湖南省衡陽市 衡東縣新塘潭泊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析

湖南省衡陽市衡東縣新塘潭泊中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題：關(guān)于的不等式對于一切實(shí)數(shù)均成立，命題：，則是成立的

（

）

A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為 A、

B、

C、

D、參考答案：A略3.下列命題是真命題的為(

)

A．若,則

B．若,則

C．若,則

D．若,則參考答案：A4.以下莖葉圖記錄了甲.乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位:分)甲組

乙組

909

21587424

已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則的值分別為A．

B.

C.

D．參考答案：C略5.劉徽是一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》是中國最寶貴的文化遺產(chǎn)，他所提出的割圓術(shù)可以估算圓周率π，理論上能把π的值計(jì)算到任意的精度．割圓術(shù)的第一步是求圓的內(nèi)接正六邊形的面積．若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自該圓內(nèi)接正六邊形的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：B6.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為(

)A.－80 B.－40 C.40 D.80參考答案：D【分析】中，給賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和,列出方程求出，展開式中常數(shù)項(xiàng)為的常數(shù)項(xiàng)與的系數(shù)和，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng),進(jìn)而可得結(jié)果【詳解】令二項(xiàng)式中的為1得到展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，

，

展開式中常數(shù)項(xiàng)為的常數(shù)項(xiàng)與的系數(shù)和

展開式的通項(xiàng)為，

令得;令，無整數(shù)解，

展開式中常數(shù)項(xiàng)為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與各項(xiàng)系數(shù)和，屬于中檔題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.7.設(shè)z=，則z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i參考答案：D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡，則z的共軛可求．【解答】解：∵z==，∴．故選：D．8.將兩個(gè)數(shù)交換,使,則下面語句正確的一組是(

).a=bb=ac=bb=aa=cb=aa=ba=cc=bb=aABCD

參考答案：B9.在△ABC中，已知A=30°，C=45°，a=2，則△ABC的面積等于（）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.直線與曲線相切于點(diǎn)則的值為（

）A．3

B．

C．5

D．

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是

參考答案：略12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入a＝4，那么輸出的n的值為

參考答案：313.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

．參考答案：（0，）14.某校為了解高一學(xué)生寒假期間的閱讀情況，抽查并統(tǒng)計(jì)了100名同學(xué)的某一周閱讀時(shí)間，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），那么這100名學(xué)生中閱讀時(shí)間在[4，8）小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為

．參考答案：54【考點(diǎn)】B8：頻率分布直方圖．【分析】利用頻率分布直方圖中，頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距，求出這100名同學(xué)中閱讀時(shí)間在[4，8）小時(shí)內(nèi)的頻率，從而求出頻數(shù)．【解答】解：∵這100名同學(xué)中閱讀時(shí)間在[4，8）小時(shí)內(nèi)的頻率為（0.12+0.15）×2=0.54，∴這100名同學(xué)中閱讀時(shí)間在[4，8）小時(shí)內(nèi)的同學(xué)為100×0.54=54．故答案為：54．15.關(guān)于二項(xiàng)式，有下列命題：①該二項(xiàng)展開式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和是1；②該二項(xiàng)展開式中第六項(xiàng)為；③該二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第1002項(xiàng)；④當(dāng)時(shí)，除以的余數(shù)是。其中所有正確命題的序號是

。參考答案：①④16.命題“”的否定為______________________________．參考答案： 17.已知函數(shù)滿足：（1）既有極大值，也有極小值；（2）∈[0，1]，都有f(x)>0。請你給出一個(gè)滿足上述兩個(gè)條件的函數(shù)的例子________。參考答案：【分析】根據(jù)題目所給函數(shù)要滿足的條件，寫出相應(yīng)的函數(shù)的例子.【詳解】依題意可知，有極大值，也有極小值；且滿足，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個(gè)邊長均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無蓋方盒．（1）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)；（2）x多大時(shí)，方盒的容積V最大？參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a﹣2x，高為x，從而寫出函數(shù)表達(dá)式；（2）求導(dǎo)V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），由導(dǎo)數(shù)可得在x=時(shí)函數(shù)V（x）有最大值．【解答】解：（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長為x的小正方形，做成一個(gè)無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a﹣2x，高為x，則無蓋方盒的容積V（x）=（a﹣2x）2x，0＜x＜；（2）∵V（x）=（a﹣2x）2x=4x3﹣4ax2+a2x，0＜x＜；∴V′（x）=12x2﹣8ax+a2=（6x﹣a）（2x﹣a），∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，V′（x）＞0；當(dāng)x∈（，）時(shí)，V′（x）＜0；故x=是函數(shù)V（x）的最大值點(diǎn)，即當(dāng)x=時(shí)，方盒的容積V最大．19.已知數(shù)列{an}中，a1=3，a2=5，其前n項(xiàng)和為Sn滿足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*）（Ⅰ）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式（Ⅱ）令bn=，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．證明：對任意給定的m∈（0，），均存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）由題意可知Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1，即an﹣an﹣1=2n﹣1，n≥3，采用“累加法”即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，bn===（﹣），采用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn，由函數(shù)的單調(diào)性可知，Tn隨著n的增大而增大，分離參數(shù)n＞log2（﹣1）﹣1，分類log2（﹣1）﹣1＜1及l(fā)og2（﹣1）﹣1≥1時(shí)，求得m的取值范圍，求得n0的值，即可證明存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立．【解答】解：（Ⅰ）由Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3，n∈N*），整理得：Sn﹣Sn﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2+2n﹣1，∴an=an﹣1=2n﹣1，即an﹣an﹣1=2n﹣1，n≥3，∵a2﹣a1=2，a3﹣a2=4，a4﹣a3=23，…an﹣an﹣1=2n﹣1，將上式累加整理得：an﹣a1=2+4+23+…+2n﹣1，∴an=+3=2n+1，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+1；證明：（Ⅱ）bn===（﹣），∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=b1+b2+b3+…+bn，=[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，=（﹣），Tn+1﹣Tn=＞0，∴Tn隨著n的增大而增大，若Tn＞m，則（﹣）＞m，化簡整理得：＞，∵m∈（0，），∴1﹣6m＞0，∴2n+1＞﹣1，n＞log2（﹣1）﹣1，當(dāng)log2（﹣1）﹣1＜1時(shí)，即0＜m＜，取n0=1，當(dāng)log2（﹣1）﹣1≥1時(shí)，解得：≤m＜，記log2（﹣1）﹣1的整數(shù)部分為p，取n0=p+1即可，綜上可知，對任意m∈（0，），均存在n0∈N*，使得當(dāng)n≥n0時(shí)，Tn＞m恒成立．20.已知函數(shù)（I）若在處的切線的斜率為，求a的值；（Ⅱ），不等式恒成立，求整數(shù)a的最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由題意得,解之即得a的值；（Ⅱ）不等式或化為，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h(x)的圖像和性質(zhì)得解.【詳解】解：（Ⅰ），由題意得，則.（Ⅱ）不等式或化為.設(shè)，。設(shè)，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增.又，，則在存在唯一零點(diǎn)滿足.則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.又因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，則整數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立問題，考查函數(shù)的最值、單調(diào)性、零點(diǎn)問題的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，屬于難題.21.（12分）如圖,已知三棱錐的側(cè)棱兩兩垂直,且,,是的中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)到面的距離;

(2)求二面角的余弦值.參考答案：(1)以為原點(diǎn),、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有、、、

設(shè)平面的法向量為則由由,