北京市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

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一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|﹣2＜x≤4}，則A∪B＝（）

A．（﹣3，﹣2）B．（﹣2，1）C．（1，4）D．（﹣3，4]

2．已知復(fù)數(shù)z的共軛為，若z+＝2，則z的實(shí)部為（）

A．1B．﹣1C．﹣iD．i

3．在（a+x）3的展開式中，x的系數(shù)為12，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A．±1B．±2C．﹣3D．4

4．直線y＝x+1被圓（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1所截得的弦長為（）

A．1B．C．2D．3

5．下列函數(shù)中，沒有對(duì)稱中心的是（）

A．B．f（x）＝x3C．f（x）＝tanxD．f（x）＝2|x|

6．已知函數(shù)f（x）＝1﹣2sin2x，則的值為（）

A．B．C．D．1

7．等差數(shù)列{an}的其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S4＝a2a3+1，則{an}的公差為（）

A．2或﹣2B．2或C．﹣2或D．﹣3或2

8．已知不共線的兩個(gè)非零向量，則“與所成角為鈍角”是“”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

9．拋物線W：y2＝2px的焦點(diǎn)為F．點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A．若以F為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A且與W的兩個(gè)交點(diǎn)為B，C，則下面結(jié)論正確的是（）

A．△BOC一定是鈍角三角形B．△BOC可能是銳角三角形

C．△ABC一定是鈍角三角形D．△ABC可能是銳角三角形

10．棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在棱CD上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在側(cè)面ADD1A1上運(yùn)動(dòng)，滿足B1Q⊥平面AD1P，則線段PQ的最小值為（）

A．B．1C．D．

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

11．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

12．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A，B，若△OAB為等邊三角形，則W的漸近線方程為，W的離心率為．

13．在△ABC中，，且，則a＝，c＝．

14．函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的一個(gè)值為；a的最大值為．

15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+Sn＝kn+b，其中k，b不同時(shí)為0．給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)k＝0時(shí)，{an}為等比數(shù)列；

②當(dāng)k≠0時(shí)，{an}一定不是等差數(shù)列；

③當(dāng)k＝b時(shí)，{an}為常數(shù)列；

④當(dāng)k＞b時(shí)，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列．

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

16．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，側(cè)面ABB1A1是正方形，且，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在直線A1D1上．

（1）若C1F∥平面AA1E，求證：CF∥平面AA1E；

（2）求二面角A﹣A1E﹣D1的余弦值．

17．已知f（x）＝sin（x+φ）+acosx，其中．

（1）若，求φ的值；

（2）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

條件①：；

條件②：．

18．為了解員工每日健步走的情況，某單位工會(huì)隨機(jī)抽取了300名員工，借助計(jì)步小程序統(tǒng)計(jì)了他們每日健步走的步數(shù)（均不低于4千步，不超過20千步），按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．

（1）試估計(jì)該單位全體員工日行步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）單位工會(huì)從全體員工中隨機(jī)選取3人，記ξ表示3人中每日健步數(shù)在14千步以上的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和期望；

（3）假設(shè)單位員工甲、乙、丙三人某日健步走的步數(shù)分別為a，b，c，且a∈[4，10），b∈[10，16），c∈[16，20]，且a，b，c∈N，則三人當(dāng)日健步走的步數(shù)的方差s2最小時(shí)，寫出a，b，c的一組值（不要求證明）．（單位：千步）

注：s2＝[x1﹣）2+（x2﹣）2+……+（xn﹣）2]，其中＝（x1+x2+……+xn）．

19．已知函數(shù)，曲線y＝f（x）在（0，f（0））的切線為y＝﹣x+1．

（1）求a，b的值；

（2）求證：函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；

（3）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

20．已知橢圓的離心率為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，直線l：y＝kx﹣1與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，經(jīng)過點(diǎn)Q且斜率為的直線與l交于點(diǎn)M，點(diǎn)N滿足PN∥x軸，MN⊥x軸，求證：點(diǎn)N在直線上．

21．給定正整數(shù)k，m，其中2≤m≤k，如果有限數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱{an}為（k，m）﹣數(shù)列．記（k，m）﹣數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值為G（k，m）．

條件①：{an}的每一項(xiàng)都屬于集合{1，2，3，，k}；

條件②：從集合{1，2，3，，k}中任取m個(gè)不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是{an}的子數(shù)列．

注：從{an}中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第is項(xiàng)（其中i1＜i2＜＜is）形成的新數(shù)列稱為{an}的一個(gè)子數(shù)列．

（1）分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否為（3，3）﹣數(shù)列，并說明理由：

數(shù)列A1：1，2，3，1，2，3，1，2，3；

數(shù)列A2：1，2，3，2，1，3，1；

（2）求證：G（k，2）＝2k﹣1；

（3）求G（4，4）的值．絕密★啟用前

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

（1）D（2）A（3）B（4）C（5）D

（6）B（7）B（8）C（9）A（10）A

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

323

（11）[0,1)（12）yx，

33

（13）1，1（14）1（答案不唯一），1（15）①③④

說明：第（12）（13）（14）第一空3分，第二個(gè)空2分，

第（15）題，選擇一個(gè)正確的給3分，兩個(gè)正確的給4分，三個(gè)正確的給5分，有

錯(cuò)誤選項(xiàng)的給零分.

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為長方體，所以AACC．．．．．．1分11

所以CC平面AAE．．．．．．2分11

又C1F平面AAE，CCCFC．．．．．．3分1111

所以平面CC平面．．．．．．5分1FAA1E

又CF面CCF，1

所以CF平面AAE．．．．．．6分1

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系z(mì)ABDA1，．．．．．．7分

AF1D1

則A(0,0,0)，E(22,2,0)，A1(0,0,22)，D1(0,4,22)

B1C1

設(shè)二面角AAED的平面角為11

A

Dy

因?yàn)锳E(22,2,0),AA(0,0,122)，

B

EC

x

A(1E22,2,22),A1D()10,4，0

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第1頁（共8頁）

{#{ABLYaoEQoggiogQAgJBAAAABBhgCCAQVVCgCAgAEQkABGECCCIggOGBxABAAMMsAABSBANFABAA=}#}

(,,)

BD2240,

AEBD0

所以

AA1BD0

所以平面AAE的法向量為BD(22,14,0),

設(shè)平面AED的法向量為n(x,y,z)11

AEn22x2y22z0

所以

A1D1n4y0

令n(1,0,1)

BDn

cos,6所以|cos||BDn|||

|BD||n|6

6

所以二面角AAED余弦值為．．．．．．．13分11

6

（17）（共13分）

解：

π2πππ

（Ⅰ）因?yàn)槿鬴()，f(x)sin()acossin()cos．．．．．．４分

22222

2

所以cos

2

πππ

因?yàn)閨|，所以或．．．．．．６分

244

（Ⅱ）選條件①

π

因?yàn)閒(x)sin(x)3cosx

3

ππ

所以f(x)sinxcoscosxsin3cosx．．．．．．８分

33

1313

sinxcosx3cosxsinxcosx

2222

π

sin(x)．．．．．．1０分

3

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第2頁（共8頁）

{#{ABLYoaEQoggiogQAgJBAAAABBhgCCAQVVCgCAgAEQkABGECCCIggOGBxABAAMMsAABSBANFABAA=}#}

πππ5ππ

當(dāng)2kπx2kπ時(shí)，2kπx2kπ

23266

5ππ

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ,2kπ,kZ．．．．．．13分

66

選條件②

π

由f(x)sin(x)cosx

6

ππ

所以f(x)sinxcoscosxsincosx．．．．．．８分

66

3131

sinxcosxcosxsinxcosx

2222

π

sin(x)．．．．．．1０分

6

ππππ2π

當(dāng)2kπx2kπ時(shí)，2kπx2kπ

26233

π2π

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ,2kπ33

,kZ．．．．．．13分

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）根據(jù)題意，該單位工會(huì)月的人均健步步數(shù)估計(jì)為：

50.0170.0190.08110.58130.22150.06170.03190.01

11.68（千步）．．．．．．4分

（Ⅱ）的所有可能值為0,1,2,3．．．．．．5分

9372919243P(0)()，P(1)C1()2，

310100010101000

21292711P(2)C3()．P(3)()

3．．．．．．9分

10101000101000

所以的分布列為

0123

729243271

P

1000100010001000

7292432713

故的期望E()0123．．．．．．．12分

100010001000100010

（Ⅱ）a9.999,b12.999,c16.000（或a9.999,b13.000,c16.000）

．．．．．．14分

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第3頁（共8頁）

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（19）（共15分）

xb1xb

解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)ax,所以f(x)a．．．．．．2分

exex

因?yàn)閥f(x)在(0,f(0))的切線為yx1

0b

所以f(0)01，．．．．．．3分

e0

10b

f(0)aa1b1．．．．．．4分

e0

所以b1,a1，．．．．．．6分

x12xexx2

（Ⅱ）因?yàn)閒(x)x，f(x)1

exexex

令h(x)exx2，所以h'(x)ex+1．．．．．．８分

當(dāng)x1時(shí)，h'(x)0，

所以h(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增，又h(1)0

所以h(x)0對(duì)x(1,)成立．．．．．．10分

所以f(x)0對(duì)x(1,)成立

所以f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增．．．．．．11分

1x

（Ⅲ）法１：f(x)x

ex

1x

當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)?e

x1，所以1x

ex

x11x

所以f(x)xxx1x0．．．．．．12分

exex

1x1x

當(dāng)0x1時(shí)，x0,0，所以f(x)x0．．．．．．13分

exex

當(dāng)x1由（Ⅱ）f(x)f(1)0．．．．．．14分

所以

f(x)0成立，所以函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)．．．．．．15分

1xxex1x

法2：f(x)x

exex

令g(x)xex1xx(ex1)1，

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第4頁（共8頁）

{#{ABLYaoQEoggiogQAgJBAAAABBhgCCAQVVCgCAgAEQkABGECCCIggOGBxABAAMMsAABSBANFABAA=}#}

x

當(dāng)x0時(shí)，e10，所以x(ex1)10

ex當(dāng)x0時(shí)，10，所以x(ex1)10

所以f(x)0成立，所以函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)．．．．．．15分

1xxex1x

法3：f(x)x

exex

令g(x)xex1xx(ex1)1，所以g'(x)(x1)ex1

令h(x)g'(x)，所以h'(x)(x2)ex

當(dāng)x2時(shí)，h'(x)0，當(dāng)x2時(shí)，h'(x)0

所以h(x)在(,2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增，

而x1時(shí)，h(x)0，且h(0)0

所以h(x)0對(duì)x0成立，h(x)0對(duì)x0成立

所以g(x)在(,0)上單調(diào)遞減，在(0,)上單調(diào)遞增，

即g(x)在x0時(shí)取得唯一一個(gè)極小值，而g(0)10

所以g(x)0成立，所以函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)．．．．．．15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由題設(shè)，得a2．．．．．．．1分

c2

又e，所以c1．．．．．．．3分

a2

所以b2a2c21．．．．．．4分

x2

所以橢圓C的方程為y21．．．．．．5分

2

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第5頁（共8頁）

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（Ⅱ）依題意，設(shè)P(x,y)，Q(x,y),M(x,y),N(x,y).PPQQMMNN

因?yàn)橹本€l的方程為ykx1

ykx1,

由，得(12k

2)x24kx0．．．．．．７分

x

22y220

2

4k4k2k1

所以x，所以y．．．．．．9分PPk1212k212k12k2

4k12k2

所以Q(,)．．．．．．10分

12k212k2

24k12k2

所以直線QM的方程為y(x)．．．．．．11分

212k212k2

24k12k2

y(x)

所以212k212k2

ykx1

22

所以x．．．．．．13分M

12k2

222k21

所以N(,)

12k212k2

．．．．．．14分

2222k21

在直線方程yx1中，令x，得y，

212k212k

2

2

即點(diǎn)N在直線yx1上．．．．．．15分

2

（21）（共15分）

（Ⅰ）A是，因?yàn)橄旅?個(gè)數(shù)列：1

1，2，3；1，3，2；2，1，3；

2，3，1；3，1，2；3，2，1都是A1的子數(shù)列；

A2不是，因?yàn)?，1，2不是A2的子數(shù)列.．．．．．．4分

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第6頁（共8頁）

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（Ⅱ）G(k,2)2k1，構(gòu)造數(shù)列：1,2,3,...,k1,k,k1,k2,...,2,1，

檢驗(yàn)可知，這個(gè)數(shù)列是(k,2)數(shù)列．．．．．．5分

假設(shè)存在數(shù)列{a}是(k,2)數(shù)列，且{a}的項(xiàng)數(shù)2k2，nn

由于{a}的每一項(xiàng)都屬于{1,2,3,...,k}，n

所以1,2,3,...,k中一定存在一個(gè)數(shù)在{a}中至多出現(xiàn)1次.n

根據(jù)條件②，1,2,3,...,k中每一個(gè)數(shù)在{a}中至少出現(xiàn)1次，n

故不妨設(shè)k在{a}中恰好出現(xiàn)1次，n

由于k的左邊必須有1,2,3,...,k1，k的右邊也必須有1,2,3,...,k1，

所以{a}的項(xiàng)數(shù)12(k1)，矛盾.．．．．．．9分n

（Ⅲ）首先我們考慮G(i,i)與G(i1,i1)的關(guān)系.

任取一個(gè)(i