河南省三門峽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

★2023年1月8日2022-2023學(xué)年度上學(xué)期期末調(diào)研考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合斜率的定義即可求得直線的傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由直線斜率的定義可知：，則.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線傾斜角的定義，特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.2.若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.故選：D3.圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.，3 B.，3 C.，9 D.，9【答案】A【解析】【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo)和半徑.【詳解】由方程可得，故圓心坐標(biāo)為，半徑為3．故選：A.4.已知平面、的法向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2 C.0 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面垂直的法向量表示求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得，故選：C5.已知雙曲線上點(diǎn)到點(diǎn)的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.9 B.6 C.6或36 D.9或21【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)，，，為雙曲線的焦點(diǎn)，則由雙曲線的定義，知，而所以或21.故選：D.6.某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)新設(shè)備用于生產(chǎn).第一年需運(yùn)營(yíng)費(fèi)用萬元，從第二年起，每年運(yùn)營(yíng)費(fèi)用均比上一年增加萬元，該設(shè)備每年生產(chǎn)的收入均為萬元.設(shè)該設(shè)備使用了年后，年平均盈利額達(dá)到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設(shè)該設(shè)備第年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)為萬元，則數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設(shè)備使用年的營(yíng)運(yùn)費(fèi)用總和為，設(shè)第n年盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)題設(shè)條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時(shí)注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件.7.數(shù)列中，，，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由已知得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，求出，再利用等比數(shù)列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.8.拋物線的焦點(diǎn)為，過且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)在的右下方，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出直線方程后，聯(lián)立拋物線方程，求出弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離得出三角形高，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由知，則直線為，設(shè)，則D到直線的距離為，又點(diǎn)在的右下方，所以，聯(lián)立方程，消元得，設(shè)，則，，所以，所以故當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的或不選的得0分．9.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則下列正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，構(gòu)造關(guān)于的方程組，即可求解出的值并完成選項(xiàng)的判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：AC【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等差數(shù)列求和公式中的基本量的計(jì)算，難度較易.已知兩個(gè)關(guān)于等差數(shù)列的等式，求解等差數(shù)列首項(xiàng)和公差的常見方法：（1）化簡(jiǎn)為關(guān)于首項(xiàng)、公差的方程組求解；（2）借助等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解.10.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（）A.直線與圓相交 B.直線與圓相離C.點(diǎn)到直線距離大于0.5 D.點(diǎn)到直線距離小于5【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離判斷AB，再由圓上點(diǎn)到直線距離的最值判斷CD即可.【詳解】由知，圓心為，半徑，直線，則圓心到直線距離.所以直線與圓相離，故A錯(cuò)B對(duì)；由圓心到直線的距離知，圓上點(diǎn)到直線距離的最大最小值分別為，，故CD正確.故選：BCD11.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線構(gòu)造所考慮的線線角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.(多選)如圖所示，“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行．若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，下列式子正確的是（）A. B.C.< D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意得，再結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得答案.【詳解】觀察圖形可知，即A不正確；，即B正確；由，知，，即，從而,即：,即D正確，C不正確．故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查知識(shí)的遷移與應(yīng)用，考查分析問題與處理問題的能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于由圖知，進(jìn)而根據(jù)不等式性質(zhì)討論求解.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知直線與平行，則實(shí)數(shù)__________．【答案】0或【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)兩直線平行.故答案為：0或14.已知點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】先求得平面ABC的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以則點(diǎn)到平面的距離為，故答案為：15.設(shè)雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線方程與離心率公式分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于橫軸時(shí)，則有，因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為，所以有，即此時(shí)雙曲線的離心率為；當(dāng)該雙曲線焦點(diǎn)位于縱軸時(shí)，則有，因?yàn)樵撾p曲線一條漸近線為，所以有，即此時(shí)雙曲線的離心率為，故答案為：或16.過作圓與圓的切線，切點(diǎn)分別為，，若，則的最小值為__________．【答案】##【解析】【分析】利用圓切線的性質(zhì)，結(jié)合代入法、二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】圓，顯然，半徑為1，圓，顯然，半徑為2，因?yàn)槭欠謩e是圓，圓的切線，所以，因?yàn)?，所以有，即，化?jiǎn)，得代入中，得，所以當(dāng)時(shí)，的最小值，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用圓的切線性質(zhì)得到等式.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列{an}滿足：a4＝7，a10＝19，其前n項(xiàng)和為Sn．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及Sn；（2）若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，，∴.（2），∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.18.已知拋物線的焦點(diǎn)與曲線的右焦點(diǎn)重合.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若拋物線上的點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義求出的值，代入拋物線的方程可求得的值，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo).詳解】（1）由雙曲線方程可得，，所以，解得.則曲線的右焦點(diǎn)為，所以，.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，由拋物線的定義及已知可得，解得.代入拋物線方程可得，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.19.如圖，正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．（1）證明：面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）證明平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：正中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，因?yàn)槠矫?，平面，則，，則平面，平面，則，又，且，平面.【小問2詳解】解：因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，平面，平面，則，又因?yàn)?，，故平面，所以，平面的一個(gè)法向量為，則.因此，平面和平面夾角的余弦值為.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用和項(xiàng)可求得的通項(xiàng)公式，注意別漏了說明；（2）先用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和，從而可知【詳解】（1）,①當(dāng)時(shí)，，②由①—②可得：,且數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，即（2）由（1）知數(shù)列，,則,①∴,②由①﹣②得,∴,.【點(diǎn)睛】本題主要考查給出的一個(gè)關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21.如圖，四棱錐中，平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，直線與底面所成的角為45°，，，是棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)指出的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，為的中點(diǎn).【解析】【分析】（1）根據(jù)平面，得到，，.然后根據(jù)已知條件計(jì)算，利用勾股定理逆定理證得，然后利用線面垂直的判定定理證得平面，從而證得.（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿足題意，則，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量探究求解即可.【詳解】（1）∵平面，平面，平面，平面，∴，，.∵直線與底面所成的角為45°，∴.∵是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.∴.又，∴.在中，，，∴.在中，，，，∴，∴.又，平面.又平面，∴.（2）假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)滿足題意，，由（1）可知，所以，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，則，，，，，設(shè)，則，∴，得，，，∴，，設(shè)平面得法向量為，則有，可得令，則，，∴是平面的一個(gè)法向量.易知為平面的一個(gè)法向量.∴，故即解得，故在棱上存在點(diǎn)且為的中點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定與證明，考察利用空間向量坐標(biāo)方法求解存在性問題，關(guān)鍵是經(jīng)過證明判定后，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并注意認(rèn)真計(jì)算空間平面的法向量，還要熟練掌握線段上的點(diǎn)的坐標(biāo)的表示方法.22.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)與橢圓的左?右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積等于，