2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末測試卷（北師大版2019）02（測試范圍：必修第二冊）（全解全析）

2020-2021學(xué)年下學(xué)期期末測試卷02卷

高一數(shù)學(xué).全解全析

123456789101112

DCDBBDCAABCBCDABCBD

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要

求的）

2sin47°一餡sin17°,

,cos17°

A.-73B.-1C.4D.1

【答案】D

■左力csin47°—sin17°cos30

［解析】原式=2X------------T；----------

sin(170+30°)-sin17°cos300

=2X=2sin30°=1.

cos17°

故選D.

則tana=()

2^22/

A.B.

'33

D.亞

【答案】c

【解析】選C.由aWn

2y/2“I.sm

所以tana=---亞

'3cos4

3.函數(shù)y=Asin（3x+6）+k的圖象如圖，則它的振幅A與最小正周期T分別是（）

5n

A.A=3,T=—

5n

C.T=-

6

【答案】D

【詳解】根據(jù)圖像的最大值和最小值，得到振幅，根據(jù)最大值點和最小值點得到周期.

由圖像可知最大值為3,最小值為0,故振幅為不

故周期為

T兀/乃、5萬E5萬

——=()-=,,］=

22363

5n

故周期為3

4.已知cosa=(,a2"),則sin萬等于()

A-巫R巫

1010

C述D-a

L105

【答案】B

【解析】因為a等，2"),所以與仁(自滅)，所以si吟=11-cosa_V10

210,故選B.

5.已知向量2=(百,1),B是不平行于X軸的單位向量s.a-b=y［3貝加()

9

使」fl,2^)(1邁)

A.V2司B.I?'2)c.V4,4JD.(1,0)

【答案】B

［解析］設(shè)b=(x，y)a*y),則依題意有

1

______X_~2,

［歷？=i，_V3

［Gx+y=6［，-

故選B

6.若向量OFi=(2,2),6工=(-2,3)分別表示兩個力R,時則若小邑|為()

A.(0,5)B.(4,-1)C.2&D.5

【答案】D

［解析］選D.FI+F2=(2,2)+(-2,3)=(0,5),

所以E+FZ|=5.

7.現(xiàn)在國際乒乓球賽的用球已由“小球”改為“大球”.若“小球”的直徑為38mm，“大球”的直徑為40mm,

則“小球”的表面積與“大球”的表面積之比為（）

A.曬：而

B.19：20

C.192：202

D.193：20;，

【答案】C

【解析】

2

,/S小球=4%/=4^?19

S大球=4萬，=4乃?2()2

222

/.S,,球：S卜毓=4%?19：4萬:2()2=19：20

故選C

、后\flb「n"I「3n'

8.若sin2a=^,sin("a)=+且aG不n,B",彳’則a+B的值是()

7n9n

A?丁B?丁

【答案】A

Fn~|rn~l-K/5「n~|「JTH-

【解析】因為ae—,jt,所以2ae丁，2n,又sin2a=七，所以2ae3，n\,a&,

L4JJ5|_2J[_4z_

一2\/5「3n]一「r5兀1,3\/10?

所以cos2a=---->.又B￡無，，所以B—a￡丁，—，故cos(B—a)——；,所以cos(a

□Z/41Un

+P)=cos[2a+(g—a)]=cos2a?cos(3—a)—sin2asin(0—a)

嚕=乎，又a+Be千，2Ji,故a+B=手，故選A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.下列命題:

①若aCR,則(a+l)i是純虛數(shù)；

②若a,bWR,且a>b,則a+i>b+i;

③若(x2-4)+(x?+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±2;

④實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集.

其中錯誤的是.(填序號)

A①B②C③D?

【答案】ABC

【解析】對于①，若a=-l,則(a+l)i不是純虛數(shù)，故①錯誤；

對于②，兩個虛數(shù)不能比較大小，故②錯誤；

對于③，若x=-2,X2-4=0,X?+3X+2=0,故不是純虛數(shù)，故③錯誤；

對于④，實數(shù)集是復(fù)數(shù)集的真子集，故正確.

故答案是ABC

10.如果空間中有三條線段AB,BC和CD,且/ABC=/BCD,那么直線AB與直線CD的位置關(guān)系是()

A.AB=CDB.AB與CD異面CAB與CD相交D.AB〃CD

【答案】BCD

【解析】若三條線段AB,BC和CD共面，如果AB,BC,CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直

線AB與CD平行；若三條線段AB,BC和CD不共面，則宜線AB與CD是異面宜線.所以AB//CD或AB與CD

異面或AB與CD相交.故選BCD.

11.若角a的終邊在第二象限，則下列三角函數(shù)值中小于0的是()

A.sin(aB.cos(a+—

C.sin(n+a)D.cos(Jt+a)

【答案】ABC

【解析】本題考查三角函數(shù)值符號的判斷.因為角a的終邊在第二象限，則sina>0,cosa<0,故

n\

=cosa<0,A正確；cos|a+—l=—sina<0,B正確；sin(頁+a)=—sina<0,C正確；

cos(n+a)=-cosa>0,D不正確，故選ABC.

12.Z\ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()

A.|b|=lB.|a|=l

C.a//bD.(4a+b)±BC

【答案】BD

【解析】選BD.如圖,

由題意，正行-好=(2a+b)-2a=b,則|b|=2,故A錯誤;

12al=2|a|=2,所以a=1,故B正確；

因為AB-2a,BC-b,故a,b不平行，故C錯誤；

設(shè)B,C中點為D,則AB+AC=2AD,且AD±BC,而2AD=2a+(2a+b)=4a+b,所以(4a+b)_LBC,故D正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若復(fù)數(shù)z滿足z+i-3=3-i,則z=

【答案】6-2i

【解析】x+i-3=3-i,故x+i-3-i+3=3-i-i+3,從而x=6-2i,故答案為:6-2i

14.向量0A=(3,-4),=(6,-3),OC=(5-肛—3-㈤，若點A、B、C能構(gòu)成△,則m滿足的條件是,

1

mH—

【答案】2

【解析］因為。4=(3,T),O3=(6,-3),00=(5_m?一3一機)，所以AB=(3,1),3C=(TH-LTW),由于

311

—?—?—?---------=m=-

點A、B、C能構(gòu)成三角形，所以A5與不共線，而當(dāng)A5與BC共線時，有一機—1—加，解得2,

1

"2W一

故當(dāng)點A、B、C能構(gòu)成三角形時實數(shù)m滿足的條件是2.

15.若四棱錐P-ABCD的底面為平行四邊形,E,F,G分別為PA,PD,CD的中點，則BC與平面EFG的位置關(guān)系為

【答案】平行

【解析】如圖，由于E,F分別為PA,PD的中點，可得EF〃AD,

又ABCD為平行四邊形，AD//BC,可得BC〃EF,

乂EFU平面EFC,BCa平面EFG,可得BC〃平面EFG.

故答案為：平行.

16.若tan+----=3,貝sinacosa=

uatana

【答案】I

1c.sina,cosasin2a+cos"a

【解析】因為tana石丁7=3,所以苗7+豈口7=3,n即nS3acosa=?

所以sinacosa

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（10分）⑴求y=tan&+T）的單調(diào)區(qū)間.

（2）比較tan,員與ta｛一竽口）的大小.

n1JIn

【解析】解：（D由題意，kn——<-x+—<kn+—,keZ,

3n1n3五n

即k冗一[-<5x〈k兀+7，k￡Z,所以2k“一<x<2kn+丁，kWZ,

(3nn\

故單調(diào)遞增區(qū)間為(2kn一三，2kJt+yl(keZ).

JI

5

tan(一光)=-tanyn=-tan(2n-3)=一■(-/)=tany,

nnnn,（nnA

因為一下萬，y=tanx在（一萬,可上單調(diào)遞增,

6(13

所以tan—<tan―,即tanrn>tanl——

(o

]

18.(10分)求證：sina(1+tana)+cosa

cosa

【解析】證明：左邊=sina（l+：：：：）+

A.cosa\sirfQcos'Q

cosa1+-:-=sinacosa

\smaJcosasina

sin'a+cos'a產(chǎn)加。+cos2a]1

=右邊.

sinacosasinQcos

即原等式成立.

19.（12分）通常情況下，同--地區(qū)一天的溫度隨時間變化的曲線接近函數(shù)丫=人5皿（3*+?。?6的圖象.某

年2月下旬某地區(qū)連續(xù)幾天最高溫度都出現(xiàn)在14時，最高溫度為14℃；最低溫度出現(xiàn)在凌晨2時，最低

溫度為零下2℃.

（1）求出該地區(qū)該時段的溫度函數(shù)y=Asin（3x+。）+b（A>0,G）>0,||<IT,x￡[0,24））的表達式;

（2）29日上午9時某高中將舉行期末考試，如果溫度低于10℃,教室就要開空調(diào)，請問屆時學(xué)校后勤

應(yīng)該開空調(diào)嗎？

A+b=14,A=8,

【解析】解：（1）由題意知解得

-A+b=-2,b=6,

Tn

易知5=14—2,所以T=24,所以3=運,

易知8sin(y^X2+e)+6=-2,即sin(y^X2+(bj=-1,

,,JITi,2n

故記X2+6=—萬+21<n，k￡Z,又I"<兀，得6=-―^-,

(n2元、

所以y=8sin(j]x——J+6(x^[0,24)).

(2)當(dāng)x=9時，y=8sinl-j^X9—l+6=8sin-+6<8sin—+6=10.

所以屆時學(xué)校后勤應(yīng)該開空調(diào).

--2A/5

20.(12分)已知向量2=(cosa,sina),h=(cos/7,sin(3),\a-b|=—^―.

(I)求cos(a-/?)的值；

rrTT5

(H)若0<々<一，---<Z?<0,且sin/7=-----,求sina.

2213

【解析】解：(I)?.?a=(cosa,sina),b=(cos/?,sin〃)，:.a-b=(cosa-cos"sina-sin尸).

?.?|a-4=J(cosa-cos/丫+(sina-sin/=

43

即2—2cos(a—〃)=m，/.cos

jrjr

(II)*.*0<6Z<—,—0<a—

12

,/cos(tz-/?)=1,sinB=一三二.sin(a_/?)=1,cos/?

13

4123(5)33

sin?=sin[(a-/?)+/?]=sin(a-/7)cos/?+cossin/7.......11分

5135I13J65

21.(12分)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，ZBCD=60°,E是CD的中點,PAJ_底面

ABCD,PA=V5.

(1)求證:平面PBE_L平面PAB.

(2)求二面角A-BE-P的大小.

【解析】(1)證明：如圖所示，連接BD.

由四邊形ABCD是菱形,且/BCD=60°,知△BCD是等邊三角形.

因為E是CD的中點，所以BE1CD.因為AB〃CD,所以BE1AB.

因為PA_L平面ABCD,BEc平面ABCD,所以PAXBE.

因為PAnAB=A,PAc平面PAB,ABc平面PAB,所以BE_L平面PAB.

因為BEc平面PBE,所以平面PBEJ_平面PAB.

(2)解：由⑴知BE_L平面PAB,PBc平面PAB,

所以PB1BE.因為ABXBE,所以NPBA是二面角A-BE-P的平面角.

在RtAPAB中，tanZPBA=^.=-,所以NPBA=60°.

AB1

故二面角A-BE-P的大小是60°.

22.(14分)在三角形ABC中，AB=2,AC=\,ZACB=-,。是線段上一點，且麗=4加，

22

為AB上一點.

B

(1)設(shè)通=a,/=b,設(shè)而=+求刀一?。?/p>

(2)求方\可的取值范圍；

(3)若E為線段AB的中點，直線CF與A0相交于點M，求西?麗.

——?2——?2——1—2