2023學(xué)年完整公開課版回顧與復(fù)習(xí)2

課題:回顧與思考（二）國本中學(xué)九年級備課組(王遠(yuǎn)成幸福李學(xué)英林豪)教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點1、通過與等腰三角形性質(zhì)與判定有關(guān)的題目的練習(xí)對所學(xué)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)、鞏固。2、通過與直角三角形有關(guān)的題目的練習(xí)對所學(xué)知識進(jìn)行復(fù)習(xí)、鞏固。3、通過尺規(guī)作圖的練習(xí)、復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識。4、通過對命題的逆命題及其真假練習(xí)，復(fù)習(xí)相關(guān)內(nèi)容。（二）思維訓(xùn)練要求1、進(jìn)一步體會證明的必要性，發(fā)展學(xué)生初步的演繹推進(jìn)能力。2、進(jìn)一步掌握綜合法的證明方法，結(jié)合實例體會反證法的含義。3、提高學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言表達(dá)論證過程的能力。（三）情感與價值觀要求1、積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，對數(shù)學(xué)的證明有好奇心和求知欲。2、培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的習(xí)慣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。教學(xué)重點通過相關(guān)題目的練習(xí)，對所不知識進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固。教學(xué)難點探索證明的思路和方法教學(xué)方法引導(dǎo)——探究法教具準(zhǔn)備多媒體演示教學(xué)過程Ⅰ、創(chuàng)設(shè)問題情境，建立“練習(xí)”平臺多媒體演示如圖所示，把一張矩形紙片沿對角線折疊，重合部分是什么圖形？試說明理由。EADAFDBCBC[師]你能用我們這一章所學(xué)知識對這個問題進(jìn)行探究嗎？[生]折疊后重合部分是三角形。[生]我認(rèn)為折疊后重合部分是等腰三角形[師]你能說一下理由嗎？[生]根據(jù)題意，可知△BED≌△BCD（兩個互相重合的圖形是全等形）∴∠FBD=∠CBD（全等三角形的對應(yīng)角相等）又∴在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠FDB=∠CBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）∴∠FBD=∠FDB∴FB=FD（等角對等邊）即△BFD（重合部分）是等腰三角形[師]很好！我們發(fā)現(xiàn)用這一章所學(xué)的知識可以解釋很多問題，接下來我們再來看一些題目。Ⅱ、借助“練習(xí)”平臺，復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識[師]我們曾證過命題：等腰三角形兩底角的平分線相等，隨后我們將此問題由特殊結(jié)合歸納為一般結(jié)論，即在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，D、E分別為AD、AB上的點，那么BD=CE，你能把這個命題改造一下，得到一個新命題嗎？請同學(xué)們在小組央討論交流。[生]新命題：在△ABC中，如果∠ABD=∠ACE，D、E分別是AC、AB上的點且BD=CE，那么AB=AC。[師]它是真命題還是假命題呢？[生]是一個真命題。[師]你能簡單地說明推理過程嗎？A[生]如圖，在△ABD和△ACE中，∵∠ABD=∠ACE，∠A=∠A，BD=CE，ED∴△ABD≌∠ACE（AAS）∴AB=AC（全等三角形對應(yīng)邊相等）BC[生]新命題：在△ABC中，AB=AC，BD=CE，且D、E分別是AC、AB上的點，那么∠ABD=∠ACE。[師]它是真命題還是假命題呢？A[生]是真命題。F如圖，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD=CE，∠A=∠A，ED∴△ABD≌△ACE（SSA）BC∴∠ABD=∠ACE（全等三角形對應(yīng)角相等）[生]這個同學(xué)推理有錯誤，因為有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，我認(rèn)為上面的命題是假命題，以B為圓心，BD長為半徑作弧交AC于F點，則BF=BD，又∵BD=CE，∴BF=CE，但∠BFA≠∠ACE。[師]這位同學(xué)能抓住問題的關(guān)鍵去認(rèn)真思考，得出了正確的結(jié)論，祝賀你！這個命題確實是假命題，還能找到新命題嗎？[生]沒有啦。[師]我們可以把上面的問題歸結(jié)成一個題目：在△ABC中，有①AB=AC，②∠ABD=∠ACD，③BD=CE，如果由其中兩個推出另一個，你可以得到幾個命題，有哪些是真命題？有哪些是假命題？你還能提出類似的命題嗎？[生]我們類似地證明過：等腰三角形兩條腰上的中線相等，將此命題由特殊推廣到一般情況，就得到了：△ABC中，AB=AC，AD=AE，那么BD=CE，由此得到一個題目：在△ABC中，有①AB=AC，②AD=AE，③BD=CE（D、E分別在AC、AB上）如果由其中兩個推出另一個，你可以得到幾個命題，有哪些是真命題？有哪些是假命題？[師]真不錯！下面就請同學(xué)們討論解答。[生]可得到三個命題1、在△ABC中，①AB=AC，②AD=AE，那么③BD=CE；2、在△ABC中，②AD=AE，③BD=CE，那么①AB=AC；3、在△ABC中，①AB=AC，③BD=CE，那么②AD=AE。其中第1個是真命題，第2、3個是假命題。[師]你能說明理由嗎？A[生]可以，如圖△ABC，我們先來看第1個命題：在△ABD和△ACE中，ED∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）BCA∴BD=CE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）ACC對于第2個命題，可以這樣推理：E在△BAD和△CAE中，BD=CE，AE=AD，EDB但△BAD和△CAE不全等，因此AB≠AC。DB第3個命題也是假命題，由前面的推理可知。（上在兩個題目都是開放性題目，對于培養(yǎng)大學(xué)生的邏輯推理能力和創(chuàng)新、反思的意識是一個很好的途徑，可以引導(dǎo)學(xué)生提出更多的問題）A[師]下面我們來看幾個題目：多媒體演示ED[例1]已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，且BD=CE，求證：△ABC是等腰三角形。BC分析：要證AB=AC，可用三角形全等，也可以用“等角對等邊“。證法一：在△ABD和△ACE中，∵∠AEC=∠ADB=90°，又∵BD=CE，∠A=∠A，∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AB=AC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）證法二：在Rt△BDC和Rt△CEB中,∵BD=CE,BC=BC,∴Rt△BDC≌Rt△CEB（HL定理）∴∠B=∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）∴AB=AC（等角對等邊）即△ABC是等腰三角形[例2]（2022年青海）已知，如圖，CE⊥AB于點E，BD⊥AC于點D，BD、CE交于點O，且AO平分∠BACA求證：OB=OC21分析：證明OB=OC，可用全等三角形E34D21來證明，如△ABO≌△ACO或△BEO≌△COD。BOC證法一：∵AO平分∠BAC，BD⊥AC，CE⊥AB，∴OE=OD（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）在Rt△BEO和Rt△COD中，∵∠1=∠2，OD=OE，∴Rt△BEO≌Rt△COD(ASA)∴OB=OC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）證法二：∵AO平分∠BAC，∴∠BAO=∠CAO在Rt△AEO和Rt△ADO中，∠3=∠4（等角的余角相等）又∵∠1=∠2，∴∠AOB=∠AOC又∵AO=AO，∠BAO=∠CAO∴△AOB≌△AOC（ASA）∴OB=OC(全等三角形的對應(yīng)邊相等)[例3]（2022年上海）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于點D，若BC=a，求AD的長。分析：根據(jù)題意可先由∠A：∠B：∠C=1：2：3A可設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，則x+2x+3x=180°D∵x=30°,則∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°（如圖）CB在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=a∴AB=2a（在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半）在Rt△BCD中，∠B=60°∴∠DCB=30°，BC=a，∴BD=BC=（在直角三角形中30°角所對的邊等于斜邊的一半）∴AD=AB－BD=E[例4]（2022年廣東廣州）如圖，ECM∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，給CMD出下列結(jié)論：①∠1=∠2；②BE=CF；D1③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正確12BNA的結(jié)論是。2BNA解析：應(yīng)填寫①②③F理由：∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AFF∴Rt△AEB≌Rt△AFC(AAS)∴∠1=∠2（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴①正確∴BE=CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等）∴②正確∴AC=AB（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA）∴③正確而結(jié)論④無法推出是錯誤結(jié)論。[例5]已知線段，求作以為底，以為高的等腰三角形，作法：（1）作線段AB=；C（2）作線段AB的垂直平分線，交AB于點D；（3）在上作線段DC，使DC=2；（4）連結(jié)AB、AC；△ABC就是所求的等腰三角形（如圖所示）ADBA[例6]如圖，已知∠AOB，B為OB邊上一點，求作一點P，使P到OA、OB的距離相等，并且OP=PB。APCPCOOBB分析：由于OP=PB，根據(jù)“到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”，可知點P在線段OB的垂直平分線上，而點P又到OA、OB的距離相等，根據(jù)“到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”，可知點P在∠AOB的平分線上，即P為OB的垂直平分線與∠AOB的角平分線的交點。作法：（1）作線段OB的垂直平分線（2）作∠AOB的角平分線OC交于點P則點P為所求點Ⅲ、隨堂練習(xí)A（多媒休演示）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，DBD是中線，延長BC到E，使CE=CD，求證：DB=DE。BCE證明：∵△ABC是等邊三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°（等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60°）又∵BD是中線∴BD平分∠ABC（“三線合一”）∴∠DBE=30°∴∠DCE=120°又∵DC=CE∴∠E=30°∴∠DBE=∠E=30°∴DB=DE（等角對等邊）思考：如果把BD改為△ABC的角平分線或高，能否得出同樣結(jié)論：Ⅳ、課時小結(jié)這節(jié)課我們安排了有關(guān)等腰三角形、直角三角形的一些例題、練習(xí)題，目的在于復(fù)習(xí)、鞏固本章所學(xué)的知識，提高同學(xué)們的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)符號語言的表達(dá)能力。Ⅴ、課后作業(yè)復(fù)習(xí)題B組EⅥ、活動與探究（2022年上海）將兩塊三角板如圖放置,FC其中∠C=∠EDB=90°,∠A=45°,∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積。ADB[過程]四邊形DBCF是不規(guī)則的四邊形，求它的面積需轉(zhuǎn)化為比較規(guī)則的圖形面積的和或差，觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)S重疊部分四邊形DBCF=S△ABC－S△AFD，因此只需求S△ABC和S△AFD的大小即可。[結(jié)果]S△ABC=，在Rt△DEB中，DE=6，∠E=30°設(shè)DB=,則BE=∴（）2=+36，3x2=36，x2=12，x=,即DB=，∴AD=6－2在Rt△AFD中，∠A=45°，∴△AFD是等腰直角三角形∴S△AFD=∴S重疊部分四邊形DBCF=9－（24－12）=12板書設(shè)計回顧與思考（二）一、提出問題——關(guān)于折疊二、探究課本中的命題，使課本中命題得到進(jìn)一步的擴(kuò)展和引申1、已知△ABC中，①AB=AC，②∠ABD=∠ACE；③BD=CE，由其中任意兩個條件可推出另一個，你可以得到幾個新命題，并判斷它們的真假。2、已知△ABC中，①AB=AC，②AD=AE，③BD=CE，由其中任意兩個條件可推出另一個，你可以得到幾個新命題，并判斷它們的真收三、例題（略）四、練習(xí)（圖）備課資料本章檢測題一、填空題1、（2022年福建福州）等腰三角形的一個底角是80°，那么頂角是度。答案：20°A2、如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC交BC的延D長線于點E，若∠ACE=80°，則∠CAE=度。答案：50°BCEDA3、（2022年新疆）如圖，點F、C在線段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，則還需補(bǔ)充的一個條件是。DA答案：AC=DF或∠A=∠D或∠B=∠E等21EB21EBCFCF4、等腰三角形的兩條邊長為6和7，那么這個三角形的周長為。答案：19或20A5、如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=80°，MMN是AB的垂直平分線，那么∠NBC=。N答案：60°BC6、如果△ABC的三邊長a,b,c滿足（a+2b－60）2+|b－18|+|c－30|=0，則△ABC是。答案：直角三角形7、正三角形的邊長是cm，則它的高等于。答案：8、若在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，BC邊上的中線AD=4cm，則∠ADC的度數(shù)是度。答案：90°二、選擇題9、（2022年福建廈門）在△ABC中，是三條角平分線的交點，∠BIC==130°，則∠A的度數(shù)是（）A．40°B．50°C．65°D．80°答案：CB10、如圖，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么補(bǔ)充下列一個條件后，仍無法判定△ABE≌△ACD的是（）DA．AD=AEB．∠AEB=∠ADCC．BE=CDD．AB=ACAEC答案：B11、（2022年山東煙臺）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BEA于F，若BF=AC，那么∠ABC的大小是（）FEA．40°B．45°C．50°D．60°答案：BBDD12、已知直角三角形中，30°角所對的直角邊長是2厘米，則斜邊長是（）A．2厘米B．4厘米C．6厘米D．8厘米答案：B13、如圖，點C是∠MON平分線上一點，ANCA⊥ON，CB⊥OM，點A、B分別為垂C足，AB與OC相交于點D，則下列關(guān)D系成立的個數(shù)是（）OBM①∠CAB=∠CBA②AD=DB③∠AOB=2∠CBD④OC垂直