2019年北京市高考文科數(shù)學(xué)試題及答案

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=（A）（–1，1） （B）（1，2） （C）（–1，+∞） （D）（1，+∞）（2）已知復(fù)數(shù)z=2+i，則（A） （B） （C）3 （D）5（3）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是（A） （B）y= （C） （D）（4）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知雙曲線(xiàn)（a>0）的離心率是，則a=（A） （B）4 （C）2 （D）（6）設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為的星的亮度為（k=1,2）．已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為（A）1010.1 （B）10.1 （C）lg10.1 （D）（8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（A）4β+4cosβ （B）4β+4sinβ （C）2β+2cosβ （D）2β+2sinβ第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。（9）已知向量=（–4，3），=（6，m），且，則m=__________．（10）若x，y滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________．（11）設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l．則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．（12）某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為_(kāi)_________．（13）已知l，m是平面外的兩條不同直線(xiàn)．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：__________．（14）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為_(kāi)_________．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（15）（本小題13分）在△ABC中，a=3，，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．（16）（本小題13分）設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．（17）（本小題12分）改革開(kāi)放以來(lái)，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來(lái)，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額支付方式不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒(méi)有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由．（18）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說(shuō)明理由．（19）（本小題14分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)AP與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．（20）（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

絕密★啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B（5）D （6）C （7）A （8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）8 （10）–31（11） （12）40（13）若，則．（答案不唯一）（14）13015三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，得．因?yàn)椋裕獾茫裕á颍┯傻茫烧叶ɡ淼茫谥?，．所以．?6）（共13分）解：（Ⅰ）設(shè)的公差為．因?yàn)?，所以．因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以．所以．解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，的最小值為．（17）（共12分）解：（Ⅰ）由題知，樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30人，僅使用B的學(xué)生有24+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100–30–25–5=40人．估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為．（Ⅱ）記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于2000元”，則．（Ⅲ）記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，該學(xué)生本月的支付金額大于2000元”．假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒(méi)有變化，則由（II）知，=0.04．答案示例1：可以認(rèn)為有變化．理由如下：比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化．所以可以認(rèn)為有變化．答案示例2：無(wú)法確定有沒(méi)有變化．理由如下：事件E是隨機(jī)事件，比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的．所以無(wú)法確定有沒(méi)有變化．（18）（共14分）解：（Ⅰ）因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．又因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以．所以平面PAC．（Ⅱ）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，∠ABC=60°，且E為CD的中點(diǎn)，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE．取F為PB的中點(diǎn)，取G為PA的中點(diǎn)，連結(jié)CF，F(xiàn)G，EG．則FG∥AB，且FG=AB．因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，且E為CD的中點(diǎn)，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四邊形CEGF為平行四邊形．所以CF∥EG．因?yàn)镃F平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．（19）（共14分）解：（I）由題意得，b2=1，c=1．所以a2=b2+c2=2．所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則直線(xiàn)AP的方程為．令y=0，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．又，從而．同理，．由得．則，．所以．又，所以．解得t=0，所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（0，0）．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由得．令，即，得或．又，，所以曲線(xiàn)的斜率為1的切線(xiàn)方程是與，即與．（Ⅱ）令．由得．令得或．的情況如下：所以的最小值為，最大值為．故，即．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，當(dāng)最小時(shí)，．選擇填空解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，則A∪B=A.（–1，1） B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，故選C.【點(diǎn)睛】考查并集求法，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則A. B. C.3 D.5【答案】D【解析】【分析】題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.【詳解】∵故選D.【點(diǎn)睛】本容易題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.3.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是A. B.y= C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，注重對(duì)重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)的考查，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，屬于容易題.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖中的條件逐次運(yùn)算即可.【詳解】運(yùn)行第一次，，，運(yùn)行第二次，，，運(yùn)行第三次，，，結(jié)束循環(huán)，輸出，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.5.已知雙曲線(xiàn)（a＞0）的離心率是則a=A. B.4 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】本題根據(jù)根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率的定義，列關(guān)于A的方程求解.【詳解】分析：詳解：∵雙曲線(xiàn)的離心率，，∴，解得，故選D.【點(diǎn)睛】對(duì)雙曲線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)和基本計(jì)算能力的考查.6.設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)為偶函數(shù)等價(jià)于進(jìn)行判斷.【詳解】時(shí)，,為偶函數(shù)；為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，，得對(duì)任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題較易，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.7.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿(mǎn)足，其中星等為m1的星的亮度為E2（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.【答案】D【解析】【分析】先求出，然后將對(duì)數(shù)式換指數(shù)式求再求【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿(mǎn)足,令，，，，故選D.【點(diǎn)睛】考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.8.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ【答案】B【解析】【分析】陰影部分的面積S=S△PAB+S1-S△OAB.其中S1、S△OAB的值為定值.當(dāng)且僅當(dāng)S△PAB取最大值時(shí)陰影部分的面積S取最大值.【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β,面積S最大值為βr2+S△POB+S△POA=4β+|OP||OB|sin（π-β）+|OP||OA|Sin（π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4Sinβ，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.【答案】8.【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算，得到.【詳解】向量則.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.10.若x，y滿(mǎn)足則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________.【答案】(1)..(2).1.【解析】【分析】作出可行域，移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線(xiàn)，利用圖解法求解.【詳解】作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線(xiàn)l0：y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2,-1）時(shí),z取最小值-3，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2,3）時(shí),z取最大值1.【點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型，根據(jù)“畫(huà)、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.11.設(shè)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為_(kāi)_________．【答案】(x-1)2+y2=4.【解析】【分析】由拋物線(xiàn)方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線(xiàn)y2=4x中，2P=4，P=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線(xiàn)l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點(diǎn)睛】本題可采用數(shù)形結(jié)合法，只要畫(huà)出圖形，即可很容易求出結(jié)果.12.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為_(kāi)_________．【答案】40.【解析】【分析】畫(huà)出三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體，應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積.【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示幾何體的體積V=43-（2+4）×2×4=40【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)有二，一是不能正確還原幾何體；二是計(jì)算體積有誤.為避免出錯(cuò)，應(yīng)注重多觀察、細(xì)心算.13.已知l，m是平面外的兩條不同直線(xiàn)．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.【解析】【分析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)