模煳數學教案01市公開課獲獎課件省名師優(yōu)質課賽課一等獎課件

含糊數學北京化工大學理學院楊衛(wèi)星行政樓428yangwx@1/37課程介紹介紹含糊數學基本理論和基本研究方法研究性學習過程接觸一些前沿問題和最新研究動態(tài)參考書目：《含糊數學方法及其應用》第三版，謝季堅，劉承平，華中科技大學出版社

《含糊理論基礎》，胡寶清，武漢大學出版社

2/37成績評定課程性質：24課時，選修課成績評定：20%平時作業(yè)，考勤

30%讀書匯報

50%閉卷考試3/37讀書匯報要求選擇國內外期刊正式發(fā)表文章，用到了含糊數學思想或者方法，中英文均可。長度最少2頁，A4紙打印，文件和讀書匯報都要交，考試前上交。內容包含：4/371）論文所研究問題以及這個問題為何有意義；2）論文基本假設，這些假設是否合理；3）論文使用方法；4）論文選取模型；5）基本結果；6）該論文貢獻和缺點，你對結果思索或可能擴展或者其它你認為應該包含內容。5/37第

1章含糊集基本概念6/37

含糊數學是研究和處理含糊性現象數學方法.眾所周知，經典數學是以準確性為特征.

然而，與準確形相悖含糊性并不完全是消極、沒有價值.甚至能夠這么說，有時含糊性比準確性還要好.

比如,要你某時到某地去迎接一個“大胡子高個子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡中年男人”.

盡管這里只提供了一個準確信息――男人，而其它信息――大胡子、高個子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是含糊概念，不過你只要將這些含糊概念經過頭腦綜合分析判斷，就能夠接到這個人.

含糊數學在實際中應用幾乎包括到國民經濟各個領域及部門，農業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質勘探、醫(yī)學、經濟管理等方面都有含糊數學廣泛而又成功應用.7/37含糊數學主要內容三個基本概念：含糊集合，含糊關系，含糊隸屬函數三大基本原理：分解定理，表現定理，擴張原理三個基本應用：含糊聚類分析，含糊模式識別，含糊綜合評判三大熱門專題：含糊決議理論，含糊邏輯系統，含糊測度理論8/37§1.2含糊理論數學基礎經典集合經典集合含有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重復性；范圍邊界分明,即一個元素x要么屬于集合A(記作x

A),要么不屬于集合(記作x

A)，二者必居其一.

集合表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，則x

B；

A

B

若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.9/37

集合A全部子集所組成集合稱為A冪集，記為

(A).并集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；余集Ac

={x|x

A}.集合運算規(guī)律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；10/37分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.11/37映射與擴張映射f：X

Y集合A特征函數：特征函數滿足：取大運算,如2∨3=3取大運算,如2∧3=2擴張：點集映射集合變換12/37二元關系XY子集R稱為從X到Y二元關系，尤其地，當X=Y時，稱之為X上二元關系.二元關系簡稱為關系.若(x,y)R，則稱x與y相關系，記為R(x,y)=1；若(x,y)R，則稱x與y沒相關系，記為R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}實際上是XY子集R上特征函數.13/37關系三大特征：

設R為X上關系

(1)自反性：若X上任何元素都與自己有關系R，即R(x,x)=1，則稱關系R含有自反性；

(2)對稱性：對于X上任意兩個元素x,y，若x與y相關系R時，則y與x也相關系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那么稱關系R含有對稱性；

(3)傳遞性：對于X上任意三個元素x,y,z，若x與y相關系R，y與z也相關系R時，則x與z也相關系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那么稱關系R含有傳遞性.

14/37關系矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y二元關系，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R關系矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1矩陣.關系合成

設R1是X到Y關系,R2是Y到Z關系,則R1與R2合成R1°

R2是X到Z上一個關系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}15/37關系合成矩陣表示法

設X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y關系R1=(aik)m×s，Y到Z關系R2=(bkj)s×n，則X到Z關系可表示為矩陣合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…16/37

例設X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y關系,R2是Y到Z關系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.17/37合成(°

)運算性質：性質1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.18/37關系三大特征矩陣表示法：

設R為X={x1,x2,…,xn}

上關系，則其關系矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R含有自反性

I≤R；(2)R含有對稱性

RT

=R

；(3)R含有傳遞性

R2≤R

.

若R含有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…19/37下面證實：R含有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設R含有傳遞性,即對任意i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對任意i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，20/37即ris=1,rsj=1.

因為R含有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.總而言之

R2≤R.

設R2≤R，則對任意i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，所以∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R含有傳遞性.21/37集合上等價關系

設

X上關系R含有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R為X上等價關系.

若x與y有等價關系R，則記為x

y.集合上等價類

設

R是X上等價關系，x

X.定義x等價類：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合分類

設

X是非空集，Xi

是X非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱集合族{Xi

}是集合X一個分類.22/37

定理：集合X上任一個等價關系R能夠確定X一個分類.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒相關系R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)因為R含有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x相關系R，與y也相關系R.因為R含有對稱性，所以x與z相關系R，z與y也相關系R.又因為R含有傳遞性，x與y也相關系R.這與題設矛盾.

(3)略.23/37例設X={1,2,3,4},定義關系R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數；R3

：xi+xj=5.

則關系R1是傳遞，但不是自反，也不是對稱；輕易驗證關系R2是X上等價關系；關系R3是對稱和傳遞，但不是自反.按關系R2可將X分為奇數和偶數兩類，即X={1,3}∪{2,4}.按關系R3可將X分為兩類，即X={1,4}∪{2,3}.24/37格

設在集合L中要求了兩種運算∨與∧,并滿足以下運算性質：冪等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱L是一個格，記為(L,∨,∧).25/37

設(L,∨,∧)是一個格，假如它還滿足以下運算性質：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿足：

0-1律：在L中存在兩個元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時又稱

(L,∨,∧)為完全格.26/37

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個余運算c，滿足：還原律：(ac)c=a；互余律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(L,∨,∧,c)為一個Boole代數.

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個余運算c，滿足：還原律：(ac)c=a

；對偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(L,∨,∧,c)

為一個軟代數.27/37

例1任一個集合A冪集

(A)是一個完全格.

格中最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，而且(J(A),∪,∩,

c)

既是一個Boole代數，也是一個軟代數.

例2記[0,1]上全體有理數集為Q，則(Q,∨,∧)是一個完全格.

格中最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義余運算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)

不是一個Boole代數，但它是一個軟代數.28/37§1.3含糊子集及其運算含糊子集與隸屬函數

設U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上含糊子集A，映射A(x)稱為A隸屬函數，它表示x對A隸屬程度.

使A(x)=0.5點x稱為A過渡點，此點最具含糊性.

當映射A(x)只取0或1時，含糊子集A就是經典子集，而A(x)就是它特征函數.可見經典子集就是含糊子集特殊情形.29/37

例設論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人身高，那么U上一個含糊集“高個子”(A)隸屬函數A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：30/37含糊集運算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；并：A∪B隸屬函數為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B隸屬函數為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac隸屬函數為Ac(x)=1-

A(x).31/37

例設論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個含糊集：A=“商品質量好”，B=“商品質量壞”，并設A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品質量不好”,Bc=“商品質量不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.32/37含糊集并、交、余運算性質

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；33/37對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對偶律證實：對于任意x

U(論域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x