線性方程組(ch2.3)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎?wù)n件市賽課一等獎?wù)n件

§2.3向量間線性關(guān)系一、向量線性組合1、引例：向量與方程組設(shè)線性方程組矩陣形式為AX=β,其中第1頁9/16/20231集美大學(xué)理學(xué)院即存在x1=k1,x2=k2,…,xn

=kn使得β=k1α1+k2α2+…+knαn,也即β可表成

α

1,

α

2,…,

α

n線性關(guān)系式或線性組合。則稱向量β可由向量組線性表示（出）.若存在一組數(shù)定義2.8

對給定向量使得表示式成立?；蛳蛄喀率窍蛄拷M線性組合.方程組有解成立.

R(A)=R(A)成立.第2頁9/16/20232集美大學(xué)理學(xué)院例1令，其中第個分量為1，其余分量為零，。則任一個維向量都可由向量組線性表示，例2零向量都可由任一向量組線性表示，而且有且有.例3向量組中任一向量都可由該向量組線性表示，而且有第3頁9/16/20233集美大學(xué)理學(xué)院定理設(shè)則可由線性表示充分必要條件是：線有解，而且這個線性方程組每個解都可取作線性組合系數(shù)。性方程組：表成2、可線性表示充分必要條件第4頁9/16/20234集美大學(xué)理學(xué)院證：β可由向量組線性表示充分必要條件是存在數(shù)x1,x2,…,xn

使得第5頁9/16/20235集美大學(xué)理學(xué)院可由向量組則向量線性表示充分定理設(shè)必要條件是:以為列向量矩陣與以為列向量矩陣有相同秩。注：判斷向量β能否由向量組線性表示問題,能夠轉(zhuǎn)化為判斷線性方程組是否有解問題.

第6頁9/16/20236集美大學(xué)理學(xué)院解考慮即非齊次線性方程組對方程組增廣矩陣進(jìn)行行初等變換,得第7頁9/16/20237集美大學(xué)理學(xué)院方程組有唯一解:第8頁9/16/20238集美大學(xué)理學(xué)院解例2試問以下向量b能否由其余向量線性表示?若能,寫出線性表示式:

第9頁9/16/20239集美大學(xué)理學(xué)院對矩陣進(jìn)行行初等變換,得第10頁9/16/202310集美大學(xué)理學(xué)院繼續(xù)用行初等變換將矩陣化為行最簡形矩陣,可得第11頁9/16/202311集美大學(xué)理學(xué)院這是無窮各種表示式之中一個.第12頁9/16/202312集美大學(xué)理學(xué)院練習(xí)：答案：第13頁9/16/202313集美大學(xué)理學(xué)院線性方程組

若令則方程組可寫為向量方程二、線性相關(guān)與線性無關(guān)第14頁9/16/202314集美大學(xué)理學(xué)院

對向量組,若存在不全為零實(shí)數(shù)使得則稱線性相關(guān);不然稱為線性無關(guān),即

當(dāng)且僅當(dāng)時上式成立,則稱線性無關(guān).定義例：設(shè)α

1=(1,0,0),α

2=(0,1,0),α

3=(0,0,1)，α

4=(2,-1,0),

則2α

1

-α

2-α

4=0，故α

1,α

2,α

4線性

相關(guān)。而α

1,α

2,α

3線性無關(guān)。1、定義第15頁9/16/202315集美大學(xué)理學(xué)院有非零解。定理設(shè)則向量組線性相關(guān)充分必要條件是:線性方程組：2、線性相關(guān)性判定第16頁9/16/202316集美大學(xué)理學(xué)院

必要條件是：以為列向量矩陣秩小于向量個數(shù)n。

定理設(shè)m維列向量組其中則向量組線性相關(guān)充分第17頁9/16/202317集美大學(xué)理學(xué)院①m維列向量組α

1,α

2,…,α

n，線性無關(guān)充要條件是：以α

1,α

2,…,α

n為列向量矩陣秩等于向量個數(shù)n。注：⑤②

n維列向量組α

1,α

2,…,α

n，線性相關(guān)充要條件是：

以α

1,α

2,…,α

n為列向量矩陣A秩小于向量個數(shù)n。也即|A|=0.③n維列向量組α

1,α

2,…,α

n，線性無關(guān)充要條件是：

以α

1,α

2,…,α

n為列向量矩陣A秩等于向量個數(shù)n。也即|A|≠0.④當(dāng)向量組中所含向量個數(shù)大于向量維數(shù)時，此向量組線性相關(guān)。第18頁9/16/202318集美大學(xué)理學(xué)院例1含有零向量向量組必線性相關(guān)。對向量組有是線性無關(guān)。維向量，則向量組線性相關(guān)。例3例4單個向量線性相關(guān)（無關(guān)）當(dāng)且僅當(dāng)向量（非零向量）。為零維向量組例2第19頁9/16/202319集美大學(xué)理學(xué)院解令矩陣第20頁9/16/202320集美大學(xué)理學(xué)院另一解法第21頁9/16/202321集美大學(xué)理學(xué)院

例6判斷向量組是否線性相關(guān)?

解令矩陣第22頁9/16/202322集美大學(xué)理學(xué)院

解令矩陣第23頁9/16/202323集美大學(xué)理學(xué)院當(dāng)即且且時，當(dāng)或第24頁9/16/202324集美大學(xué)理學(xué)院另一解法

所以當(dāng)即且時，因?yàn)?，?dāng)或第25頁9/16/202325集美大學(xué)理學(xué)院

例8

設(shè)線性無關(guān),試討論線性相關(guān)性.

解:設(shè)整理得由線性無關(guān)得即當(dāng)且僅當(dāng)時(*)式成立,所以,向量組線性無關(guān).第26頁9/16/202326集美大學(xué)理學(xué)院該定理逆否命題為：

若一個向量組線性無關(guān)，則其任一部分組也線性無關(guān)。

部分相關(guān),則整體相關(guān).整體無關(guān),則部分無關(guān).則存在不全為零實(shí)數(shù)使得顯然，成立，即線性相關(guān).定理

假如一個向量組中有一部分向量（稱為部分組）線性相關(guān)，則整個向量組線性相關(guān).設(shè)中部分組線性相證關(guān)，第27頁9/16/202327集美大學(xué)理學(xué)院(1)線性無關(guān);(2)線性相關(guān);練習(xí)：答案：第28頁9/16/202328集美大學(xué)理學(xué)院三、線性相關(guān)與線性表示關(guān)系推論

向量組線性無關(guān)其中任一向量都不能由其它向量線性表示.第29頁9/16/202329集美大學(xué)理學(xué)院設(shè)是其余s-1個向量線性組合,則存在一

顯然,即:線性相關(guān).設(shè)線性相關(guān),則存在不全為零數(shù)使得不妨設(shè)則即:可由線性表示.(2)證(1)顯然.組數(shù)使得第30頁9/16/202330集美大學(xué)理學(xué)院則，不然有：線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則可由向量組線性表示且表示法唯一。定理

若向量組證：因?yàn)橄蛄拷M線性相關(guān)，所以存在不全為零數(shù)，使得：，再由線性無關(guān)得第31頁9/16/202331集美大學(xué)理學(xué)院即可由向量組線性表示。再證表示法唯一，設(shè)有兩種表示法：則有與不全為零矛盾。所以，從而有第32頁9/16/202332集美大學(xué)理學(xué)院所以

故

可由向量組

線性表示且表示法唯一。

由線性無關(guān)得:中

個向量則

中任一向量

可由

表示法唯一。