初中幾何的輔助線問題

初中幾何的輔助線問題1在探索中添加輔助線添加輔助線問題，要深挖教材的內(nèi)在智力因素，講清輔助線的意義和根據(jù)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，找出規(guī)律。以過直徑AB的兩個(gè)端點(diǎn)直線的變動(dòng)為例來看添加輔助線的規(guī)律。（直徑所對(duì)的圓周角是直角），將這兩條直線動(dòng)起來，將有一系列題目產(chǎn)生：如果A、B的交點(diǎn)在圓周上，過。作AB的垂線交圓。于D,交AB的延長(zhǎng)線于E,則有下面的題目：①AB為圓。的直徑，OD±AB,B交圓。于，交DO于F,A的延長(zhǎng)線與DO交于E,求證：EO-FO=（R為圓的半徑）連結(jié)O,VZB@=ZBONE,而NOFNEO,?.△F例△￡O即得EO-FO=O=R如果A和B交于圓外一點(diǎn)，B交圓。于D,A=，B且過D點(diǎn)的切線CDLA,則有題目：②AB為圓。的直徑，A和B交于圓外一點(diǎn)，B交圓。于D,A=，B且過D點(diǎn)的切線CDLA,求NA的度數(shù)。連結(jié)AD,則NADC:N,NADC=N,NN得A=AB而A=，8則4AB是等邊三角形，故NA=60°③^AB中，NA=90°,以AB為直徑的圓交B于，切線I交A于D,求證：、D=DA。連結(jié)A,則N1+N2=N3+N4但NN,則NN所以D=DA二D。反過來，若D=DAI是否和圓相切呢？結(jié)論仍然正確。于是又有題目：?△AB中,NA=90°,以AB為直徑的圓交B于，D二DA求證：I是圓的切線。（證明略）。以上用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)考察了、皎于圓上和圓外的情況和添加輔助線的規(guī)律，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力,還能從中獲得添加輔助線的規(guī)律。對(duì)發(fā)展學(xué)生的智力是大有益處的,這正是輔助線教學(xué)的重點(diǎn)。2 用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱法添加輔助線平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱是平面幾何中的三大變換,在解幾何證明題時(shí)利用平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱添加輔助線是基本思路和常用的方法。引導(dǎo)學(xué)生在分析圖形特點(diǎn)的同時(shí),掌握適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線的方法,對(duì)于提高學(xué)生的解（證）題能力是十分重要的。2.利1用平移添加輔助線涉及梯形一類問題,往往將梯形的腰或?qū)蔷€平移,構(gòu)成平行四邊形和三角形。例梯形ABCD中，DC〃AB,NA和NB互余，M、分別是DC、AB的中點(diǎn)，求證:M二（ABCD分析：將DA平移至ME,CB平移至MF,則構(gòu)成Y^AEMDDBFMC和DEMF,易證△EMF是直角三角形，且M是斜邊EF上的中線，則有M=EF而EF二ABCD當(dāng)然，還可以通過添加其他輔助線完成,但這樣添加比較快捷。例梯形ABCD中，AD〃EF〃BC,AD=,BC=,AE：EB二：，求EF的長(zhǎng)。分析：過點(diǎn)D作D〃AB,分別交EF于，交BC于，只要分別求出E、F勺長(zhǎng)

即可。即可。，V/一，.??C=C: =：5解：過點(diǎn)作，V/一，.??C=C: =：5■:A〃E〃CA二,A=E==TOC\o"1-5"\h\zAE：E=: = .????,二：C? ? ?v???? = 4 .E= 4=44利用旋轉(zhuǎn)添加輔助線涉及梯形腰上中點(diǎn)問題例已知梯形AC中，A〃CE是A的中點(diǎn)，E平分NAC且A C=C求證:①EC，E②EC平分/Co分析：將4AE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使A和重合，點(diǎn)落在C的延長(zhǎng)線上，則△AE和4E全等，可得E=；E由題條件易知NN,則C=C根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得結(jié)論。涉及正方形有關(guān)問題往將某一三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度，隨著圖形的變換，問題就可解決。例4正方形AC中，M、N在邊CC上，NMAN=45°；求證：MN=MN分析：將4AN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°則和△I重合，可得NEAN=90°,AE=AN,E=,N由NMAN=45°,得NEAM=NMAN=45°,那么△AEM04ANM,MN=ME=ME=M。N利用對(duì)稱添加輔助線在三角形有關(guān)線段和、差問題，往往借助角平分線把一個(gè)三角形沿角平分線翻折，構(gòu)造三角形全等，進(jìn)行等量代換。例5已知，等腰直角三角形AC中，NC=90°,A平分NCA,求證：A=ACC分析：延長(zhǎng)C到E,使CE=CA=C,則可證明△CAM^^CEM；△CN24CEN,可得：ME=MA,NE=N,NNA,NN；所以NMEN=90°,利用勾股定理：MN=MENE=MA。=上述兩例在添加輔助線問題中也稱截長(zhǎng)補(bǔ)短。其他添加輔助線問題在比例線段問題計(jì)算和證明中，常作平行線作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)比，然后通過一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè)比聯(lián)系起來。例.A沖，是AC上一點(diǎn)，是C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且A=,交A于E,求證:E：E=ACC分析：證明本題的基本思想是添加平行線，作平行線時(shí)可保留E：E這個(gè)比。證法：過點(diǎn)作M/C,交A于M。則E：E二：MA：M=A：C:A=.E：E=A：C證法：過點(diǎn)作〃AC,交A延長(zhǎng)線于，貝U ：A=EEAC：,C=?Ao=.E：E=A：C3.見2中點(diǎn)引中位線，利用中位線的性質(zhì)例.中，是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證。證法1分析：由已知是邊的中點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，容易想到用中位線來解決問題。如圖2過點(diǎn)作〃交于，則為的中點(diǎn)，是4的中位線，可得 ；由是邊的中點(diǎn)，〃，易證=所以=2。由、證法2過點(diǎn)作〃交于，由是中點(diǎn)，則;由是中點(diǎn)，〃，貝U ，所以 ，即可得 。由、例9.試說明順次連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是平行四邊形已知：在四邊形中，EF、分別是BC、 的中點(diǎn)，試說明四邊形是平行四邊形。用梯形中位線性質(zhì)可知±B再由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)即可求解。本題也可延長(zhǎng)F相交，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求解。另外，通過對(duì)本題的求解，可得相應(yīng)的兩個(gè)命題：一是直角梯形斜腰上的中點(diǎn)到另一腰的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，二是任意梯形一要中點(diǎn)到另一腰兩個(gè)端點(diǎn)組成的三角形面積等于梯形面積的一半。這兩個(gè)命題在具體解題中可以幫助我們審題。值得大家注意的是，三角形的中位線和梯形的中位線的性質(zhì)為說明幾何問題中的平行關(guān)系，線段的倍半關(guān)系等提供了新的依據(jù)，創(chuàng)造了新的求解途徑。所以在處理有關(guān)幾何問題時(shí)，可以聯(lián)想中位線的性質(zhì)，通過作輔助線構(gòu)造中位線，為求解提供方便。3.兩3圓相交、相切問題3.3相.交1兩圓常通過連結(jié)公共弦來輔助解題例 E知圓和圓相交于、兩點(diǎn)，過的分析：要證明,常規(guī)考慮證/N,N=,通過連結(jié)公共弦，利用弦切角性質(zhì)/=,則N=,得證。3.3相.切2兩圓常通過切