高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（教師版）第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

§10.1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理考試要求1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題．知識梳理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法.常用結(jié)論1．分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(×)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(√)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(√)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(√)教材改編題1．已知某公園有4個(gè)門，從一個(gè)門進(jìn)，另一個(gè)門出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16B．13C．12D．10答案C解析將4個(gè)門編號為1,2,3,4，從1號門進(jìn)入后，有3種出門的方式，共3種走法，從2,3,4號門進(jìn)入，同樣各有3種走法，不同走法共有4×3＝12(種)．2．有4位教師在同一年級的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測時(shí)要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A．8種B．9種C．10種D．11種答案B解析設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班級分別為a，b，c，d.假設(shè)A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時(shí)，也分別有3種不同方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法．3．由于用具簡單、趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動．某棋局的一部分如圖所示，若不考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線有()A．10條B．8條C．6條D．4條答案C解析由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；其中也能把“炮”吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步，橫走一步，豎走一步，有2種走法．所以所求路線共有3×2＝6(條)．題型一分類加法計(jì)數(shù)原理例1(1)某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有()A．4種B．10種C．18種D．20種答案B解析贈送1本畫冊，3本集郵冊．需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有4種方法．贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有6種方法．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的贈送方法共有4＋6＝10(種)．(2)如果一個(gè)三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1<a2，且a2>a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120,343,275等)，那么所有凸數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案240解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個(gè)位數(shù)字可選1或0，“凸數(shù)”為120與121，共2個(gè)．若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個(gè)位數(shù)字有三種選擇，則“凸數(shù)”有2×3＝6(個(gè))．若a2＝4，滿足條件的“凸數(shù)”有3×4＝12(個(gè))，……，若a2＝9，滿足條件的“凸數(shù)”有8×9＝72(個(gè))．所以所有凸數(shù)共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(個(gè))．思維升華使用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·太原模擬)現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有()A．3種B．6種C．7種D．8種答案C解析由題意得，三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓．一共可以組成的幣值有3＋3＋1＝7(種)．(2)設(shè)I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個(gè)“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個(gè)．答案9解析對子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{1,2}時(shí)，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,3}時(shí)，B可以為{1,2,4}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A是三元集{1,2,4}時(shí)，B可以為{1,2,3}，{1,2}，共2種情況；當(dāng)A是四元集{1,2,3,4}時(shí)，B取{1,2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個(gè)．題型二分步乘法計(jì)數(shù)原理例2(1)數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲．如圖是數(shù)獨(dú)的一個(gè)簡化版，由3行3列9個(gè)單元格構(gòu)成．玩該游戲時(shí)，需要將數(shù)字1,2,3(各3個(gè))全部填入單元格，每個(gè)單元格填一個(gè)數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個(gè)數(shù)字，則不同的填法有()A．12種B．24種C．72種D．216種答案A解析先填第一行，有3×2×1＝6(種)不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元格填好后，其他單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有6×2＝12(種)不同的填法．(2)(多選)(2022·武漢模擬)現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，則下列說法正確的是()A．共有43種不同的安排方法B．若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種C．若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種答案ABD解析對于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個(gè)學(xué)生有4種選法，則三個(gè)學(xué)生有4×4×4＝43(種)選法，故A正確；對于B，三人到4個(gè)工廠，有43＝64(種)情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個(gè)工廠的情況有33＝27(種)，則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64－27＝37(種)，故B正確；對于C，若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個(gè)工廠即可，有42＝16(種)安排方法，故C錯(cuò)誤；對于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有4×3×2＝24(種)安排方法，故D正確．思維升華利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個(gè)步驟，且每步都是獨(dú)立的．(2)將這件事劃分成幾個(gè)步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當(dāng)所有步驟都完成了，整個(gè)事件才算完成．跟蹤訓(xùn)練2(1)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，則由一層到五層不同的走法有()A．10種B．25種C．52種D．24種答案D解析每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有24種不同的走法．(2)(多選)有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法正確的是()A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34種B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43種C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有43種答案AD解析對于A，B，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有34種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對于C，D，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有4種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有43種結(jié)果，D正確，C錯(cuò)誤．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3(1)有5個(gè)不同的棱柱、3個(gè)不同的棱錐、4個(gè)不同的圓臺、2個(gè)不同的球，若從中取出2個(gè)幾何體，使多面體和旋轉(zhuǎn)體各一個(gè)，則不同的取法種數(shù)是()A．14B．23C．48D．120答案C解析分兩步：第1步，取多面體，有5＋3＝8(種)不同的取法；第2步，取旋轉(zhuǎn)體，有4＋2＝6(種)不同的取法．所以不同的取法種數(shù)是8×6＝48.(2)(2023·南平質(zhì)檢)甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為________．答案80解析5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日．第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)用車方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)用車方案，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)用車方案，共計(jì)12＋8＝20(種)用車方案．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.思維升華利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)(1)當(dāng)題目無從下手時(shí)，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事．(2)分類時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時(shí)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖．(3)對于復(fù)雜問題，一般是先分類再分步．跟蹤訓(xùn)練3(1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24B．14C．10D．9答案B解析第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12(種)選擇方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有12＋2＝14(種)選擇方式．(2)如圖，a省分別與b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為()A．480 B．600C．720 D．840答案C解析依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最后涂b有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180(種)，若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e，b也各有3種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540(種)，所以，由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180＋540＝720(種)．課時(shí)精練1.小黑點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)絡(luò)相連．連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)在從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可分開沿不同的路線同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量為()A．9B．21C．12D．8答案D解析由圖形可以看出，從A→B，可以分成兩種情況，A→D→B或A→C→B，這兩類方法中各自包含的單位時(shí)間內(nèi)通過的信息量分別是5,3，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，傳遞的最大信息量為5＋3＝8.2．(2023·濟(jì)寧模擬)某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有()A．4種B．6種C．8種D．12種答案B解析根據(jù)題意得，分兩步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則必須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有3×2＝6(種)．3．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．6D．8答案D解析以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9；把這四個(gè)數(shù)列順序顛倒，又得到4個(gè)新數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2×(2＋1＋1)＝8(個(gè))．4．中國古代將物質(zhì)屬性分為“金、木、土、水、火”五種，其相互關(guān)系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，則屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰的排法種數(shù)為()A．8B．10C．15D．20答案B解析由題意知，可看作五個(gè)位置排列五個(gè)元素，第一個(gè)位置有5種排列方法，不妨假設(shè)是金，則第二個(gè)位置只能從土與水兩者中選一種排放，有2種選擇，不妨假設(shè)排的是水，則第三個(gè)位置只能排木，第四個(gè)位置只能排火，第五個(gè)位置只能排土，因此，總的排列方法種數(shù)為5×2×1×1×1＝10.5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲同學(xué)喜歡牛和馬，乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，三位同學(xué)按甲、乙、丙的順序依次選一個(gè)作為禮物，如果讓三位同學(xué)選取的禮物都滿意，那么不同的選法有()A．360種 B．50種C．60種 D．90種答案B解析第一類：甲同學(xué)選擇牛，乙有2種選法，丙有10種選法，選法有1×2×10＝20(種)；第二類：甲同學(xué)選擇馬，乙有3種選法，丙有10種選法，選法有1×3×10＝30(種)，所以共有20＋30＝50(種)選法．6．(2023·宿州模擬)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)為()A．12B．24C．36D．48答案C解析第1類，對于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個(gè)對角面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對”共有24＋12＝36(個(gè))．7．用0,1,2,3,4,5,6這7個(gè)數(shù)字可以組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．180B．240C．420D.480答案C解析以末位數(shù)字進(jìn)行分類：當(dāng)末位數(shù)字為0時(shí)，共有6×5×4＝120(個(gè))；當(dāng)末位數(shù)字是2,4,6中的某個(gè)數(shù)時(shí)，共有3×5×5×4＝300(個(gè))，故共有120＋300＝420(個(gè))不同的數(shù)字．8．(多選)現(xiàn)有4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組，第一、二、三、四組分別有7人、8人、9人、10人，則下列說法正確的是()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為34B．每組選1名組長的選法種數(shù)為5400C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為420D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，加入的小組可自由選擇，且第一組必須有人選，則不同的選法有37種答案AD解析對于A,4個(gè)數(shù)學(xué)課外興趣小組共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故選1人為負(fù)責(zé)人的選法共有34種，A對；對于B，分四步：第一、二、三、四步分別為從第一、二、三、四組中各選1名組長，所以不同的選法共有7×8×9×10＝5040(種)，B錯(cuò)；對于C，分六類：從第一、二組中各選1人，有7×8種不同的選法；從第一、三組中各選1人，有7×9種不同的選法；從第一、四組中各選1人，有7×10種不同的選法；從第二、三組中各選1人，有8×9種不同的選法；從第二、四組中各選1人，有8×10種不同的選法；從第三、四組中各選1人，有9×10種不同的選法．所以不同的選法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)，C錯(cuò)；對于D，若不考慮限制條件，每個(gè)人都有4種選法，共有43＝64(種)選法，其中第一組沒有人選，每個(gè)人都有3種選法，共有33＝27(種)選法，所以不同的選法有64－27＝37(種)，D對．9.如圖所示，在由連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)．答案40解析把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形，共有8×4＝32(個(gè))；第二類，有兩條公共邊的三角形，共有8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有32＋8＝40(個(gè))．10．(2023·保定模擬)算籌是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子，是中國古代用來記數(shù)、列式和進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國古代的一項(xiàng)偉大、重要的發(fā)明．在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如表所示：數(shù)字方式123456789縱式橫式用算籌計(jì)數(shù)法表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空，知“”表示的三位數(shù)為________；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰校敲纯梢员硎灸鼙?整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為________．答案62114解析由題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和圖形，知“”表示的三位數(shù)為621；共有5根算籌，要能被5整除，則個(gè)位數(shù)必須為0或5，①當(dāng)個(gè)位數(shù)為5時(shí)，不符合題意；②當(dāng)個(gè)位數(shù)為0時(shí)，則5根算籌全部放在十位和百位，若百位有1根，十位有4根，則共有1×2＝2(個(gè))三位數(shù)；若百位有2根，十位有3根，則共有2×2＝4(個(gè))三位數(shù)；若百位有3根，十位有2根，則共有2×2＝4(個(gè))三位數(shù)；若百位有4根，十位有1根，則共有2×1＝2(個(gè))三位數(shù)；若百位有5根，十位有0根，則共有2個(gè)三位數(shù)．所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(個(gè))三位數(shù)．11.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個(gè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形ABCD內(nèi)部為“趙爽弦圖”(由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形和“趙爽弦圖”ABCD涂色，且相鄰區(qū)域(即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域)不同色，已知有4種不同的顏色可供選擇．則不同的涂色方法種數(shù)是()A．48 B．54C．72 D．108答案C解析設(shè)“趙爽弦圖”ABCD為①區(qū)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH這4個(gè)三角形分別為②，③，④，⑤區(qū)．第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法．第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法．第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法．第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法．若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法．所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(種)涂色方法．12．(2022·懷化模擬)世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線)，這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再決出4強(qiáng)，直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場數(shù)為________．答案64解析因?yàn)?個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽，每小組進(jìn)行6場小組賽，所以小組賽的場數(shù)為8×6＝48，因?yàn)?6支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為8＋4＋2＋2＝16，因此比賽進(jìn)行的總場數(shù)為48＋16＝64.13．幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝A，B，C；(2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；(3)丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝G，A，C；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝B，D，H；(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝I，C，E，則這九根樹枝從高到低不同的順序共有()A．23種B．24種C．32種D．33種答案D根據(jù)甲依次撞擊到樹枝A，B，C；乙依次撞擊到樹枝D，E，F(xiàn)；丙依次撞擊到樹枝G，A，C；丁依次撞擊到樹枝B，D，H；戊依次撞擊到樹枝I，C，E，可得G>A>B，且G，A，B在前四個(gè)位置，C>E>F，D>E>F，且E，F(xiàn)一定排在后四個(gè)位置，(1)若I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，前四個(gè)位置有4種排法，若第五個(gè)位置排C，則第六個(gè)位置一定排D，后三個(gè)位置共有3種排法，若第五個(gè)位置排D，則后四個(gè)位置共有4種排法，所以I排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置時(shí)，共有4×(3＋4)＝28(種)排法；(2)若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置，則G，A，B，D按順序排在前四個(gè)位置，由于I>C>E>F，所以后五個(gè)位置的排法就是H的不同排法，共5種排法，即若I不排在前四個(gè)位置中的一個(gè)位置共有5種排法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，這九根樹枝從高到低不同的順序有28＋5＝33(種)．14．若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m＋n的加法時(shí)，各位均不進(jìn)位(例如：134＋3802＝3936)，則稱(m，n)為“簡單的”有序數(shù)對，m＋n為有序數(shù)對(m，n)的值，那么值為1942的“簡單的”有序數(shù)對的個(gè)數(shù)是________．答案300解析第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2種組合方式；第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7,9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10種組合方式；第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2,4＝3＋1,4＝4＋0，共5種組合方式；第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3種組合方式．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，值為1942的“簡單的”有序數(shù)對的個(gè)數(shù)為2×10×5×3＝300.

§10.2排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡單的實(shí)際問題．知識梳理1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合作為一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特別地，Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)常用結(jié)論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準(zhǔn)確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部．(9)構(gòu)造模型．(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列．(×)(2)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．(√)(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．(×)(4)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(×)教材改編題1．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,7)等于()A．35B．47C．45D．57答案B解析Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,7)＝4×3＋eq\f(7×6×5,3×2×1)＝47.2．從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動，則男、女生都有的選法種數(shù)是()A．18B．24C．30D．36答案C解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＝18(種)，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝12(種)，故3名學(xué)生中男、女生都有的選法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3)＝30(種)．3．將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實(shí)踐活動，每個(gè)地方至少安排一名學(xué)生參加，則不同的安排方案共有________種．答案36解析第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)不同的方法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)不同的方法．故共有6×6＝36(種)不同的安排方案.題型一排列問題例1(1)中國國家滑雪隊(duì)將開展自由式滑雪項(xiàng)目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場地技巧四個(gè)項(xiàng)目表演，現(xiàn)安排兩名男隊(duì)員和兩名女隊(duì)員組隊(duì)參演，參演選手每人展示其中一個(gè)不同的項(xiàng)目，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，則所有不同出場順序與項(xiàng)目展示方案種數(shù)為()A．576B．288C．144D．48答案B解析根據(jù)題意，雪上技巧項(xiàng)目必須由女隊(duì)員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個(gè)項(xiàng)目，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)情況，而4個(gè)項(xiàng)目之間的排法有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)順序，則有2×6×24＝288(種)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成________個(gè)無重復(fù)數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù)．答案110解析①當(dāng)千位上排1或3時(shí)，符合題意的共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．②當(dāng)千位上排2時(shí)，符合題意的共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)個(gè)．③當(dāng)千位上排4時(shí)，形如40××，42××的偶數(shù)各有Aeq\o\al(1,3)個(gè)符合題意，形如41××的偶數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個(gè)符合題意，形如43××的偶數(shù)只有4310和4302這兩個(gè)數(shù)符合題意．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110(個(gè))符合題意．思維升華對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)，有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·武漢模擬)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀(jì)獲得了長足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)．在某次太空旅行中，宇航員們負(fù)責(zé)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)要經(jīng)過5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實(shí)驗(yàn)不同程序的順序安排共有()A．18種B．36種C．72種D．108種答案B解析先排A，B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2,3,4道程序選兩個(gè)放A，B，共有Aeq\o\al(2,3)種放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq\o\al(3,3)種放法．則共有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)放法．(2)8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有________種排法．答案5760解析先排甲、乙，有Aeq\o\al(2,4)種排法，再排丙，有Aeq\o\al(1,4)種排法，其余5人有Aeq\o\al(5,5)種排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝5760(種)．題型二組合問題例2(1)(多選)從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有()A．如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法C．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法答案CD解析如果4人全部為男生，選法有Ceq\o\al(4,6)＝15(種)，故A錯(cuò)誤；如果4人中男生、女生各有2人，男生的選法有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)，女生的選法有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)，則4人中男生、女生各有2人的選法有15×6＝90(種)，B錯(cuò)誤；如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，在剩下的8人中再選2人即可，有Ceq\o\al(2,8)＝28(種)，故C正確；在10人中任選4人，有Ceq\o\al(4,10)＝210(種)，甲、乙都不在其中的選法有Ceq\o\al(4,8)＝70(種)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)的選法有210－70＝140(種)，故D正確．(2)在某場新聞發(fā)布會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有()A．80種B．180種C．260種D．420種答案C解析根據(jù)題意，分2種情況討論，①選出的3人中有1名國外記者、2名國內(nèi)記者，則有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝80(種)選法，②選出的3人中有2名國外記者、1名國內(nèi)記者，則有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有80＋180＝260(種)選法．思維升華組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理．跟蹤訓(xùn)練2(1)從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動，要求至少有一名女生參加，則不同的選派種數(shù)為()A．12B．24C．34D．60答案C解析由題可知，選派4人去的總的選派種數(shù)為Ceq\o\al(4,7)＝35，選派4人全部是男生的選派種數(shù)為1，所以至少有一名女生參加的不同的選派種數(shù)為35－1＝34.(2)如圖，從上往下讀(不能跳讀，即念完標(biāo)號為②的國字后只能念下一行標(biāo)號為③或④的榮字，又如標(biāo)號為⑤的校字只能接在標(biāo)號為④的榮字后念)，構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法總數(shù)為________．答案252解析構(gòu)成句子“愛國榮校做市西卓越學(xué)生”的不同讀法需10步完成(從上一個(gè)字到下一個(gè)字為一步)，其中5步是從上往左下角方向讀，余下5步是從上往右下角方向讀，故共有不同讀法Ceq\o\al(5,10)＝252(種)．題型三排列與組合的綜合問題命題點(diǎn)1相鄰、相間問題例3(多選)有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是()A．全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法C．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法答案BCD解析對于A，將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576(種)排法，故A錯(cuò)誤；對于B，先排女生，將4名女生全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有Aeq\o\al(3,5)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)排法，故B正確；對于C，任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有Ceq\o\al(3,7)×2×1＝70(種)，故C正確；對于D，若甲站在排尾，則有Aeq\o\al(6,6)種排法，若甲不站在排尾，則有Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種排法，故共有Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)排法，故D正確．命題點(diǎn)2定序問題例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不一定相鄰)，不同的排法共有________種.答案840解析7名學(xué)生的排列共有Aeq\o\al(7,7)種，其中女生的排列共有Aeq\o\al(3,3)種，按照從左到右，女生從矮到高的排列只是其中的一種，故有eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(3,3))＝Aeq\o\al(4,7)＝840(種)不同的排法．命題點(diǎn)3分組、分配問題例5(1)(2023·岳陽模擬)中國書法歷史悠久，源遠(yuǎn)流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨(dú)特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為()A．60B．90C．120D．150答案D解析滿足條件的分法可分為兩類，第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)種，即60種，第二類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),A\o\al(2,2))Aeq\o\al(3,3)種，即90種，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為150.(2)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實(shí)驗(yàn)艙和夢天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國空間站要安排6名航天員開展實(shí)驗(yàn)，其中每個(gè)艙安排2人．若甲、乙兩人不被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有()A．20種 B．36種C．72種 D．84種答案C解析將6名航天員每個(gè)艙安排2人開展實(shí)驗(yàn)的所有安排方法數(shù)為Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)，其中甲、乙兩人被安排在同一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)的安排方法數(shù)為Ceq\o\al(2,2)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)，所以滿足條件的不同的安排方案數(shù)為Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(2,2)·eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90－18＝72.思維升華求解排列、組合應(yīng)用問題的常用方法捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個(gè)人并排站在一起，則下列說法正確的有()A．若A，B不相鄰，共有72種排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C．若A在B右邊有60種排法D．若A，B兩人站在一起有48種排法答案ACD解析對于A，若A，B不相鄰，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72(種)排法，故A正確；對于B，若A不站在最左邊，B不站在最右邊，利用間接法有Aeq\o\al(5,5)－2Aeq\o\al(4,4)＋Aeq\o\al(3,3)＝78(種)排法，故B錯(cuò)誤；對于C，若A在B右邊有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60(種)排法，故C正確；對于D，若A，B兩人站在一起有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)排法，故D正確．(2)某次聯(lián)歡會要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．168答案B解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空．安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品，小品，相聲”、“小品，相聲，小品”和“相聲，小品，小品”．對于第一種情況，形式為“□小品歌舞小品□相聲□”，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法；對于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“□小品□相聲□小品□”，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,4)＝48(種)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(種)安排方法．(3)將9名大學(xué)生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答)答案1680解析先選出3人，有Ceq\o\al(3,9)種選法，再從剩下的6人中選出3人，有Ceq\o\al(3,6)種選法，最后剩下的3人為一組，有Ceq\o\al(3,3)種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理以及每Aeq\o\al(3,3)中只能算一種不同的分組方法，可知不同的安排方案共有eq\f(C\o\al(3,9)C\o\al(3,6)C\o\al(3,3),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝1680(種)．課時(shí)精練1．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析因?yàn)锳eq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，所以m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，即1＝eq\f(m－3,4)，解得m＝7.2．將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A．10B．20C．30D．40答案B解析將5名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么必然是一個(gè)宿舍2名，而另一個(gè)宿舍3名，共有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝20(種)．3．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種C．720種 D．480種答案B解析先將5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)種排法，2位老人只能排在5名志愿者之間的4個(gè)空隙中，先將2位老人排好，有Aeq\o\al(2,2)種排法，再把它作為一個(gè)元素插入空隙中，有4種插法．所以共有不同的排法4Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(5,5)＝960(種)．4．由0,1,2，…，9這十個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的有()A．98個(gè)B．105個(gè)C．112個(gè)D．210個(gè)答案D解析當(dāng)個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字為0,8時(shí)，有Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字為1,9時(shí)，有Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)個(gè)，所以個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的共有Aeq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(1,7)Aeq\o\al(2,2)＝210(個(gè))．5．將標(biāo)號為1,2,3,4的四個(gè)籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個(gè)籃球，且標(biāo)號為1,2的兩個(gè)籃球不能分給同一個(gè)小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A．15B．20C．30D．42答案C解析四個(gè)籃球分成三組有Ceq\o\al(2,4)種分法，三組籃球進(jìn)行全排列有Aeq\o\al(3,3)種分法，標(biāo)號為1,2的兩個(gè)籃球分給同一個(gè)小朋友有Aeq\o\al(3,3)種分法，所以有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝36－6＝30(種)分法．6．(2023·濟(jì)寧模擬)2022年7月19日，亞奧理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運(yùn)會，為了辦好這屆體育文化盛會，杭州亞運(yùn)會組委會決定進(jìn)行賽前志愿者招募，此舉得到在杭大學(xué)生的積極參與．某高校3位男同學(xué)和2位女同學(xué)通過篩選加入志愿者服務(wù)，通過培訓(xùn)，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，這四個(gè)項(xiàng)目都有人參加，要求2位女同學(xué)不安排在一起，且男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)為()A．144B．150C．168D．192答案D解析由題可得，參與志愿者服務(wù)的項(xiàng)目人數(shù)為2,1,1,1，若沒有限制則共有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(種)安排方法；當(dāng)兩個(gè)女同學(xué)在一起時(shí)有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)安排方法；當(dāng)男同學(xué)小王、女同學(xué)大雅在一起時(shí)有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)方法，所以按題設(shè)要求不同的安排方法種數(shù)為240－24－24＝192.7.如圖是由6個(gè)正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)作為一組．其中可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為()A．208B．204C．200D．196答案C解析任取的3個(gè)頂點(diǎn)不能構(gòu)成三角形的情形有3種：一是3條橫線上的4個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為3Ceq\o\al(3,4)；二是4條豎線上的3個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為4Ceq\o\al(3,3)；三是4條對角線上的3個(gè)點(diǎn)，其組數(shù)為4Ceq\o\al(3,3)，所以可以構(gòu)成三角形的組數(shù)為Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)－8Ceq\o\al(3,3)＝200.8．(多選)現(xiàn)有4個(gè)編號為1,2,3,4的不同的球和4個(gè)編號為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．則下列說法正確的是()A．恰有1個(gè)盒子不放球，共有72種放法B．每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，且球的編號和盒子的編號不同的放法有9種C．有2個(gè)盒子內(nèi)不放球，另外兩個(gè)盒子內(nèi)各放2個(gè)球的放法有36種D．恰有2個(gè)盒子不放球，共有84種放法答案BCD解析對于A，恰有1個(gè)盒子不放球，先選1個(gè)空盒子，再選一個(gè)盒子放兩個(gè)球，則Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝144≠72，故A不正確；對于B，編號為1的球有Ceq\o\al(1,3)種放法，把與編號為1的球所放盒子的編號相同的球放入1號盒子或者其他兩個(gè)盒子，共有1＋Ceq\o\al(1,2)＝3(種)，即3×3＝9(種)，故B正確；對于C，首先選出兩個(gè)空盒子，再取兩個(gè)球放剩下的兩個(gè)盒子中的一個(gè)，共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝36(種)，故C正確；對于D，恰有2個(gè)盒子不放球，首先選出兩個(gè)空盒子，再將4個(gè)球分為3,1或2,2兩種情況，放入盒子，共有Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,4))＝6×14＝84(種)，故D正確．9．(2022·大同模擬)在5G，AI，MR等技術(shù)的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新融媒產(chǎn)品，將5G技術(shù)引入新聞生產(chǎn)，有效擴(kuò)展了新聞的應(yīng)用場景，云采訪、云訪談、云直播等云端對話成為報(bào)道的新常態(tài)．現(xiàn)有4名新聞媒體記者采用云采訪、云訪談、云直播三種方式進(jìn)行報(bào)道，每種方式至少有一名記者采用，則不同的安排方法種數(shù)為________．答案36解析依題意將4名新聞媒體記者分成三組，共有Ceq\o\al(2,4)種方法﹐再將其進(jìn)行全排列共有Aeq\o\al(3,3)種方法﹐由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)安排方法．10．某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測工作的傳授，每個(gè)檢測點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是________．答案216解析根據(jù)題意，可先把4名“熟手”分為人數(shù)為2,1,1的三組，再分配到3個(gè)檢測點(diǎn)，共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種分法，然后把2名“生手”分配到3個(gè)檢測點(diǎn)中的2個(gè)，有Aeq\o\al(2,3)種分法，所以共有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,3)＝216(種)不同的分配方案．11．(2023·蘇州模擬)陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個(gè)家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一條小溪時(shí)，為了安全起見，他們排隊(duì)前進(jìn)，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男孩打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法共有()A．144種 B．216種C．288種 D．432種答案C解析第一步：先將3名母親全排列，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；第二步：將3名女孩“捆綁”在一起，共有Aeq\o\al(3,3)種排法；第三步：將“捆綁”在一起的3名女孩作為一個(gè)元素，在第一步形成的2個(gè)空中選擇1個(gè)插入，有Aeq\o\al(1,2)種排法；第四步：首先將2名男孩之中的一人，插入第三步后相鄰的兩個(gè)媽媽中間，然后將另一個(gè)男孩插入由女孩與媽媽形成的2個(gè)空中的其中1個(gè)，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種排法．所以不同的排法共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝288(種)．12．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號，那么不同的分法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案96解析先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人每人一張，一人2張，且分得的票必須是連號，相當(dāng)于將1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開，分為四部分且不存在三連號．在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)分法，再對應(yīng)到4個(gè)人，有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)分法，則共有4×24＝96(種)分法．13．(2022·濟(jì)南模擬)某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行A，B，C，D，E，F(xiàn)六項(xiàng)不同的任務(wù)，要求任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行，且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E，任務(wù)B，C不能相鄰，則不同的執(zhí)行方案共有()A．36種B．44種C．48種D．54種答案B解析由題意知任務(wù)A，E必須相鄰，且只能安排為AE，由此分三類完成：(1)當(dāng)AE排第一、二位置時(shí)，用○表示其他任務(wù)，則順序?yàn)锳E○○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)，先全排D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)，然后將任務(wù)B，C插入D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)形成的三個(gè)空隙中，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種方法．(2)當(dāng)AE排第二、三位置時(shí)，順序?yàn)椤餉E○○○，余下四項(xiàng)任務(wù)又分為兩類：①B，C兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排在第一個(gè)位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)種方法；②D，F(xiàn)兩項(xiàng)任務(wù)中一項(xiàng)排在第一個(gè)位置，剩余三項(xiàng)任務(wù)排在后三個(gè)位置，且任務(wù)B，C不相鄰，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種方法．(3)當(dāng)AE排第三、四位置時(shí)，順序?yàn)椤稹餉E○○，第一、二位置必須分別排來自B，C和D，F(xiàn)中的一個(gè)，余下兩項(xiàng)任務(wù)排在后兩個(gè)位置，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的執(zhí)行方案共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝44(種)．14．某共享汽車停放點(diǎn)的停車位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的排法與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的排法相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為________．答案10解析設(shè)停車位有n個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰相當(dāng)于先將(n－3)個(gè)停車位排放好，再將這3輛共享汽車插入到所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有Aeq\o\al(3,n－2)種．恰有2輛共享汽車相鄰，可先把其中2輛捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，再和另一輛插入到將(n－3)個(gè)停車位排好所成的(n－2)個(gè)間隔中，故有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)種．因?yàn)檫@3輛共享汽車都不相鄰的排法與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的排法相等，所以Aeq\o\al(3,n－2)＝Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,n－2)，解得n＝10.

§10.3二項(xiàng)式定理考試要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單問題．知識梳理1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展開式的第k＋1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．(2)增減性與最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)與相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.常用結(jié)論1．Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.2．Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項(xiàng)．(×)(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān)．(√)(3)通項(xiàng)公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk中的a和b不能互換．(√)(4)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是相同的．(×)教材改編題1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))10的展開式中x2的系數(shù)等于()A．45B．20C．－30D．－90答案A解析因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為Tk＋1＝，令－10＋eq\f(3,2)k＝2，得k＝8，所以展開式中x2的系數(shù)為(－1)8×Ceq\o\al(8,10)＝45.2．已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)等于()A．31B．32C．15D．16答案A解析逆用二項(xiàng)式定理得Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝25－1＝31.3．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為________．答案20解析因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n＝64，所以n＝6，則Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)x6－2k，當(dāng)6－2k＝0，即k＝3時(shí)為常數(shù)項(xiàng)，T4＝Ceq\o\al(3,6)＝20.題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)例1(1)二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))10的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是()A．－45B．－10C．45D．65答案C解析由二項(xiàng)式定理得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))10－k(－x2)k＝，令eq\f(5k,2)－5＝0得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為(－1)2Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式中x5的系數(shù)為A，x2的系數(shù)為B，若A＋B＝11，則a＝__________.答案±1解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)x5－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))k＝(－a)kCeq\o\al(k,5).由5－eq\f(3,2)k＝5，得k＝0，由5－eq\f(3,2)k＝2，得k＝2，所以A＝Ceq\o\al(0,5)×(－a)0＝1，B＝Ceq\o\al(2,5)×(－a)2＝10a2，則由1＋10a2＝11，解得a＝±1.命題點(diǎn)2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式問題例2(1)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A．56B．84C．112D．168答案D解析在(1＋x)8的展開式中含x2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,8)x2＝28x2，(1＋y)4的展開式中含y2的項(xiàng)為Ceq\o\al(2,4)y2＝6y2，所以x2y2的系數(shù)為28×6＝168.(2)在(2x＋a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6的展開式中，x2的系數(shù)為－120，則該二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．3204B．－160C．160D．－320答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·x6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))k＝Ceq\o\al(k,6)·2k·x6－2k，2xTk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·2k＋1·x7－2k，由k∈N，得7－2k≠2，故不成立，aTk＋1＝aCeq\o\al(k,6)·2k·x6－2k，令6－2k＝2，解得k＝2，則aCeq\o\al(2,6)·22＝60a＝－120，解得a＝－2，∵7－2k≠0，在－2Tk＋1中，令6－2k＝0，解得k＝3，∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為－2Ceq\o\al(3,6)·23＝－320.思維升華(1)求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是化簡通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可．(2)對于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的特定項(xiàng)問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國Ⅰ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案－28解析(x＋y)8展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)x8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Ceq\o\al(6,8)x2y6；令k＝5，得T5＋1＝Ceq\o\al(5,8)x3y5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為Ceq\o\al(6,8)－Ceq\o\al(5,8)＝－28.(2)在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．答案16eq\r(2)5解析由題意得，(eq\r(2)＋x)9的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．當(dāng)k＝0時(shí)，可得常數(shù)項(xiàng)為T1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2).若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5個(gè)．題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)問題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128，則()A．二項(xiàng)式系數(shù)和為32B．各項(xiàng)系數(shù)和為128C．常數(shù)項(xiàng)為－135D．常數(shù)項(xiàng)為135答案D解析令x＝1，得各項(xiàng)系數(shù)和為2n，又二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，則2×2n＝128，得n＝6，即二項(xiàng)式系數(shù)和為64，各項(xiàng)系數(shù)和也為64，故A，B不正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))6的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(3x)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))k＝Ceq\o\al(k,6)·(－1)k36－k·，令6－eq\f(3,2)k＝0，得k＝4，因此展開式中的常數(shù)項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,6)·(－1)4·32＝135，故C不正確，D正確．(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.答案3005120解析①由已知得(1＋x)10展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)xk，所以展開式中每一項(xiàng)的系數(shù)即為其二項(xiàng)式系數(shù)．故a2＋a6＋a8＝Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(6,10)＋Ceq\o\al(8,10)＝300.②對原式兩邊求導(dǎo)得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5120.命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值問題例4(多選)(2023·唐山模擬)下列關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6的展開式的說法中正確的是()A．常數(shù)項(xiàng)為－160B．第4項(xiàng)的系數(shù)最大C．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為1答案ACD解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))6－k·(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,6)·x2k－6.對于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為(－2)3Ceq\o\al(3,6)＝－8×20＝－160，A正確；對于B，由通項(xiàng)公式知，若要系數(shù)最大，k所有可能的取值為0,2,4,6，∴T1＝x－6，T3＝4Ceq\o\al(2,6)x－2＝60x－2，T5＝(－2)4Ceq\o\al(4,6)x2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴展開式第5項(xiàng)的系數(shù)最大，B錯(cuò)誤；對于C，展開式共有7項(xiàng)，得第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，C正確；對于D，令x＝1，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(1－2)6＝1，D正確．思維升華賦值法的應(yīng)用一般地，對于多項(xiàng)式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)對于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展開式，下列說法正確的是()A．所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為64C．常數(shù)項(xiàng)為1215D．系數(shù)最大的項(xiàng)為第3項(xiàng)答案ABC解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為26＝64，故A正確；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正確；展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6－