第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算

第五章平面向量、復(fù)數(shù)第1節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.3.理解向量的幾何表示.4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.考試要求知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)內(nèi)容索引考點(diǎn)突破題型剖析分層精練鞏固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎(chǔ)夯實(shí)11.向量的有關(guān)概念知識梳理(2)零向量：__________的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于__________長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向______或______的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量______.(5)相等向量：長度______且方向______的向量.(6)相反向量：長度______且方向______的向量.大小方向長度長度為01個單位相同相反平行相等相同相等相反2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝________(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝__________b＋aa＋(b＋c)減法求兩個向量差的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝_________；(2)當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當(dāng)λ＝0時，λa＝____λ(μa)＝________；(λ＋μ)a＝________；λ(a＋b)＝_________|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實(shí)數(shù)λ，使__________.b＝λa[常用結(jié)論]1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)√診斷自測××√解析(2)若b＝0，則a與c不一定平行.(3)共線向量所在的直線可以重合，也可以平行，則A，B，C，D四點(diǎn)不一定在一條直線上.CD解析A錯誤，單位向量長度相等，但是方向不確定；B錯誤，由于只有方向，沒有大小，故x軸、y軸不是向量；C正確，由于向量起點(diǎn)相同，但長度不相等或方向不同，所以終點(diǎn)不同；D正確，海拔、溫度、角度只有大小，沒有方向，故不是向量.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點(diǎn)突破題型剖析2考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念例1

(1)(多選)下列命題正確的有(

)AD

解析方向相反的兩個非零向量必定平行，所以方向相反的兩個非零向量一定共線，故A正確；單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B錯誤；兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故C錯誤；

C感悟提升訓(xùn)練1

(1)(多選)下列命題中正確的有(

)A.平行向量就是共線向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞bD.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件解析由平行向量和共線向量可知，A正確；因?yàn)橄喾聪蛄渴欠较蛳喾?，長度相等的兩個向量，所以B是錯誤的；因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧?，所以任意兩個向量都不能比較大小，所以C是錯誤的；因?yàn)閮蓚€向量平行不能推出兩個向量相等，而兩個向量相等，則這兩個向量一定平行，因此兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件，所以D正確.AD

(2)如圖，在等腰梯形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)P，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在腰AD，BC上，EF過點(diǎn)P，且EF∥AB，則下列等式中成立的是(

)D

考點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算角度1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義A角度2向量的線性運(yùn)算A解析如圖，過點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，

角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)解析

如圖.∵AD為BC邊上的高，∴AD⊥BC.∵AB＝2，∠ABC＝30°，平面向量線性運(yùn)算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運(yùn)算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.感悟提升

C解析如圖所示，易知BC＝4AD，CE＝2AD，

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用DAA.3 B.4C.5 D.6解析延長AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心，感悟提升A解析設(shè)ke1＋e2＝m(e1＋ke2)，且m＜0，因?yàn)閑1與e2是不共線的非零向量，C等和線的應(yīng)用拓展視野2解析法一由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).

法二如圖，連接AB交OC于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時t取到最大值1，故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.

法三(等和線法)連接AB，因?yàn)椤螦OB＝120°，所以x＋y的最大值為2.

FENCENGJINGLIANGONGGUTISHENG分層精練鞏固提升31.給出下列命題，正確的命題為(

)A【A級

基礎(chǔ)鞏固】對于B，當(dāng)a＝0時，不成立；對于C，當(dāng)a，b之一為零向量時，不成立；對于D，當(dāng)a＋b＝0時，a＋b的方向是任意的，它可以與a，b的方向都不相同.2.設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A.a與λa的方向相反

B.a與λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|a解析對于A，當(dāng)λ＞0時，a與λa的方向相同，當(dāng)λ＜0時，a與λa的方向相反，故A不正確；對于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不確定，故|－λa|與|a|的大小關(guān)系不確定，故C不正確；對于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確；只有B正確.BABCB由以上可知a＋b＝b，所以B不正確，C正確；由|a＋b|＝|b|，|a|＋|b|＝|b|，所以|a＋b|＝|a|＋|b|，所以D正確.C

AB解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，M，N分別為AD，CD的中點(diǎn)，8.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)

數(shù)λ的值為________.解析由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.直角三角形故A，B，C為矩形的三個頂點(diǎn)，△ABC為直角三角形.－1解析法一連接AG，并延長AG交BC于點(diǎn)D(圖略).因?yàn)椤鰽BC的重心為G，因?yàn)镚為△ABC的重心，所以(1＋x)∶(－x－y)∶y＝1∶1∶1，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因?yàn)閍，b不共線，(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.BD【B級

能力提升】13.(多選)(2022·濟(jì)南調(diào)研)下列命題正確的是(

)對于C，向量由向量的方向和模確定，平移不改變這兩個量，故C錯誤.B解析設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖所示.所以D是OC