復合函數(shù)零點問題的求解策略

復合函數(shù)零點個數(shù)問題的求解策略王伯龍寧夏彭陽縣第三中學756599函數(shù)零點問題在高中函數(shù)知識模塊中占有極其重要的地位，它把函數(shù)與方程、不等式、導數(shù)等知識緊密的聯(lián)系在一起，是各級各類考試的重點與熱點題型，隨著高考對函數(shù)零點問題考查的日漸深入，其題型也顯得愈加靈活多變.而復合函數(shù)零點問題又是函數(shù)零點問題中比較典型的一類，也是函數(shù)零點問題中的一個難點.對于形如的復合函數(shù)涉及內(nèi)外層函數(shù)，零點問題往往需要結(jié)合內(nèi)外層函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合法來解決.文[]盡管通過兩個特殊例題涉及到復合函數(shù)零點個數(shù)問題，但沒有給出此類問題的一個程序化的求解策略，筆者另辟蹊徑，借助于內(nèi)層函數(shù)與的交點個數(shù)與值之間的關(guān)系，給出復合函數(shù)的零點問題的解決策略，下面通過例題來展示.例函數(shù)，當在上變化時，函數(shù)的零點個數(shù)有個.-2e圖1O-31yx解設(shè)，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖像.如圖所示，由圖像可知，的圖像與的公共點個數(shù)與的取值之間的關(guān)系如下表.-2e圖1O-31yx此時，函數(shù)的零點問題就轉(zhuǎn)化為方程的根.因為，方程有兩個異號的實根，不妨設(shè)為，，且，又知.當時，，由表知，方程有個實根；當時，，由表知，方程有個實根；當時，，由表知，方程有個實根.綜上可知，對于對于任意實數(shù)，函數(shù)的零點個數(shù)為個.例已知，若關(guān)于的方程（為實常數(shù)）有個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為.解設(shè)，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖像.如圖所示，由圖像可知，與的公共點個數(shù)與的取值之間的關(guān)系如下表.OxOxy圖2由表可知，關(guān)于的方程（為實常數(shù)）有個實數(shù)解，就轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在內(nèi)必有一個實數(shù)解，而另一個實數(shù)解為或.當時，由得，此時，方程的另一個實根為，符合條件；當方程的兩個根一個在內(nèi)，另一個在內(nèi)時，由區(qū)間根的分布知識得，此不等式組無實數(shù)解.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.例若有個零點，則實數(shù)的取值范圍是.圖4Oyt-8xy圖3O解因為，另，則.設(shè)，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖像.如圖所示，由圖像可知，與的公共點個數(shù)與的取值之間的關(guān)系如下表.圖4Oyt-8xy圖3O此時，函數(shù)的零點問題就轉(zhuǎn)化為方程的根，因為，由表知，對應(yīng)函數(shù)的兩個零點，由于函數(shù)有個零點，所以函數(shù)在上有且僅有一個零點，且不為零，也不為.即函數(shù)與直線在上的公共點有且僅有一個，且不為零，也不為.利用求導數(shù)運算，畫出在上的圖像如圖所示，由圖像可知實數(shù)的取值范圍是.例已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)解，，且，求實數(shù)的值，使得有最小值，并求其最小值.O-1xy圖5解設(shè)，在同一坐標系中作出函數(shù)與的圖像.如圖所示，由圖像可知，的圖像與的公共點個數(shù)與的取值之間的關(guān)系如下表.O-1xy圖5由表可知，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)解的問題就轉(zhuǎn)化為方程在上有解，即由得，由得.由于，因而易得，所以設(shè)，.于是，原問題即為求在上的最小值.，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時,，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，且最小值.此時，.故當時，有最小值，且最小值為.形如的復合函數(shù)的零點問題通常有兩類常見的題型：=1\*GB3①已知參數(shù)的范圍，求函數(shù)的零點個數(shù)；=2\*GB3②已知函數(shù)的零點個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.對于這兩類問題的解答我們可以進行一般化的程序，結(jié)合以上例子的解法，可以將復合函數(shù)零點問題的解決策略程序化如下：=1\*GB2⑴利用換元法，將復合函數(shù)零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程組的解的個數(shù)問題.=2\*GB2⑵在同一坐標系中畫出函數(shù)與的圖像，并結(jié)合圖像找出與交點個數(shù)與值之間的關(guān)系，列表格表示.=3\*GB2⑶借助于表格，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程的根的分布情況或具體值.=4\*GB2⑷結(jié)合