直線MN的方程為eq\f(x,1)＋eq\f(y,－\f(5,2))＝1，即5x－2y－5＝0.(2)過點(－2，－3)，且在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是________.答案3x－2y＝0或x－y－1＝0解析①當直線過原點時，又由直線過點(－2，－3)，則其方程為y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.②當直線不過原點時，若該直線在x軸、y軸上的截距互為相反數(shù)，設(shè)此時直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，又由直線過點(－2，－3)，則有eq\f(－2,a)＋eq\f(－3,－a)＝1，解得a＝1，此時直線的方程為x－y－1＝0.綜上可得，所求直線的方程為3x－2y＝0或x－y－1＝0.(3)若一條直線經(jīng)過點A(－2，2)，并且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1，則此直線的方程為________________.答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0解析設(shè)直線方程為y＝k(x＋2)＋2，直線與兩坐標軸交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(2,k)，0))，(0，2k＋2).∵與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\f(2,k)))·|2k＋2|＝1，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－2k－2,k)))|2k＋2|＝1，∴eq\f(（2k＋2）2,2|k|)＝1.①k＞0時，(2k＋2)2＝2k，2k2＋3k＋2＝0，無解.②k＜0時，(2k＋2)2＝－2k，∴2k2＋5k＋2＝0，∴k＝－2或k＝－eq\f(1,2)，則所求直線為2x＋y＋2＝0或x＋2y－2＝0.考點三直線方程的綜合應(yīng)用例3已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)證明：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，△AOB的面積為S(O為坐標原點)，求S的最小值并求此時直線l的方程.(1)證明直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))∴無論k取何值，直線l總經(jīng)過定點(－2，1).(2)解由方程知，當k≠0時，直線在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)≤－2，,1＋2k≥1，))解得k>0；當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k的取值范圍是[0，＋∞).(3)解由題意可知k≠0，再由l的方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k).依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0.∵S＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4，當且僅當4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)，等號成立，∴Smin＝4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.感悟提升1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(1，2).2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標或者相關(guān)長度，進而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.訓(xùn)練3已知直線l過點M(2，1)，且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，O為原點，當△AOB面積最小時，求直線l的方程.解法一設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－2)，則可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)，0))，B(0，1－2k).∵l與x軸，y軸正半軸分別交于A，B兩點，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2k－1,k)＞0，,1－2k＞0，))∴k＜0.于是S△AOB＝eq\f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\f(2k－1,k)·(1－2k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,k)－4k))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·（－4k）)))＝4.當且僅當－eq\f(1,k)＝－4k，即k＝－eq\f(1,2)時，△AOB面積有最小值為4，此時，直線l的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－2)，即x＋2y－4＝0.法二設(shè)所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1.又∵eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥2eq\r(\f(2,ab))，∴eq\f(1,2)ab≥4，當且僅當eq\f(2,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,2)，即a＝4，b＝2時，△AOB面積S＝eq\f(1,2)ab有最小值為4.此時，直線l的方程是eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0.1.傾斜角為120°且在y軸上的截距為－2的直線方程為()A.y＝－eq\r(3)x＋2 B.y＝－eq\r(3)x－2C.y＝eq\r(3)x＋2 D.y＝eq\r(3)x－2答案B解析斜率為tan120°＝－eq\r(3)，利用斜截式直接寫出方程，即y＝－eq\r(3)x－2.2.(2022·廣東七校聯(lián)考)若過點P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(－2，1)B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案A解析由題意知eq\f(2a－1－a,3－1＋a)＜0，即eq\f(a－1,2＋a)＜0，解得－2＜a＜1.3.(2021·北京豐臺區(qū)模擬)若直線y＝ax＋c經(jīng)過第一、二、三象限，則有()A.a＞0，c＞0 B.a＞0，c＜0C.a＜0，c＞0 D.a＜0，c＜0答案A解析∵直線y＝ax＋c經(jīng)過第一、二、三象限，∴直線的斜率a＞0，在y軸上的截距c＞0.4.直線2xcosα－y－3＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3)))答案B解析直線2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因為α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq\f(1,2)≤cosα≤eq\f(\r(3),2)，因此k＝2cosα∈[1，eq\r(3)].設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tanθ∈[1，eq\r(3)].又θ∈[0，π)，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即傾斜角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))).5.過點(0，1)且與直線2x－y＋1＝0垂直的直線方程是()A.x＋2y－1＝0 B.x＋2y－2＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y－2＝0答案B解析所求直線的斜率為－eq\f(1,2)，由所求直線過點(0，1)，則直線方程為y＝－eq\f(1,2)x＋1，即x＋2y－2＝0.6.過函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2圖象上一個動點作函數(shù)圖象的切線，則切線傾斜角的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))答案B解析∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴斜率k＝tanα≥－1，解得傾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).7.在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點P(1，1)的直線l與x軸交于點A，與y軸交于點B.若eq\o(PA,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→))，則直線l的方程是()A.x＋2y－3＝0 B.x－2y＋1＝0C.2x＋y－3＝0 D.2x－y－1＝0答案A解析設(shè)A(a，0)，B(0，b)，由eq\o(PA,\s\up6(→))＝－2eq\o(PB,\s\up6(→))，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，則a＝3，b＝eq\f(3,2).由截距式可得直線l的方程為eq\f(x,3)＋eq\f(y,\f(3,2))＝1，即x＋2y－3＝0.8.(多選)若直線過點A(1，2)，且在兩坐標軸上截距的絕對值相等，則直線l的方程為()A.x－y＋1＝0 B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0 D.x－y－1＝0答案ABC解析當直線經(jīng)過原點時，斜率為k＝eq\f(2－0,1－0)＝2，所求直線為y＝2x，即2x－y＝0.當直線不經(jīng)過原點時，設(shè)所求直線方程為x±y＝k，把點A(1，2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，求得k＝－1或k＝3，故所求的直線方程為x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.9.把直線x－y＋eq\r(3)－1＝0繞點(1，eq\r(3))逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，所得直線l的方程是________.答案y＝eq\r(3)x解析已知直線的斜率為1，則其傾斜角為45°，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)15°后，得到的直線l的傾斜角α＝45°＋15°＝60°，直線l的斜率為tanα＝tan60°＝eq\r(3)，∴直線l的方程為y－eq\r(3)＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x.10.已知三角形的三個頂點A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，則BC邊上中線所在的直線方程為________.答案x＋13y＋5＝0解析BC的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，∴BC邊上中線所在直線方程為eq\f(y－0,－\f(1,2)－0)＝eq\f(x＋5,\f(3,2)＋5)，即x＋13y＋5＝0.11.設(shè)直線l的方程為2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直線l的斜率為－1，則k＝________；若直線l在x軸、y軸上的截距之和等于0，則k＝________.答案51解析因為直線l的斜率存在，所以直線l的方程可化為y＝－eq\f(2,k－3)x＋2.由題意得－eq\f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.直線l的方程可化為eq\f(x,k－3)＋eq\f(y,2)＝1，由題意得k－3＋2＝0，解得k＝1.12.(2022·重慶質(zhì)檢)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點P，Q，且線段PQ的中點坐標為(1，－1)，則直線l的斜率為________.答案－eq\f(1,3)解析依題意，設(shè)點P(a，1)，Q(7，b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝－3，))從而可知直線l的斜率為eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3).13.(2022·長沙調(diào)研)設(shè)P為曲線C：y＝x2＋2x＋3上的點，且曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則點P橫坐標的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2))) B.[－1，0]C.[0，1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))答案A解析由題意知，y′＝2x＋2，設(shè)P(x0，y0)，則在點P處的切線的斜率k＝2x0＋2.因為曲線C在點P處的切線傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq\f(1,2).14.(多選)已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，則下列命題正確的是()A.直線的傾斜角是π－αB.無論α如何變化，直線不過原點C.直線的斜率一定存在D.當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1答案BD解析根據(jù)直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，所以A不正確；當x＝y(tǒng)＝0時，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直線必不過原點，B正確；當α＝eq\f(π,2)時，直線斜率不存在，C不正確；當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，所以D正確.15.已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當0＜a＜2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當a＝________時，四邊形的面積最小，最小值為________.答案eq\f(1,2)eq\f(15,4)解析由題意知直線l1，l2恒過定點P(2，2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2，所以四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(15,4)，故當a＝eq\f(1,2)時，四邊形面積的最小值為eq\f(15,4).16.如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點P(1，0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝eq\f(1,2)x上時，則直線AB的方程是________.答案(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0解析由題意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－eq\f(\r(3),3)x.設(shè)A(m，m)，B(－eq\r(3)n，n)，所以AB的中點Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－\r(3)n,2)，\f(m＋n,2))).由點C在直線y＝eq\f(1,2)x上，且A，P，B三點共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＝\f(1,2)·\f(m－\r(3)n,2)，,（m－0）·（－\r(3)n－1）＝（n－0）·（m－1），))解得m＝eq\r(3)，所以A(eq\r(3)，eq\r(3)).又P(1，0)，所以kAB＝kAP＝eq\f(\r(3),\r(3)－1)＝eq\f(3＋\r(3),2)，所以lAB：y＝eq\f(3＋\r(3),2)(x－1)，即直線AB的方程為(3＋eq\r(3))x－2y－3－eq\r(3)＝0.

第2節(jié)兩條直線的位置關(guān)系考試要求1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行3.距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對稱問題(1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.討論兩直線的位置關(guān)系時應(yīng)考慮直線的斜率是否存在.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)當直線l1和l2的斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.()(3)若兩直線的方程組成的方程組有唯一解，則兩直線相交.()(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)兩直線l1，l2有可能重合.(2)如果l1⊥l2，若l1的斜率k1＝0，則l2的斜率不存在.2.(多選)等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3，3)，若點A的坐標為(0，4)，則點B的坐標可能是()A.(2，0) B.(0，2) C.(4，6) D.(6，4)答案AC解析設(shè)B(x，y)，根據(jù)題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kAC·kBC＝－1，,|BC|＝|AC|，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3－4,3－0)·\f(y－3,x－3)＝－1，,\r(（x－3）2＋（y－3）2)＝\r(（0－3）2＋（4－3）2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝0，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝6，))所以B(2，0)或B(4，6).3.(2020·全國Ⅲ卷)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A.1 B.eq\r(2) C.eq\r(3) D.2答案B解析設(shè)點A(0，－1)，直線l：y＝k(x＋1)，由l恒過定點B(－1，0)，當AB⊥l時，點A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，最大值為eq\r(2).4.若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一點，則m的值為________.答案－9解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(1，2)滿足方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.5.(2020·上海卷)已知直線l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若l1∥l2，則l1與l2的距離為________.答案eq\r(2)解析直線l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，當l1∥l2時，a2－1＝0解得a＝±1.當a＝1時，l1與l2重合，不滿足題意；當a＝－1時，l1∥l2，則l1：x－y－1＝0，l2：x－y＋1＝0，則l1與l2的距離為d＝eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq\r(2).6.(2022·武漢質(zhì)檢)若直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，垂足為(1，c)，則a＋b＋c＝________.答案－4解析∵直線ax＋4y－2＝0與直線2x－5y＋b＝0垂直，∴－eq\f(a,4)×eq\f(2,5)＝－1，∴a＝10，∴直線ax＋4y－2＝0的方程為5x＋2y－1＝0.將點(1，c)的坐標代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2.將點(1，－2)的坐標代入方程2x－5y＋b＝0得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12，∴a＋b＋c＝10－12－2＝－4.考點一兩直線的平行與垂直1.已知m，n∈R，則“直線x＋my－1＝0與nx＋y＋1＝0平行”是“mn＝1”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件答案A解析直線x＋my－1＝0與直線nx＋y＋1＝0平行，則eq\f(1,n)＝eq\f(m,1)≠eq\f(－1,1)，∴mn＝1，充分性成立.而m＝－1，n＝－1時，mn＝1，但x－y－1＝0與－x＋y＋1＝0重合，必要性不成立.2.(2021·煙臺期末)若直線l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0與l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，則實數(shù)k的值是()A.3或－3 B.3或4C.－3或－1 D.－1或4答案A解析∵直線l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0，直線l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0互相垂直，∴(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.3.經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線方程為________.答案4x－3y＋9＝0解析法一由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(5,3)，,y＝\f(7,9)，))即交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9))).因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以所求直線的斜率為k＝eq\f(4,3).由點斜式得所求直線方程為y－eq\f(7,9)＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,3)))，即4x－3y＋9＝0.法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0.由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x－3y＋4＝0，))可解得交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，\f(7,9)))，代入4x－3y＋m＝0得m＝9，故所求直線方程為4x－3y＋9＝0.法三由題意可設(shè)所求直線的方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0.①又因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得所求直線方程為4x－3y＋9＝0.4.(多選)已知直線l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，則下列說法正確的是()A.若l1∥l2，則m＝－1或m＝3B.若l1∥l2，則m＝3C.若l1⊥l2，則m＝－eq\f(1,2)D.若l1⊥l2，則m＝eq\f(1,2)答案BD解析若l1∥l2則1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，當m＝－1時，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1與l2重合，∴m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正確；若l1⊥l2，則1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝eq\f(1,2)，故C不正確，D正確.感悟提升1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.考點二兩直線的交點與距離問題例1(1)已知直線y＝kx＋2k＋1與直線y＝－eq\f(1,2)x＋2的交點位于第一象限，則實數(shù)k的取值范圍是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1)，))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，則兩直線平行)∴交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交點位于第一象限，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)＞0，,\f(6k＋1,2k＋1)＞0，))解得－eq\f(1,6)＜k＜eq\f(1,2).(2)(2022·湖州調(diào)研)已知點P(4，a)到直線4x－3y－1＝0的距離不大于3，則a的取值范圍是________.答案[0，10]解析由題意得，點P到直線的距離為eq\f(|4×4－3×a－1|,5)＝eq\f(|15－3a|,5).又eq\f(|15－3a|,5)≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范圍是[0，10].(3)若兩平行直線3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之間的距離為eq\f(2\r(13),13)，則c的值是________.答案2或－6解析由題意得eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4，c≠－2，則6x＋ay＋c＝0可化為3x－2y＋eq\f(c,2)＝0.由兩平行線間的距離公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))＝eq\f(2\r(13),13)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1))＝2，解得c＝2或c＝－6.感悟提升(1)求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.訓(xùn)練1(1)(2021·淮南模擬)已知直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點在第一象限，則實數(shù)k的取值范圍為________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,2)))解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＋2k＋1＝0，,2x＋y－2＝0，))解得x＝eq\f(1－2k,2＋k)，y＝eq\f(2＋6k,2＋k)(k≠－2).∵直線kx－y＋2k＋1＝0與直線2x＋y－2＝0的交點在第一象限，∴eq\f(1－2k,2＋k)>0，且eq\f(2＋6k,2＋k)>0，解得－eq\f(1,3)<k<eq\f(1,2).(2)(多選)(2022·濟南調(diào)研)已知直線l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直線l到直線l1的距離與到直線l2的距離之比為1∶2，則直線l的方程為()A.2x＋3y－8＝0 B.4x＋6y＋5＝0C.6x＋9y－10＝0 D.12x＋18y－13＝0答案BD解析設(shè)直線l：4x＋6y＋m＝0，m≠－2且m≠－9，直線l到直線l1和l2的距離分別為d1，d2，由題意知d1＝eq\f(|m＋2|,\r(16＋36))，d2＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36)).因為eq\f(d1,d2)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(2|m＋2|,\r(16＋36))＝eq\f(|m＋9|,\r(16＋36))，即2|m＋2|＝|m＋9|，解得m＝5或m＝－eq\f(13,3)，即直線l為4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.考點三對稱問題角度1點關(guān)于點對稱例2過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為________.答案x＋4y－4＝0解析設(shè)l1與l的交點為A(a，8－2a)，則由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.角度2點關(guān)于線對稱例3已知入射光線經(jīng)過點M(－3，4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2，6)，則反射光線所在直線的方程為________.答案6x－y－6＝0解析設(shè)點M(－3，4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－（－3）)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光線經(jīng)過點N(2，6)，所以所求直線的方程為eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.角度3線關(guān)于線對稱例4直線2x－y＋3＝0關(guān)于直線x－y＋2＝0對稱的直線方程是________________.答案x－2y＋3＝0解析設(shè)所求直線上任意一點P(x，y)，點P關(guān)于x－y＋2＝0的對稱點為P′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－（y－y0），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝y(tǒng)－2，,y0＝x＋2.))∵點P′(x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.感悟提升(1)光的反射問題實質(zhì)是點關(guān)于直線的對稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.(2)直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.(3)求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：①在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程.②設(shè)點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.訓(xùn)練2已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2).求：(1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程.解(1)設(shè)A′(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線m上取一點，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上.設(shè)對稱點為M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))即M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又m′經(jīng)過點N(4，3)，∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.(3)法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1，1)，N(4，3)，則P，N關(guān)于點A的對稱點P′，N′均在直線l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點，則Q(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為Q′(－2－x，－4－y).∵Q′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.考點四直線系方程的應(yīng)用角度1平行、垂直直線系例5(1)與直線3x＋4y＋1＝0平行且過點(1，2)的直線l的方程為________.答案3x＋4y－11＝0解析由題意，設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因為直線l過點(1，2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11，因此，所求直線方程為3x＋4y－11＝0.(2)經(jīng)過點A(2，1)，且與直線2x＋y－10＝0垂直的直線l的方程為________.答案x－2y＝0解析因為所求直線與直線2x＋y－10＝0垂直，所以設(shè)該直線方程為x－2y＋c＝0.又直線過點A(2，1)，所以有2－2×1＋c＝0，解得c＝0，即所求直線方程為x－2y＝0.角度2過兩直線交點的直線系例6已知兩條直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點為P，求過點P且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.解法一解l1與l2組成的方程組得到交點P(0，2)，因為k3＝eq\f(3,4)，所以直線l的斜率k＝－eq\f(4,3)，方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二設(shè)所求直線l的方程為4x＋3y＋c＝0，由法一可知P(0，2)，將其代入方程，得c＝－6，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.法三設(shè)所求直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因為直線l與l3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直線l的方程為4x＋3y－6＝0.感悟提升幾種常見的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.訓(xùn)練3求過直線2x＋7y－4＝0與7x－21y－1＝0的交點，且和A(－3，1)，B(5，7)等距離的直線方程.解設(shè)所求直線方程為2x＋7y－4＋λ(7x－21y－1)＝0，即(2＋7λ)x＋(7－21λ)y＋(－4－λ)＝0.由點A(－3，1)，B(5，7)到所求直線距離相等，可得eq\f(|（2＋7λ）×（－3）＋（7－21λ）×1－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))＝eq\f(|（2＋7λ）×5＋（7－21λ）×7－4－λ|,\r(（2＋7λ）2＋（7－21λ）2))，整理可得|43λ＋3|＝|113λ－55|，解得λ＝eq\f(29,35)或λ＝eq\f(1,3)，所以所求的直線方程為21x－28y－13＝0或x＝1.1.如果直線l1的斜率為a，l1⊥l2，則直線l2的斜率為()A.eq\f(1,a) B.aC.－eq\f(1,a) D.－eq\f(1,a)或不存在答案D解析設(shè)直線l1，l2的斜率分別是k1，k2，當a≠0時，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－eq\f(1,a)；當a＝0時，l1與x軸平行或重合，則l2與y軸平行或重合，∴直線l2的斜率不存在.故直線l2的斜率為－eq\f(1,a)或不存在.2.已知直線l過點(0，7)，且與直線y＝－4x＋2平行，則直線l的方程為()A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7答案D解析過點(0，7)且與直線y＝－4x＋2平行的直線方程為y－7＝－4x，即直線l的方程為y＝－4x＋7.3.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則PQ的最小值為()A.eq\f(12,5) B.3 C.eq\f(29,10) D.4答案C解析因為eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值為eq\f(29,10).4.(2021·石家莊調(diào)研)若直線mx＋4y－2＝0與直線2x－5y＋n＝0垂直，垂足為(1，p)，則實數(shù)n的值為()A.－12 B.－2 C.0 D.10答案A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直線mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，∴垂足坐標為(1，－2).又垂足在直線2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.5.已知點A與點B(1，2)關(guān)于直線x＋y＋3＝0對稱，則點A的坐標為()A.(3，4) B.(4，5)C.(－4，－3) D.(－5，－4)答案D解析設(shè)點A(a，b)，∵點A與點B(1，2)關(guān)于直線x＋y＋3＝0對稱，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)＋\f(b＋2,2)＋3＝0，,\f(b－2,a－1)×（－1）＝－1，))解得a＝－5，b＝－4，則點A的坐標為(－5，－4).6.(2022·廣州質(zhì)檢)過點P(1，2)作直線l，若點A(2，3)，B(4，－5)到它的距離相等，則直線l的方程為()A.4x＋y－6＝0或x＝1B.3x＋2y－7＝0C.4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0D.3x＋2y－7＝0或x＝1答案C解析若A，B位于直線l的同側(cè)，則直線l∥AB.∵kAB＝eq\f(3＋5,2－4)＝－4，∴直線l的方程為y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若A，B位于直線l的兩側(cè)，則直線l必經(jīng)過線段AB的中點(3，－1)，∴kl＝eq\f(2－（－1）,1－3)＝－eq\f(3,2)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(3,2)(x－1)，即3x＋2y－7＝0.綜上，直線l的方程為4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.7.(多選)已知直線l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，則下列說法正確的是()A.當a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直B.若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0C.直線l過定點(0，1)D.當a＝0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等答案AC解析對于A，當a＝－1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，顯然與x＋y＝0垂直，正確；對于B，若直線l與直線x－y＝0平行，可知(a2＋a＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a＝0或a＝－1，不正確；對于C，當x＝0時，有y＝1，所以直線過定點(0，1)，正確；對于D，當a＝0時，直線l的方程為x－y＋1＝0，在兩軸上的截距分別是－1，1，不正確.8.(多選)(2021·長沙模擬)已知直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0，則下列結(jié)論正確的是()A.直線l的傾斜角是eq\f(π,6)B.若直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0，則l⊥mC.點(eq\r(3)，0)到直線l的距離是2D.過(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是eq\r(3)x－y－4＝0答案CD解析對于A，直線l：eq\r(3)x－y＋1＝0的斜率k＝tanθ＝eq\r(3)，故直線l的傾斜角是eq\f(π,3)，故A錯誤；對于B，因為直線m：x－eq\r(3)y＋1＝0的斜率k′＝eq\f(\r(3),3)，kk′＝1≠－1，故直線l與直線m不垂直，故B錯誤；對于C，點(eq\r(3)，0)到直線l的距離d＝eq\f(|\r(3)·\r(3)－0＋1|,\r(（\r(3)）2＋（－1）2))＝2，故C正確；對于D，過(2eq\r(3)，2)與直線l平行的直線方程是y－2＝eq\r(3)(x－2eq\r(3))，整理得：eq\r(3)x－y－4＝0，故D正確.9.直線3x－4y＋5＝0關(guān)于x軸對稱的直線方程是________.答案3x＋4y＋5＝0解析在所求直線上任取一點P(x，y)，則點P關(guān)于x軸的對稱點P′(x，－y)在已知直線3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.10.已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點，若點A(5，0)到直線l的距離為3，則l的方程為________.答案x＝2或4x－3y－5＝0解析法一兩直線交點為(2，1)，當斜率不存在時，所求直線方程為x－2＝0，此時A到直線l的距離為3，符合題意；當斜率存在時，設(shè)其為k，則所求直線方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0.由點到線的距離公式得d＝eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，故所求直線方程為4x－3y－5＝0.綜上知，所求直線方程為x－2＝0或4x－3y－5＝0.法二經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以eq\f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq\f(1,2).所以l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.11.在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，∠A的平分線所在直線的方程為y＝0，若點B的坐標為(1，2)，則點A的坐標為________，點C的坐標為________.答案(－1，0)(5，－6)解析由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以點A的坐標為(－1，0).又直線AB的斜率kAB＝1，x軸是∠A的平分線，所以kAC＝－1，則AC邊所在的直線方程為y＝－(x＋1).①又已知BC邊上的高所在直線的方程為x－2y＋1＝0，故直線BC的斜率kBC＝－2，所以BC邊所在的直線方程為y－2＝－2(x－1).②解①②組成的方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－6，))即點C的坐標為(5，－6).12.設(shè)光線l從點A(－4，eq\r(3))出發(fā)，經(jīng)過x軸反射后經(jīng)過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，則光線l與x軸的交點為________，若該入射光線l經(jīng)x軸發(fā)生折射，折射角為入射角的一半，則折射光線所在直線的縱截距為________.答案(－1，0)－eq\r(3)解析點A(－4，eq\r(3))關(guān)于x軸的對稱點為A′(－4，－eq\r(3))，則直線A′B：y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(\r(3),3)與x軸交于點(－1，0)，所以光線l與x軸的交點為(－1，0).由入射角是60°，得折射角是30°，且光線經(jīng)過(－1，0)，得出折射光線所在直線方程為y＝－eq\r(3)x－eq\r(3)，所以縱截距為－eq\r(3).13.將一張坐標紙折疊一次，使得點(0，2)與點(4，0)重合，點(7，3)與點(m，n)重合，則m＋n等于()A.eq\f(34,5) B.eq\f(36,5) C.eq\f(28,3) D.eq\f(32,3)答案A解析令A(yù)(0，2)，B(4，0)，C(7，3)，D(m，n).根據(jù)題意，得折痕為A，B的對稱軸，也是CD的對稱軸.AB的斜率為kAB＝－eq\f(1,2)，其中點為(2，1)，所以圖紙的折痕所在的直線方程為y－1＝2(x－2)，∴kCD＝eq\f(n－3,m－7)＝－eq\f(1,2)，①∵CD的中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋7,2)，\f(n＋3,2)))，∴eq\f(n＋3,2)－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋7,2)－2))，②由①②解得m＝eq\f(3,5)，n＝eq\f(31,5)，∴m＋n＝eq\f(34,5).14.(多選)已知直線l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下結(jié)論正確的是()A.不論a為何值時，l1與l2都互相垂直B.當a變化時，l1與l2分別經(jīng)過定點A(0，1)和B(－1，0)C.不論a為何值時，l1與l2都關(guān)于直線x＋y＝0對稱D.如果l1與l2交于點M，則|MO|的最大值是eq\r(2)答案ABD解析對于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1與l2互相垂直恒成立，故A正確；對于B，直線l1：ax－y＋1＝0，當a變化時，x＝0，y＝1恒成立，所以l1恒過定點A(0，1)；l2：x＋ay＋1＝0，當a變化時，x＝－1，y＝0恒成立，所以l2恒過定點B(－1，0)，故B正確；對于C，在l1上任取點(x，ax＋1)，關(guān)于直線x＋y＝0對稱的點的坐標為(－ax－1，－x)，代入l2：x＋ay＋1＝0，則等式左邊不等于0，故C不正確；對于D，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax－y＋1＝0，,x＋ay＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－a－1,a2＋1)，,y＝\f(－a＋1,a2＋1)，))即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)，\f(－a＋1,a2＋1)))，所以|MO|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a－1,a2＋1)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－a＋1,a2＋1)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(2,a2＋1))≤eq\r(2)，所以|MO|的最大值是eq\r(2)，故D正確.15.設(shè)m∈R，若過定點A的動直線x＋my＝0和過定點B的動直線mx－y－m＋3＝0交于點P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是________.答案5解析易知定點A(0，0)，B(1，3)，且無論m取何值，兩動直線都垂直，所以無論P與A，B重合與否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB為直徑的圓上).所以|PA|·|PB|≤eq\f(1,2)(|PA|2＋|PB|2)＝5.當且僅當|PA|＝|PB|＝eq\r(5)時等號成立.16.已知點A(4，－1)，B(8，2)和直線l：x－y－1＝0，動點P(x，y)在直線l上，則|PA|＋|PB|的最小值為________.答案eq\r(65)解析設(shè)點A1與A關(guān)于直線l對稱，P0為A1B與直線l的交點，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋|P0B|，∴|PA|＋|PB|≥|P0A|＋|P0B|＝|A1B|.當P點運動到P0時，|PA|＋|PB|取得最小值|A1B|.設(shè)點A關(guān)于直線l的對稱點為A1(x1，y1)，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝3，))∴A1(0，3)，∴(|PA|＋|PB|)min＝|A1B|＝eq\r(82＋（－1）2)＝eq\r(65).

第3節(jié)圓的方程考試要求1.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題.1.圓的定義和圓的方程定義圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合方程標準(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點與圓的位置關(guān)系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).1.圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()答案(1)√(2)×(3)×(4)√解析(2)當a＝0時，x2＋y2＝a2表示點(0，0)；當a＜0時，表示半徑為|a|的圓.(3)當(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq\f(1,4)或m＞1時表示圓.2.(易錯題)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝