復合函數零點問題的求解策略

復合函數零點個數問題的求解策略王伯龍寧夏彭陽縣第三中學756599函數零點問題在高中函數知識模塊中占有極其重要的地位，它把函數與方程、不等式、導數等知識緊密的聯系在一起，是各級各類考試的重點與熱點題型，隨著高考對函數零點問題考查的日漸深入，其題型也顯得愈加靈活多變.而復合函數零點問題又是函數零點問題中比較典型的一類，也是函數零點問題中的一個難點.對于形如的復合函數涉及內外層函數，零點問題往往需要結合內外層函數的圖像，利用數形結合法來解決.文[]盡管通過兩個特殊例題涉及到復合函數零點個數問題，但沒有給出此類問題的一個程序化的求解策略，筆者另辟蹊徑，借助于內層函數與的交點個數與值之間的關系，給出復合函數的零點問題的解決策略，下面通過例題來展示.例函數，當在上變化時，函數的零點個數有個.-2e圖1O-31yx解設，在同一坐標系中作出函數與的圖像.如圖所示，由圖像可知，的圖像與的公共點個數與的取值之間的關系如下表.-2e圖1O-31yx此時，函數的零點問題就轉化為方程的根.因為，方程有兩個異號的實根，不妨設為，，且，又知.當時，，由表知，方程有個實根；當時，，由表知，方程有個實根；當時，，由表知，方程有個實根.綜上可知，對于對于任意實數，函數的零點個數為個.例已知，若關于的方程（為實常數）有個實數解，則實數的取值范圍為.解設，在同一坐標系中作出函數與的圖像.如圖所示，由圖像可知，與的公共點個數與的取值之間的關系如下表.OxOxy圖2由表可知，關于的方程（為實常數）有個實數解，就轉化為關于的方程在內必有一個實數解，而另一個實數解為或.當時，由得，此時，方程的另一個實根為，符合條件；當方程的兩個根一個在內，另一個在內時，由區(qū)間根的分布知識得，此不等式組無實數解.綜上可知，實數的取值范圍為.例若有個零點，則實數的取值范圍是.圖4Oyt-8xy圖3O解因為，另，則.設，在同一坐標系中作出函數與的圖像.如圖所示，由圖像可知，與的公共點個數與的取值之間的關系如下表.圖4Oyt-8xy圖3O此時，函數的零點問題就轉化為方程的根，因為，由表知，對應函數的兩個零點，由于函數有個零點，所以函數在上有且僅有一個零點，且不為零，也不為.即函數與直線在上的公共點有且僅有一個，且不為零，也不為.利用求導數運算，畫出在上的圖像如圖所示，由圖像可知實數的取值范圍是.例已知函數，若關于的方程恰有兩個實數解，，且，求實數的值，使得有最小值，并求其最小值.O-1xy圖5解設，在同一坐標系中作出函數與的圖像.如圖所示，由圖像可知，的圖像與的公共點個數與的取值之間的關系如下表.O-1xy圖5由表可知，關于的方程恰有兩個實數解的問題就轉化為方程在上有解，即由得，由得.由于，因而易得，所以設，.于是，原問題即為求在上的最小值.，當時，，函數在上單調遞減；當時,，函數在上單調遞增，所以當時，函數有最小值，且最小值.此時，.故當時，有最小值，且最小值為.形如的復合函數的零點問題通常有兩類常見的題型：=1\*GB3①已知參數的范圍，求函數的零點個數；=2\*GB3②已知函數的零點個數，求參數的取值范圍.對于這兩類問題的解答我們可以進行一般化的程序，結合以上例子的解法，可以將復合函數零點問題的解決策略程序化如下：=1\*GB2⑴利用換元法，將復合函數零點個數問題轉化為關于的方程組的解的個數問題.=2\*GB2⑵在同一坐標系中畫出函數與的圖像，并結合圖像找出與交點個數與值之間的關系，列表格表示.=3\*GB2⑶借助于表格，將函數的零點問題轉化為關于的方程的根的分布情況或具體值.=4\*GB2⑷結合